Theorem hosval 31833

Description: Value of the sum of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hosval	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hosval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosmval 31828	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6833	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴))
3		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
4		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7378	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
6		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
7		ovex 7393	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6939	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
9	2, 8	sylan9eq 2796	. 2 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
10	9	3impa 1116	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ↦ cmpt 5156  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ℋchba 31012   +_ℎ cva 31013   +_op chos 31031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-hilex 31092

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-map 8769  df-hosum 31823

This theorem is referenced by:  hoscl  31838  hoaddcomi  31865  hodsi  31868  hoaddassi  31869  hocadddiri  31872  hoaddridi  31879  honegsubi  31889  hoadddi  31896  hoadddir  31897  lnophsi  32094  hmops  32113  adjadd  32186  nmoptrii  32187  leopadd  32225  pjsdii  32248  pjscji  32263  pjtoi  32272