Theorem grpsubsub4 18972

Description: Double group subtraction (subsub4 11462 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem grpsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubadd.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	2, 3	grpsubcl 18959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	4	3adant3r3 1185	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
6		simpr3 1197	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		grpsubadd.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	2, 7, 3	grpnpcan 18971	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))
9	1, 5, 6, 8	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))
10	9	oveq1d 7405	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌))
11	2, 3	grpsubcl 18959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)
12	1, 5, 6, 11	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)
13		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	2, 7	grpass 18881	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
15	1, 12, 6, 13, 14	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
16	2, 7, 3	grpnpcan 18971	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
17	16	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
18	10, 15, 17	3eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋)
19		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	2, 7	grpcl 18880	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 6, 13, 20	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	2, 7, 3	grpsubadd 18967	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ↔ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋))
23	1, 19, 21, 12, 22	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ↔ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋))
24	18, 23	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍))
25	24	eqcomd 2736	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872  -_gcsg 18874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877

This theorem is referenced by:  grppnpcan2  18973  grpnnncan2  18976  sylow3lem1  19564  subgdisj1  19628  pjthlem2  25345  ply1divex  26049  conjga  33134