Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idldil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idldil 40097
Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idldil.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
idldil ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idldil.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2735 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
31, 2idlaut 40079 . . 3 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
43adantr 480 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5 fvresi 7193 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
65a1d 25 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
76rgen 3061 . . 3 𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
87a1i 11 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9 eqid 2735 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 idldil.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 idldil.d . . 3 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
121, 9, 10, 2, 11isldil 40093 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
134, 8, 12mpbir2and 713 1 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148   I cid 5582  cres 5691  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  LHypclh 39967  LAutclaut 39968  LDilcldil 40083
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-laut 39972  df-ldil 40087
This theorem is referenced by:  idltrn  40133
  Copyright terms: Public domain W3C validator