Theorem hosval 31543

Description: Value of the sum of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hosval	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hosval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosmval 31538	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6893	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴))
3		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
4		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7432	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
7		ovex 7447	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6999	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
9	2, 8	sylan9eq 2788	. 2 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
10	9	3impa 1108	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ℋchba 30722   +_ℎ cva 30723   +_op chos 30741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-hilex 30802

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-map 8840  df-hosum 31533

This theorem is referenced by:  hoscl  31548  hoaddcomi  31575  hodsi  31578  hoaddassi  31579  hocadddiri  31582  hoaddridi  31589  honegsubi  31599  hoadddi  31606  hoadddir  31607  lnophsi  31804  hmops  31823  adjadd  31896  nmoptrii  31897  leopadd  31935  pjsdii  31958  pjscji  31973  pjtoi  31982