HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hosval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hosval 31498
Description: Value of the sum of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hosval ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))

Proof of Theorem hosval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hosmval 31493 . . . 4 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))))
21fveq1d 6886 . . 3 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))‘𝐴))
3 fveq2 6884 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
4 fveq2 6884 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝐴))
53, 4oveq12d 7422 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
6 eqid 2726 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))
7 ovex 7437 . . . 4 ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)) ∈ V
85, 6, 7fvmpt 6991 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆𝑥) + (𝑇𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
92, 8sylan9eq 2786 . 2 (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
1093impa 1107 1 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆𝐴) + (𝑇𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cmpt 5224  wf 6532  cfv 6536  (class class class)co 7404  chba 30677   + cva 30678   +op chos 30696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-hilex 30757
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-map 8821  df-hosum 31488
This theorem is referenced by:  hoscl  31503  hoaddcomi  31530  hodsi  31533  hoaddassi  31534  hocadddiri  31537  hoaddridi  31544  honegsubi  31554  hoadddi  31561  hoadddir  31562  lnophsi  31759  hmops  31778  adjadd  31851  nmoptrii  31852  leopadd  31890  pjsdii  31913  pjscji  31928  pjtoi  31937
  Copyright terms: Public domain W3C validator