HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstle 31346
Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstle (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))

Proof of Theorem hstle
StepHypRef Expression
1 hstnmoc 31339 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
21adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
32oveq2d 7409 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1))
4 hstcl 31333 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
5 normcl 30241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
76resqcld 14072 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
98recnd 11224 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10 hstcl 31333 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
11 normcl 30241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1312resqcld 14072 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1413adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1514recnd 11224 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16 choccl 30422 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
17 hstcl 31333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
1816, 17sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19 normcl 30241 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2120resqcld 14072 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2221adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2322recnd 11224 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
249, 15, 23add12d 11422 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
253, 24eqtr3d 2773 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2625adantrr 715 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2716adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ C )
28 ococ 30522 . . . . . . . . . 10 (𝐵C → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
2928sseq2d 4010 . . . . . . . . 9 (𝐵C → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
3029biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
3127, 30jca 512 . . . . . . 7 ((𝐵C𝐴𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32 hstpyth 31345 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
3331, 32sylan2 593 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34 chjcl 30473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
3516, 34sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
36 hstcl 31333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3735, 36sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3837anassrs 468 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39 normcl 30241 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41 normge0 30242 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
43 hstle1 31342 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4435, 43sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4544anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46 1re 11196 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
47 le2sq2 14082 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4846, 47mpanr1 701 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4940, 42, 45, 48syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50 sq1 14141 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
5149, 50breqtrdi 5182 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5251adantrr 715 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5333, 52eqbrtrrd 5165 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
548, 22readdcld 11225 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55 leadd2 11665 . . . . . . . 8 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5646, 55mp3an2 1449 . . . . . . 7 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5754, 14, 56syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5857adantrr 715 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5953, 58mpbid 231 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
6026, 59eqbrtrd 5163 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
61 leadd1 11664 . . . . . 6 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6246, 61mp3an3 1450 . . . . 5 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
638, 14, 62syl2anc 584 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6463adantrr 715 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6560, 64mpbird 256 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2))
66 normge0 30242 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
674, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
686, 67jca 512 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
6968adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
70 normge0 30242 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7110, 70syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7212, 71jca 512 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
7372adantlr 713 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
74 le2sq 14081 . . . 4 ((((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))) ∧ ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7569, 73, 74syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7675adantrr 715 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7765, 76mpbird 256 1 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095  cle 11231  2c2 12249  cexp 14009  chba 30035  normcno 30039   C cch 30045  cort 30046   chj 30049  CHStateschst 30079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-inf2 9618  ax-cc 10412  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170  ax-addf 11171  ax-mulf 11172  ax-hilex 30115  ax-hfvadd 30116  ax-hvcom 30117  ax-hvass 30118  ax-hv0cl 30119  ax-hvaddid 30120  ax-hfvmul 30121  ax-hvmulid 30122  ax-hvmulass 30123  ax-hvdistr1 30124  ax-hvdistr2 30125  ax-hvmul0 30126  ax-hfi 30195  ax-his1 30198  ax-his2 30199  ax-his3 30200  ax-his4 30201  ax-hcompl 30318
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-isom 6541  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-of 7653  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-supp 8129  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-2o 8449  df-oadd 8452  df-omul 8453  df-er 8686  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-fsupp 9345  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9487  df-card 9916  df-acn 9919  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-9 12264  df-n0 12455  df-z 12541  df-dec 12660  df-uz 12805  df-q 12915  df-rp 12957  df-xneg 13074  df-xadd 13075  df-xmul 13076  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-fl 13739  df-seq 13949  df-exp 14010  df-hash 14273  df-cj 15028  df-re 15029  df-im 15030  df-sqrt 15164  df-abs 15165  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15615  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17350  df-topn 17351  df-0g 17369  df-gsum 17370  df-topgen 17371  df-pt 17372  df-prds 17375  df-xrs 17430  df-qtop 17435  df-imas 17436  df-xps 17438  df-mre 17512  df-mrc 17513  df-acs 17515  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-submnd 18648  df-mulg 18923  df-cntz 19147  df-cmn 19614  df-psmet 20870  df-xmet 20871  df-met 20872  df-bl 20873  df-mopn 20874  df-fbas 20875  df-fg 20876  df-cnfld 20879  df-top 22325  df-topon 22342  df-topsp 22364  df-bases 22378  df-cld 22452  df-ntr 22453  df-cls 22454  df-nei 22531  df-cn 22660  df-cnp 22661  df-lm 22662  df-haus 22748  df-tx 22995  df-hmeo 23188  df-fil 23279  df-fm 23371  df-flim 23372  df-flf 23373  df-xms 23755  df-ms 23756  df-tms 23757  df-cfil 24701  df-cau 24702  df-cmet 24703  df-grpo 29609  df-gid 29610  df-ginv 29611  df-gdiv 29612  df-ablo 29661  df-vc 29675  df-nv 29708  df-va 29711  df-ba 29712  df-sm 29713  df-0v 29714  df-vs 29715  df-nmcv 29716  df-ims 29717  df-dip 29817  df-ssp 29838  df-ph 29929  df-cbn 29979  df-hnorm 30084  df-hba 30085  df-hvsub 30087  df-hlim 30088  df-hcau 30089  df-sh 30323  df-ch 30337  df-oc 30368  df-ch0 30369  df-chj 30426  df-hst 31328
This theorem is referenced by:  hstles  31347
  Copyright terms: Public domain W3C validator