Theorem hstle 32319

Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstle	⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem hstle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstnmoc 32312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
2	1	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
3	2	oveq2d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1))
4		hstcl 32306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
5		normcl 31214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
8	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10		hstcl 32306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐵) ∈ ℋ)
11		normcl 31214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 14078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16		choccl 31395	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
17		hstcl 32306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
18	16, 17	sylan2 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19		normcl 31214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
21	20	resqcld 14078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
22	21	adantlr 721	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
24	9, 15, 23	add12d 11364	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
25	3, 24	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
26	25	adantrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
27	16	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
28		ococ 31495	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
29	28	sseq2d 3947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
30	29	biimpar 478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
31	27, 30	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32		hstpyth 32318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
33	31, 32	sylan2 599	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34		chjcl 31446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
35	16, 34	sylan2 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
36		hstcl 32306	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
37	35, 36	sylan2 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
38	37	anassrs 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39		normcl 31214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41		normge0 31215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
43		hstle1 32315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
44	35, 43	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
45	44	anassrs 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46		1re 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		le2sq2 14088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
48	46, 47	mpanr1 709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
49	40, 42, 45, 48	syl21anc 843	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50		sq1 14148	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
51	49, 50	breqtrdi 5113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
52	51	adantrr 723	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
53	33, 52	eqbrtrrd 5096	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
54	8, 22	readdcld 11165	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55		leadd2 11610	. . . . . . . 8 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
56	46, 55	mp3an2 1457	. . . . . . 7 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
57	54, 14, 56	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
58	57	adantrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
59	53, 58	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
60	26, 59	eqbrtrd 5094	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
61		leadd1 11609	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
62	46, 61	mp3an3 1458	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
63	8, 14, 62	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
64	63	adantrr 723	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
65	60, 64	mpbird 258	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2))
66		normge0 31215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
67	4, 66	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
68	6, 67	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
69	68	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
70		normge0 31215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
71	10, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
72	12, 71	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
73	72	adantlr 721	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
74		le2sq 14087	. . . 4 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))) ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
75	69, 73, 74	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
76	75	adantrr 723	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
77	65, 76	mpbird 258	1 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   ≤ cle 11171  2c2 12227  ↑cexp 14014   ℋchba 31008  norm_ℎcno 31012   C_ℋ cch 31018  ⊥cort 31019   ∨_ℋ chj 31022  CHStateschst 31052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cc 10348  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108  ax-mulf 11109  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr1 31097  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174  ax-hcompl 31291

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-lm 23212  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cfil 25240  df-cau 25241  df-cmet 25242  df-grpo 30582  df-gid 30583  df-ginv 30584  df-gdiv 30585  df-ablo 30634  df-vc 30648  df-nv 30681  df-va 30684  df-ba 30685  df-sm 30686  df-0v 30687  df-vs 30688  df-nmcv 30689  df-ims 30690  df-dip 30790  df-ssp 30811  df-ph 30902  df-cbn 30952  df-hnorm 31057  df-hba 31058  df-hvsub 31060  df-hlim 31061  df-hcau 31062  df-sh 31296  df-ch 31310  df-oc 31341  df-ch0 31342  df-chj 31399  df-hst 32301

This theorem is referenced by:  hstles  32320