Theorem hstle 32262

Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstle	⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem hstle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstnmoc 32255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
2	1	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
3	2	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1))
4		hstcl 32249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
5		normcl 31157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10		hstcl 32249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐵) ∈ ℋ)
11		normcl 31157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16		choccl 31338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
17		hstcl 32249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
18	16, 17	sylan2 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19		normcl 31157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
21	20	resqcld 14175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
22	21	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11318	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
24	9, 15, 23	add12d 11516	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
25	3, 24	eqtr3d 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
26	25	adantrr 716	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
27	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
28		ococ 31438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
29	28	sseq2d 4041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
30	29	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
31	27, 30	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32		hstpyth 32261	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
33	31, 32	sylan2 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34		chjcl 31389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
35	16, 34	sylan2 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
36		hstcl 32249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
37	35, 36	sylan2 592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
38	37	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39		normcl 31157	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41		normge0 31158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
43		hstle1 32258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
44	35, 43	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
45	44	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46		1re 11290	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		le2sq2 14185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
48	46, 47	mpanr1 702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
49	40, 42, 45, 48	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50		sq1 14244	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
51	49, 50	breqtrdi 5207	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
52	51	adantrr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
53	33, 52	eqbrtrrd 5190	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
54	8, 22	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55		leadd2 11759	. . . . . . . 8 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
56	46, 55	mp3an2 1449	. . . . . . 7 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
57	54, 14, 56	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
58	57	adantrr 716	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
59	53, 58	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
60	26, 59	eqbrtrd 5188	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
61		leadd1 11758	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
62	46, 61	mp3an3 1450	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
63	8, 14, 62	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
64	63	adantrr 716	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
65	60, 64	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2))
66		normge0 31158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
67	4, 66	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
68	6, 67	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
69	68	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
70		normge0 31158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
71	10, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
72	12, 71	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
73	72	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
74		le2sq 14184	. . . 4 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))) ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
75	69, 73, 74	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
76	75	adantrr 716	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
77	65, 76	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   ≤ cle 11325  2c2 12348  ↑cexp 14112   ℋchba 30951  norm_ℎcno 30955   C_ℋ cch 30961  ⊥cort 30962   ∨_ℋ chj 30965  CHStateschst 30995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262  ax-addf 11263  ax-mulf 11264  ax-hilex 31031  ax-hfvadd 31032  ax-hvcom 31033  ax-hvass 31034  ax-hv0cl 31035  ax-hvaddid 31036  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulid 31038  ax-hvmulass 31039  ax-hvdistr1 31040  ax-hvdistr2 31041  ax-hvmul0 31042  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116  ax-his4 31117  ax-hcompl 31234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-lm 23258  df-haus 23344  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-cfil 25308  df-cau 25309  df-cmet 25310  df-grpo 30525  df-gid 30526  df-ginv 30527  df-gdiv 30528  df-ablo 30577  df-vc 30591  df-nv 30624  df-va 30627  df-ba 30628  df-sm 30629  df-0v 30630  df-vs 30631  df-nmcv 30632  df-ims 30633  df-dip 30733  df-ssp 30754  df-ph 30845  df-cbn 30895  df-hnorm 31000  df-hba 31001  df-hvsub 31003  df-hlim 31004  df-hcau 31005  df-sh 31239  df-ch 31253  df-oc 31284  df-ch0 31285  df-chj 31342  df-hst 32244

This theorem is referenced by:  hstles  32263