Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idldil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idldil 40116
Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idldil.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
idldil ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idldil.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
31, 2idlaut 40098 . . 3 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
43adantr 480 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5 fvresi 7193 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
65a1d 25 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
76rgen 3063 . . 3 𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
87a1i 11 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9 eqid 2737 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 idldil.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 idldil.d . . 3 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
121, 9, 10, 2, 11isldil 40112 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
134, 8, 12mpbir2and 713 1 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143   I cid 5577  cres 5687  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  LHypclh 39986  LAutclaut 39987  LDilcldil 40102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-laut 39991  df-ldil 40106
This theorem is referenced by:  idltrn  40152
  Copyright terms: Public domain W3C validator