Theorem idldil 41363

Description: The identity function is a lattice dilation. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idldil.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
idldil.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
idldil.d	⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
idldil	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

Proof of Theorem idldil

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idldil.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LAut‘𝐾) = (LAut‘𝐾)
3	1, 2	idlaut 41345	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
4	3	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾))
5		fvresi 7201	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
6	5	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
7	6	rgen 3082	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
10		idldil.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		idldil.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = ((LDil‘𝐾)‘𝑊)
12	1, 9, 10, 2, 11	isldil 41359	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷 ↔ (( I ↾ 𝐵) ∈ (LAut‘𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑊 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥))))
13	4, 8, 12	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐴 ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106   I cid 5549   ↾ cres 5657  ‘cfv 6558  Basecbs 17416  lecple 17464  LHypclh 41233  LAutclaut 41234  LDilcldil 41349

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-map 8877  df-laut 41238  df-ldil 41353

This theorem is used by:  idltrn  41399