HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hstle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hstle 31483
Description: Ordering property of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 26-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hstle (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))

Proof of Theorem hstle
StepHypRef Expression
1 hstnmoc 31476 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
21adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) = 1)
32oveq2d 7425 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1))
4 hstcl 31470 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (𝑆𝐴) ∈ ℋ)
5 normcl 30378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → (norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ)
76resqcld 14090 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
87adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ)
98recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℂ)
10 hstcl 31470 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆𝐵) ∈ ℋ)
11 normcl 30378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ)
1312resqcld 14090 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1413adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ)
1514recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℂ)
16 choccl 30559 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵C → (⊥‘𝐵) ∈ C )
17 hstcl 31470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
1816, 17sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ)
19 normcl 30378 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆‘(⊥‘𝐵)) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵))) ∈ ℝ)
2120resqcld 14090 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2221adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℝ)
2322recnd 11242 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2) ∈ ℂ)
249, 15, 23add12d 11440 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
253, 24eqtr3d 2775 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2625adantrr 716 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) = (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))))
2716adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → (⊥‘𝐵) ∈ C )
28 ococ 30659 . . . . . . . . . 10 (𝐵C → (⊥‘(⊥‘𝐵)) = 𝐵)
2928sseq2d 4015 . . . . . . . . 9 (𝐵C → (𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)) ↔ 𝐴𝐵))
3029biimpar 479 . . . . . . . 8 ((𝐵C𝐴𝐵) → 𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))
3127, 30jca 513 . . . . . . 7 ((𝐵C𝐴𝐵) → ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵))))
32 hstpyth 31482 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ ((⊥‘𝐵) ∈ C𝐴 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐵)))) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
3331, 32sylan2 594 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) = (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)))
34 chjcl 30610 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴C ∧ (⊥‘𝐵) ∈ C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
3516, 34sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴C𝐵C ) → (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C )
36 hstcl 31470 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3735, 36sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
3837anassrs 469 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ)
39 normcl 30378 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ)
41 normge0 30379 . . . . . . . . . 10 ((𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
4238, 41syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))))
43 hstle1 31479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴 (⊥‘𝐵)) ∈ C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4435, 43sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (𝐴C𝐵C )) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
4544anassrs 469 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)
46 1re 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
47 le2sq2 14100 . . . . . . . . . 10 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4846, 47mpanr1 702 . . . . . . . . 9 ((((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))) ∧ (norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵)))) ≤ 1) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
4940, 42, 45, 48syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ (1↑2))
50 sq1 14159 . . . . . . . 8 (1↑2) = 1
5149, 50breqtrdi 5190 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5251adantrr 716 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆‘(𝐴 (⊥‘𝐵))))↑2) ≤ 1)
5333, 52eqbrtrrd 5173 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1)
548, 22readdcld 11243 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ)
55 leadd2 11683 . . . . . . . 8 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5646, 55mp3an2 1450 . . . . . . 7 (((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5754, 14, 56syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5857adantrr 716 . . . . 5 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2)) ≤ 1 ↔ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
5953, 58mpbid 231 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + ((norm‘(𝑆‘(⊥‘𝐵)))↑2))) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
6026, 59eqbrtrd 5171 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1))
61 leadd1 11682 . . . . . 6 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6246, 61mp3an3 1451 . . . . 5 ((((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ∈ ℝ ∧ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ∈ ℝ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
638, 14, 62syl2anc 585 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6463adantrr 716 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2) ↔ (((norm‘(𝑆𝐴))↑2) + 1) ≤ (((norm‘(𝑆𝐵))↑2) + 1)))
6560, 64mpbird 257 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2))
66 normge0 30379 . . . . . . 7 ((𝑆𝐴) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
674, 66syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴)))
686, 67jca 513 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
6968adantr 482 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))))
70 normge0 30379 . . . . . . 7 ((𝑆𝐵) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7110, 70syl 17 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
7212, 71jca 513 . . . . 5 ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
7372adantlr 714 . . . 4 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵))))
74 le2sq 14099 . . . 4 ((((norm‘(𝑆𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐴))) ∧ ((norm‘(𝑆𝐵)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7569, 73, 74syl2anc 585 . . 3 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ 𝐵C ) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7675adantrr 716 . 2 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → ((norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)) ↔ ((norm‘(𝑆𝐴))↑2) ≤ ((norm‘(𝑆𝐵))↑2)))
7765, 76mpbird 257 1 (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴C ) ∧ (𝐵C𝐴𝐵)) → (norm‘(𝑆𝐴)) ≤ (norm‘(𝑆𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3949   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  cle 11249  2c2 12267  cexp 14027  chba 30172  normcno 30176   C cch 30182  cort 30183   chj 30186  CHStateschst 30216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-chj 30563  df-hst 31465
This theorem is referenced by:  hstles  31484
  Copyright terms: Public domain W3C validator