Theorem gruf 10830

Description: A Grothendieck universe contains all functions on its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruf	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
2	1	feqmptd 6952	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		fvex 6894	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4	3	fnasrn 7140	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩)
5	2, 4	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩))
6		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
7		gruel 10822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	7	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9	8	3adantl3 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		ffvelcdm 7076	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	10	3ad2antl3 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
12		gruop 10824	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
13	6, 9, 11, 12	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
14	13	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈)
15		grurn 10820	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
16	14, 15	syld3an3 1411	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
17	5, 16	eqeltrd 2835	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5206  ran crn 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  Univcgru 10809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8847  df-gru 10810

This theorem is referenced by: (None)