Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlaut Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlaut 40098
Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
idlaut.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
idlaut.i 𝐼 = (LAut‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
idlaut (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem idlaut
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1oi 6886 . . 3 ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵
21a1i 11 . 2 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵)
3 fvresi 7193 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
4 fvresi 7193 . . . . . 6 (𝑦𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
53, 4breqan12d 5159 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
65bicomd 223 . . . 4 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
76rgen2 3199 . . 3 𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦))
87a1i 11 . 2 (𝐾𝐴 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
9 idlaut.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
10 eqid 2737 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11 idlaut.i . . 3 𝐼 = (LAut‘𝐾)
129, 10, 11islaut 40085 . 2 (𝐾𝐴 → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐵):𝐵1-1-onto𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))))
132, 8, 12mpbir2and 713 1 (𝐾𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143   I cid 5577  cres 5687  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  LAutclaut 39987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-laut 39991
This theorem is referenced by:  idldil  40116
  Copyright terms: Public domain W3C validator