Theorem grpsubsub4 17777

Description: Double group subtraction (subsub4 10568 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem grpsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubadd.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	2, 3	grpsubcl 17764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	4	3adant3r3 1235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
6		simpr3 1252	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		grpsubadd.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	2, 7, 3	grpnpcan 17776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))
9	1, 5, 6, 8	syl3anc 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))
10	9	oveq1d 6857	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌))
11	2, 3	grpsubcl 17764	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)
12	1, 5, 6, 11	syl3anc 1490	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)
13		simpr2 1250	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	2, 7	grpass 17700	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
15	1, 12, 6, 13, 14	syl13anc 1491	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
16	2, 7, 3	grpnpcan 17776	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
17	16	3adant3r3 1235	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
18	10, 15, 17	3eqtr3d 2807	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋)
19		simpr1 1248	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	2, 7	grpcl 17699	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 6, 13, 20	syl3anc 1490	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	2, 7, 3	grpsubadd 17772	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ↔ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋))
23	1, 19, 21, 12, 22	syl13anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ↔ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋))
24	18, 23	mpbird 248	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍))
25	24	eqcomd 2771	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  +_gcplusg 16216  Grpcgrp 17691  -_gcsg 17693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696

This theorem is referenced by:  grppnpcan2  17778  grpnnncan2  17781  sylow3lem1  18308  subgdisj1  18370  pjthlem2  23498  ply1divex  24187