Theorem hosval 31718

Description: Value of the sum of two Hilbert space operators. (Contributed by NM, 10-Nov-2000.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hosval	⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))

Proof of Theorem hosval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hosmval 31713	. . . 4 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (𝑆 +op 𝑇) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
2	1	fveq1d 6824	. . 3 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴))
3		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑆‘𝑥) = (𝑆‘𝐴))
4		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝐴))
5	3, 4	oveq12d 7364	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
6		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
7		ovex 7379	. . . 4 ⊢ ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)) ∈ V
8	5, 6, 7	fvmpt 6929	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
9	2, 8	sylan9eq 2786	. 2 ⊢ (((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))
10	9	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝐴) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑇‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ↦ cmpt 5172  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ℋchba 30897   +_ℎ cva 30898   +_op chos 30916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-hilex 30977

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-hosum 31708

This theorem is referenced by:  hoscl  31723  hoaddcomi  31750  hodsi  31753  hoaddassi  31754  hocadddiri  31757  hoaddridi  31764  honegsubi  31774  hoadddi  31781  hoadddir  31782  lnophsi  31979  hmops  31998  adjadd  32071  nmoptrii  32072  leopadd  32110  pjsdii  32133  pjscji  32148  pjtoi  32157