Theorem gruf 10796

Description: A Grothendieck universe contains all functions on its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruf	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
2	1	feqmptd 6950	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		fvex 6895	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4	3	fnasrn 7142	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩)
5	2, 4	eqtrdi 2820	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩))
6		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
7		gruel 10788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	7	3expa 1134	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9	8	3adantl3 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		ffvelcdm 7077	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	10	3ad2antl3 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
12		gruop 10790	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
13	6, 9, 11, 12	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
14	13	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈)
15		grurn 10786	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
16	14, 15	syld3an3 1434	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
17	5, 16	eqeltrd 2869	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196  ran crn 5663  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Univcgru 10775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8826  df-gru 10776

This theorem is referenced by: (None)