Theorem gruf 10806

Description: A Grothendieck universe contains all functions on its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruf	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹:𝐴⟶𝑈)
2	1	feqmptd 6961	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		fvex 6905	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4	3	fnasrn 7143	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑥)) = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩)
5	2, 4	eqtrdi 2789	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 = ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩))
6		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑈 ∈ Univ)
7		gruel 10798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
8	7	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
9	8	3adantl3 1169	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝑈)
10		ffvelcdm 7084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝑈 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
11	10	3ad2antl3 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈)
12		gruop 10800	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑈) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
13	6, 9, 11, 12	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩ ∈ 𝑈)
14	13	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈)
15		grurn 10796	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩):𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
16	14, 15	syld3an3 1410	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → ran (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ⟨𝑥, (𝐹‘𝑥)⟩) ∈ 𝑈)
17	5, 16	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐹:𝐴⟶𝑈) → 𝐹 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  ⟨cop 4635   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  Univcgru 10785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-gru 10786

This theorem is referenced by: (None)