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Theorem idltrn 39324
Description: The identity function is a lattice translation. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idltrn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
idltrn.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
idltrn.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
idltrn ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
Proof of Theorem idltrn
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idltrn.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 idltrn.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2730 . . 3 ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3idldil 39288 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 simpll 763 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simplrr 774 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
7 simprr 769 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)
8 eqid 2730 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
9 eqid 2730 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2730 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
11 eqid 2730 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
128, 9, 10, 11, 2lhpmat 39204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
135, 6, 7, 12syl12anc 833 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
141, 11atbase 38462 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
15 fvresi 7172 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž) = π‘ž)
166, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž) = π‘ž)
1716oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž)) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
18 simplll 771 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
2019, 11hlatjidm 38542 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = π‘ž)
2118, 6, 20syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = π‘ž)
2217, 21eqtrd 2770 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž)) = π‘ž)
2322oveq1d 7426 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (π‘ž(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
24 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
251, 11atbase 38462 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
26 fvresi 7172 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) = 𝑝)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) = 𝑝)
2827oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘)) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑝))
2919, 11hlatjidm 38542 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑝) = 𝑝)
3018, 24, 29syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑝) = 𝑝)
3128, 30eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘)) = 𝑝)
3231oveq1d 7426 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (𝑝(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
33 simprl 767 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)
348, 9, 10, 11, 2lhpmat 39204 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
355, 24, 33, 34syl12anc 833 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
3632, 35eqtrd 2770 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
3713, 23, 363eqtr4rd 2781 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
3837ex 411 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
3938ralrimivva 3198 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
40 idltrn.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
418, 19, 9, 11, 2, 3, 40isltrn 39293 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ↔ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
424, 39, 41mpbir2and 709 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059   class class class wbr 5147   I cid 5572   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  0.cp0 18380  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LDilcldil 39274  LTrncltrn 39275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279
This theorem is referenced by:  trlid0  39350  tgrpgrplem  39923  tendoid  39947  tendo0cl  39964  cdlemkid2  40098  cdlemkid3N  40107  cdlemkid4  40108  cdlemkid5  40109  cdlemk35s-id  40112  dva0g  40201  dian0  40213  dia0  40226  dvhgrp  40281  dvh0g  40285  dvheveccl  40286  dvhopN  40290  dihmeetlem4preN  40480
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