Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlaut 40079
Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idlaut.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idlaut.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
idlaut (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem idlaut
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6887 . . 3 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
21a1i 11 . 2 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵)
3 fvresi 7193 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
4 fvresi 7193 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
53, 4breqan12d 5164 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
65bicomd 223 . . . 4 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
76rgen2 3197 . . 3 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦))
87a1i 11 . 2 (𝐾𝐴 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
9 idlaut.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 eqid 2735 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11 idlaut.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
129, 10, 11islaut 40066 . 2 (𝐾𝐴 → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))))
132, 8, 12mpbir2and 713 1 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148   I cid 5582  cres 5691  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  LAutclaut 39968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8867  df-laut 39972
This theorem is referenced by:  idldil  40097
  Copyright terms: Public domain W3C validator