HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  stcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stcl 32245
Description: Real closure of the value of a state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
stcl (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))

Proof of Theorem stcl
StepHypRef Expression
1 sticl 32244 . 2 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ (0[,]1)))
2 unitssre 13536 . . 3 (0[,]1) ⊆ ℝ
32sseli 3991 . 2 ((𝑆𝐴) ∈ (0[,]1) → (𝑆𝐴) ∈ ℝ)
41, 3syl6 35 1 (𝑆 ∈ States → (𝐴C → (𝑆𝐴) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387   C cch 30958  Statescst 30991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-hilex 31028
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-icc 13391  df-sh 31236  df-ch 31250  df-st 32240
This theorem is referenced by:  sto2i  32266  stge1i  32267  stle0i  32268  stlei  32269  stlesi  32270  staddi  32275  stadd3i  32277  strlem6  32285  golem1  32300  stcltrlem1  32305
  Copyright terms: Public domain W3C validator