Theorem grpsubsub4 19009

Description: Double group subtraction (subsub4 11427 analog). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubadd.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
grpsubadd.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubsub4	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)))

Proof of Theorem grpsubsub4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Grp)
2		grpsubadd.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubadd.m	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝐺)
4	2, 3	grpsubcl 18996	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	4	3adant3r3 1186	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
6		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		grpsubadd.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	2, 7, 3	grpnpcan 19008	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))
9	1, 5, 6, 8	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) = (𝑋 − 𝑌))
10	9	oveq1d 7382	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌))
11	2, 3	grpsubcl 18996	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)
12	1, 5, 6, 11	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)
13		simpr2 1197	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	2, 7	grpass 18918	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
15	1, 12, 6, 13, 14	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + 𝑍) + 𝑌) = (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)))
16	2, 7, 3	grpnpcan 19008	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
17	16	3adant3r3 1186	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) + 𝑌) = 𝑋)
18	10, 15, 17	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋)
19		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
20	2, 7	grpcl 18917	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
21	1, 6, 13, 20	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵)
22	2, 7, 3	grpsubadd 19004	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 + 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ↔ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋))
23	1, 19, 21, 12, 22	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) ↔ (((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) + (𝑍 + 𝑌)) = 𝑋))
24	18, 23	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)) = ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍))
25	24	eqcomd 2742	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 − 𝑌) − 𝑍) = (𝑋 − (𝑍 + 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914

This theorem is referenced by:  grppnpcan2  19010  grpnnncan2  19013  sylow3lem1  19602  subgdisj1  19666  pjthlem2  25405  ply1divex  26102  conjga  33231