Theorem hstle 30311

Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstle	⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem hstle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstnmoc 30304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
2	1	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
3	2	oveq2d 7229	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1))
4		hstcl 30298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
5		normcl 29206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 13817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10		hstcl 30298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐵) ∈ ℋ)
11		normcl 29206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 13817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
15	14	recnd 10861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16		choccl 29387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
17		hstcl 30298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
18	16, 17	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19		normcl 29206	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
21	20	resqcld 13817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
22	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
23	22	recnd 10861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
24	9, 15, 23	add12d 11058	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
25	3, 24	eqtr3d 2779	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
26	25	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
27	16	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
28		ococ 29487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
29	28	sseq2d 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
30	29	biimpar 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
31	27, 30	jca 515	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32		hstpyth 30310	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
33	31, 32	sylan2 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34		chjcl 29438	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
35	16, 34	sylan2 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
36		hstcl 30298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
37	35, 36	sylan2 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
38	37	anassrs 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39		normcl 29206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41		normge0 29207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
43		hstle1 30307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
44	35, 43	sylan2 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
45	44	anassrs 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46		1re 10833	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		le2sq2 13706	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
48	46, 47	mpanr1 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
49	40, 42, 45, 48	syl21anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50		sq1 13764	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
51	49, 50	breqtrdi 5094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
52	51	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
53	33, 52	eqbrtrrd 5077	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
54	8, 22	readdcld 10862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55		leadd2 11301	. . . . . . . 8 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
56	46, 55	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
57	54, 14, 56	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
58	57	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
59	53, 58	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
60	26, 59	eqbrtrd 5075	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
61		leadd1 11300	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
62	46, 61	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
63	8, 14, 62	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
64	63	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
65	60, 64	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2))
66		normge0 29207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
67	4, 66	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
68	6, 67	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
69	68	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
70		normge0 29207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
71	10, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
72	12, 71	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
73	72	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
74		le2sq 13705	. . . 4 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))) ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
75	69, 73, 74	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
76	75	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
77	65, 76	mpbird 260	1 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   ≤ cle 10868  2c2 11885  ↑cexp 13635   ℋchba 29000  norm_ℎcno 29004   C_ℋ cch 29010  ⊥cort 29011   ∨_ℋ chj 29014  CHStateschst 29044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809  ax-hilex 29080  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvmulass 29088  ax-hvdistr1 29089  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091  ax-hfi 29160  ax-his1 29163  ax-his2 29164  ax-his3 29165  ax-his4 29166  ax-hcompl 29283

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-lm 22126  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cfil 24152  df-cau 24153  df-cmet 24154  df-grpo 28574  df-gid 28575  df-ginv 28576  df-gdiv 28577  df-ablo 28626  df-vc 28640  df-nv 28673  df-va 28676  df-ba 28677  df-sm 28678  df-0v 28679  df-vs 28680  df-nmcv 28681  df-ims 28682  df-dip 28782  df-ssp 28803  df-ph 28894  df-cbn 28944  df-hnorm 29049  df-hba 29050  df-hvsub 29052  df-hlim 29053  df-hcau 29054  df-sh 29288  df-ch 29302  df-oc 29333  df-ch0 29334  df-chj 29391  df-hst 30293

This theorem is referenced by:  hstles  30312