Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idldil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idldil 37403
 Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idldil.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
idldil ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idldil.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2801 . . . 4 (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
31, 2idlaut 37385 . . 3 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
43adantr 484 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5 fvresi 6916 . . . . 5 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
65a1d 25 . . . 4 (𝑥𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
76rgen 3119 . . 3 𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
87a1i 11 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9 eqid 2801 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10 idldil.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 idldil.d . . 3 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
121, 9, 10, 2, 11isldil 37399 . 2 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
134, 8, 12mpbir2and 712 1 ((𝐾𝐴𝑊𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109   class class class wbr 5033   I cid 5427   ↾ cres 5525  ‘cfv 6328  Basecbs 16478  lecple 16567  LHypclh 37273  LAutclaut 37274  LDilcldil 37389 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-map 8395  df-laut 37278  df-ldil 37393 This theorem is referenced by:  idltrn  37439
 Copyright terms: Public domain W3C validator