Theorem idaf 18106

Description: The identity arrow function is a function from objects to arrows. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idaf.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idaf	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

Proof of Theorem idaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		otex 5473	. . 3 ⊢ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V)
3		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
4		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	idafval 18100	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩))
8		idaf.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
10	8, 9	homarw 18089	. . 3 ⊢ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥) ⊆ 𝐴
11	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
12		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	3, 4, 11, 12, 9	idahom 18103	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sselid 3987	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝐴)
15	2, 7, 14	fmpt2d 7141	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  Vcvv 3472  ⟨cotp 4642  ⟶wf 6552  ‘cfv 6556  (class class class)co 7428  Basecbs 17234  Catccat 17698  Idccid 17699  Arrowcarw 18065  Hom_achoma 18066  Id_acida 18096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7749

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3787  df-csb 3903  df-dif 3960  df-un 3962  df-in 3964  df-ss 3974  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-ot 4643  df-uni 4917  df-iun 5006  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7384  df-ov 7431  df-cat 17702  df-cid 17703  df-homa 18069  df-arw 18070  df-ida 18098

This theorem is referenced by: (None)