Theorem idaf 18288

Description: The identity arrow function is a function from objects to arrows. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idaf.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idaf	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

Proof of Theorem idaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		otex 5441	. . 3 ⊢ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V)
3		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
4		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	idafval 18282	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩))
8		idaf.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
10	8, 9	homarw 18271	. . 3 ⊢ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥) ⊆ 𝐴
11	5	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
12		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	3, 4, 11, 12, 9	idahom 18285	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sselid 3911	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝐴)
15	2, 7, 14	fmpt2d 7157	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ⟨cotp 4863  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  Catccat 17888  Idccid 17889  Arrowcarw 18247  Hom_achoma 18248  Id_acida 18278

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-cat 17892  df-cid 17893  df-homa 18251  df-arw 18252  df-ida 18280

This theorem is used by: (None)