Theorem ngprcan 24938

Description: Cancel right addition inside a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ngprcan.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
ngprcan.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
ngprcan.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
ngprcan	⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐶)𝐷(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem ngprcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ngpgrp 24927	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp → 𝐺 ∈ Grp)
2		ngprcan.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		ngprcan.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
5	2, 3, 4	grppnpcan2 19253	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐵))
6	1, 5	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴(-g‘𝐺)𝐵))
7	6	fveq2d 6894	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((norm‘𝐺)‘((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶))) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
8		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ NrmGrp)
9	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
10		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
11		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
12	2, 3	grpcl 19161	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑋)
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑋)
14		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
15	2, 3	grpcl 19161	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
16	9, 14, 11, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋)
17		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
18		ngprcan.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝐺)
19	17, 2, 4, 18	ngpds 24932	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 + 𝐶) ∈ 𝑋 ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 + 𝐶)𝐷(𝐵 + 𝐶)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶))))
20	8, 13, 16, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐶)𝐷(𝐵 + 𝐶)) = ((norm‘𝐺)‘((𝐴 + 𝐶)(-g‘𝐺)(𝐵 + 𝐶))))
21	17, 2, 4, 18	ngpds 24932	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
22	8, 10, 14, 21	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) = ((norm‘𝐺)‘(𝐴(-g‘𝐺)𝐵)))
23	7, 20, 22	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐶)𝐷(𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐷𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  distcds 17446  Grpcgrp 19153  -_gcsg 19155  normcnm 24904  NrmGrpcngp 24905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-map 8856  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-0g 17621  df-topgen 17623  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-xms 24648  df-ms 24649  df-nm 24910  df-ngp 24911

This theorem is used by:  ngplcan  24939  isngp4  24940  ngpsubcan  24942