Theorem stcl 32416

Description: Real closure of the value of a state. (Contributed by NM, 24-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
stcl	⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))

Proof of Theorem stcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sticl 32415	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ (0[,]1)))
2		unitssre 13503	. . 3 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
3	2	sseli 3932	. 2 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ (0[,]1) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 3	syl6 35	1 ⊢ (𝑆 ∈ States → (𝐴 ∈ Cℋ → (𝑆‘𝐴) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074  [,]cicc 13352   C_ℋ cch 31129  Statescst 31162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-hilex 31199

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-icc 13356  df-sh 31407  df-ch 31421  df-st 32411

This theorem is referenced by:  sto2i  32437  stge1i  32438  stle0i  32439  stlei  32440  stlesi  32441  staddi  32446  stadd3i  32448  strlem6  32456  golem1  32471  stcltrlem1  32476