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Theorem idltrn 38719
Description: The identity function is a lattice translation. Remark below Lemma B in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idltrn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
idltrn.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
idltrn.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
idltrn ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
Proof of Theorem idltrn
Dummy variables π‘ž 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idltrn.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 idltrn.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
3 eqid 2731 . . 3 ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3idldil 38683 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
5 simpll 765 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
6 simplrr 776 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
7 simprr 771 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)
8 eqid 2731 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
9 eqid 2731 . . . . . . 7 (meetβ€˜πΎ) = (meetβ€˜πΎ)
10 eqid 2731 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
11 eqid 2731 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
128, 9, 10, 11, 2lhpmat 38599 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
135, 6, 7, 12syl12anc 835 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
141, 11atbase 37857 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ π‘ž ∈ 𝐡)
15 fvresi 7139 . . . . . . . . 9 (π‘ž ∈ 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž) = π‘ž)
166, 14, 153syl 18 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž) = π‘ž)
1716oveq2d 7393 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž)) = (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘ž))
18 simplll 773 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
2019, 11hlatjidm 37937 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = π‘ž)
2118, 6, 20syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)π‘ž) = π‘ž)
2217, 21eqtrd 2771 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž)) = π‘ž)
2322oveq1d 7392 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (π‘ž(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
24 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
251, 11atbase 37857 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
26 fvresi 7139 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝐡 β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) = 𝑝)
2724, 25, 263syl 18 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘) = 𝑝)
2827oveq2d 7393 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘)) = (𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑝))
2919, 11hlatjidm 37937 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑝) = 𝑝)
3018, 24, 29syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)𝑝) = 𝑝)
3128, 30eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘)) = 𝑝)
3231oveq1d 7392 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (𝑝(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
33 simprl 769 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)
348, 9, 10, 11, 2lhpmat 38599 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
355, 24, 33, 34syl12anc 835 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ (𝑝(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
3632, 35eqtrd 2771 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = (0.β€˜πΎ))
3713, 23, 363eqtr4rd 2782 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š)) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š))
3837ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
3938ralrimivva 3199 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))
40 idltrn.t . . 3 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
418, 19, 9, 11, 2, 3, 40isltrn 38688 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇 ↔ (( I β†Ύ 𝐡) ∈ ((LDilβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) ∧ βˆ€π‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)βˆ€π‘ž ∈ (Atomsβ€˜πΎ)((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Š ∧ Β¬ π‘ž(leβ€˜πΎ)π‘Š) β†’ ((𝑝(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘))(meetβ€˜πΎ)π‘Š) = ((π‘ž(joinβ€˜πΎ)(( I β†Ύ 𝐡)β€˜π‘ž))(meetβ€˜πΎ)π‘Š)))))
424, 39, 41mpbir2and 711 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( I β†Ύ 𝐡) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3060   class class class wbr 5125   I cid 5550   β†Ύ cres 5655  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  lecple 17169  joincjn 18229  meetcmee 18230  0.cp0 18341  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LDilcldil 38669  LTrncltrn 38670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-map 8789  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-lat 18350  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-lhyp 38557  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674
This theorem is referenced by:  trlid0  38745  tgrpgrplem  39318  tendoid  39342  tendo0cl  39359  cdlemkid2  39493  cdlemkid3N  39502  cdlemkid4  39503  cdlemkid5  39504  cdlemk35s-id  39507  dva0g  39596  dian0  39608  dia0  39621  dvhgrp  39676  dvh0g  39680  dvheveccl  39681  dvhopN  39685  dihmeetlem4preN  39875
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