HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstle 31214
Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstle (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))

Proof of Theorem hstle
StepHypRef Expression
1 hstnmoc 31207 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
21adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
32oveq2d 7378 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1))
4 hstcl 31201 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
5 normcl 30109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
76resqcld 14037 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
87adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
98recnd 11190 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10 hstcl 31201 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
11 normcl 30109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1312resqcld 14037 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1413adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1514recnd 11190 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16 choccl 30290 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
17 hstcl 31201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
1816, 17sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19 normcl 30109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2120resqcld 14037 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2221adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2322recnd 11190 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
249, 15, 23add12d 11388 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
253, 24eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2625adantrr 716 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2716adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ C )
28 ococ 30390 . . . . . . . . . 10 (𝐵C → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
2928sseq2d 3981 . . . . . . . . 9 (𝐵C → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
3029biimpar 479 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
3127, 30jca 513 . . . . . . 7 ((𝐵C𝐴𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32 hstpyth 31213 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
3331, 32sylan2 594 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34 chjcl 30341 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
3516, 34sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
36 hstcl 31201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3735, 36sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3837anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39 normcl 30109 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41 normge0 30110 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
43 hstle1 31210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4435, 43sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4544anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46 1re 11162 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
47 le2sq2 14047 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4846, 47mpanr1 702 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4940, 42, 45, 48syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50 sq1 14106 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
5149, 50breqtrdi 5151 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5251adantrr 716 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5333, 52eqbrtrrd 5134 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
548, 22readdcld 11191 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55 leadd2 11631 . . . . . . . 8 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5646, 55mp3an2 1450 . . . . . . 7 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5754, 14, 56syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5857adantrr 716 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5953, 58mpbid 231 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
6026, 59eqbrtrd 5132 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
61 leadd1 11630 . . . . . 6 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6246, 61mp3an3 1451 . . . . 5 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
638, 14, 62syl2anc 585 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6463adantrr 716 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6560, 64mpbird 257 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2))
66 normge0 30110 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
674, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
686, 67jca 513 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
6968adantr 482 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
70 normge0 30110 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7110, 70syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7212, 71jca 513 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
7372adantlr 714 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
74 le2sq 14046 . . . 4 ((((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))) ∧ ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7569, 73, 74syl2anc 585 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7675adantrr 716 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7765, 76mpbird 257 1 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3915   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  cle 11197  2c2 12215  cexp 13974  chba 29903  normcno 29907   C cch 29913  cort 29914   chj 29917  CHStateschst 29947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-chj 30294  df-hst 31196
This theorem is referenced by:  hstles  31215
  Copyright terms: Public domain W3C validator