Theorem hstle 32305

Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstle	⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Proof of Theorem hstle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstnmoc 32298	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
2	1	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
3	2	oveq2d 7374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1))
4		hstcl 32292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
5		normcl 31200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ)
7	6	resqcld 14048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ)
9	8	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10		hstcl 32292	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐵) ∈ ℋ)
11		normcl 31200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ)
13	12	resqcld 14048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16		choccl 31381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
17		hstcl 32292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
18	16, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19		normcl 31200	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
21	20	resqcld 14048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
22	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
24	9, 15, 23	add12d 11360	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
25	3, 24	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
26	25	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
27	16	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ )
28		ococ 31481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
29	28	sseq2d 3966	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Cℋ → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴 ⊆ 𝐵))
30	29	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
31	27, 30	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32		hstpyth 32304	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
33	31, 32	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34		chjcl 31432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ (⊥‘𝐵) ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
35	16, 34	sylan2 593	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ )
36		hstcl 32292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
37	35, 36	sylan2 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
38	37	anassrs 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39		normcl 31200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41		normge0 31201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
42	38, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))))
43		hstle1 32301	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)) ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
44	35, 43	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ Cℋ )) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
45	44	anassrs 467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46		1re 11132	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
47		le2sq2 14058	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
48	46, 47	mpanr1 703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))) ∧ (normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
49	40, 42, 45, 48	syl21anc 837	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50		sq1 14118	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
51	49, 50	breqtrdi 5139	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
52	51	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘(𝐴 ∨ℋ (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
53	33, 52	eqbrtrrd 5122	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
54	8, 22	readdcld 11161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55		leadd2 11606	. . . . . . . 8 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
56	46, 55	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ (((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
57	54, 14, 56	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
58	57	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
59	53, 58	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
60	26, 59	eqbrtrd 5120	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1))
61		leadd1 11605	. . . . . 6 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
62	46, 61	mp3an3 1452	. . . . 5 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
63	8, 14, 62	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
64	63	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) ↔ (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + 1) ≤ (((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2) + 1)))
65	60, 64	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2))
66		normge0 31201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
67	4, 66	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)))
68	6, 67	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
69	68	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))))
70		normge0 31201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆‘𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
71	10, 70	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))
72	12, 71	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
73	72	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵))))
74		le2sq 14057	. . . 4 ⊢ ((((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐴))) ∧ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
75	69, 73, 74	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ 𝐵 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
76	75	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)) ↔ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) ≤ ((normℎ‘(𝑆‘𝐵))↑2)))
77	65, 76	mpbird 257	1 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝐵 ∈ Cℋ ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) ≤ (normℎ‘(𝑆‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167  2c2 12200  ↑cexp 13984   ℋchba 30994  norm_ℎcno 30998   C_ℋ cch 31004  ⊥cort 31005   ∨_ℋ chj 31008  CHStateschst 31038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160  ax-hcompl 31277

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-lm 23173  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675  df-ims 30676  df-dip 30776  df-ssp 30797  df-ph 30888  df-cbn 30938  df-hnorm 31043  df-hba 31044  df-hvsub 31046  df-hlim 31047  df-hcau 31048  df-sh 31282  df-ch 31296  df-oc 31327  df-ch0 31328  df-chj 31385  df-hst 32287

This theorem is referenced by:  hstles  32306