Theorem idaf 18120

Description: The identity arrow function is a function from objects to arrows. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
idafval.i	⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
idafval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
idafval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
idaf.a	⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
idaf	⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

Proof of Theorem idaf

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		otex 5448	. . 3 ⊢ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩ ∈ V)
3		idafval.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Ida‘𝐶)
4		idafval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
5		idafval.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
6		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Id‘𝐶) = (Id‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	idafval 18114	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ⟨𝑥, 𝑥, ((Id‘𝐶)‘𝑥)⟩))
8		idaf.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Arrow‘𝐶)
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Homa‘𝐶) = (Homa‘𝐶)
10	8, 9	homarw 18103	. . 3 ⊢ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥) ⊆ 𝐴
11	5	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ Cat)
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	3, 4, 11, 12, 9	idahom 18117	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ (𝑥(Homa‘𝐶)𝑥))
14	10, 13	sselid 3943	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑥) ∈ 𝐴)
15	2, 7, 14	fmpt2d 7121	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼:𝐵⟶𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟨cotp 4602  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  Catccat 17720  Idccid 17721  Arrowcarw 18079  Hom_achoma 18080  Id_acida 18110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-cat 17724  df-cid 17725  df-homa 18083  df-arw 18084  df-ida 18112

This theorem is referenced by: (None)