Theorem idldil 40578

Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idldil.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
idldil	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idldil.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
3	1, 2	idlaut 40560	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
4	3	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5		fvresi 7123	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
6	5	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
7	6	rgen 3054	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		idldil.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		idldil.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 9, 10, 2, 11	isldil 40574	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
13	4, 8, 12	mpbir2and 714	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   class class class wbr 5086   I cid 5520   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  lecple 17222  LHypclh 40448  LAutclaut 40449  LDilcldil 40564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8770  df-laut 40453  df-ldil 40568

This theorem is referenced by:  idltrn  40614