Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idldil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idldil 39449
Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idldil.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
idldil ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idldil.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2731 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
31, 2idlaut 39431 . . 3 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
43adantr 480 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5 fvresi 7173 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
65a1d 25 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
76rgen 3062 . . 3 𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
87a1i 11 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9 eqid 2731 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 idldil.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 idldil.d . . 3 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
121, 9, 10, 2, 11isldil 39445 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
134, 8, 12mpbir2and 710 1 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060   class class class wbr 5148   I cid 5573  cres 5678  cfv 6543  Basecbs 17151  lecple 17211  LHypclh 39319  LAutclaut 39320  LDilcldil 39435
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8828  df-laut 39324  df-ldil 39439
This theorem is referenced by:  idltrn  39485
  Copyright terms: Public domain W3C validator