Theorem idaf 18001

Description: The identity arrow function is a function from objects to arrows. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idaf.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idaf	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

Proof of Theorem idaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		otex 5420	. . 3 ⊢ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V)
3		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
4		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	idafval 17995	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩))
8		idaf.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
10	8, 9	homarw 17984	. . 3 ⊢ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥) ⊆ 𝐴
11	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	3, 4, 11, 12, 9	idahom 17998	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sselid 3941	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝐴)
15	2, 7, 14	fmpt2d 7078	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ⟨cotp 4593  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Catccat 17601  Idccid 17602  Arrowcarw 17960  Hom_achoma 17961  Id_acida 17991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-cat 17605  df-cid 17606  df-homa 17964  df-arw 17965  df-ida 17993

This theorem is referenced by: (None)