Theorem idldil 39290

Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idldil.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
idldil	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idldil.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
3	1, 2	idlaut 39272	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
4	3	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5		fvresi 7174	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
6	5	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
7	6	rgen 3061	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		idldil.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		idldil.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 9, 10, 2, 11	isldil 39286	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
13	4, 8, 12	mpbir2and 709	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059   class class class wbr 5149   I cid 5574   ↾ cres 5679  ‘cfv 6544  Basecbs 17150  lecple 17210  LHypclh 39160  LAutclaut 39161  LDilcldil 39276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8826  df-laut 39165  df-ldil 39280

This theorem is referenced by:  idltrn  39326