Theorem idlaut 40097

Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlaut.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
idlaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idlaut	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem idlaut

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6841	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵)
3		fvresi 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
4		fvresi 7150	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
5	3, 4	breqan12d 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
6	5	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
7	6	rgen2 3178	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
9		idlaut.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2730	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		idlaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
12	9, 10, 11	islaut 40084	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))))
13	2, 8, 12	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   class class class wbr 5110   I cid 5535   ↾ cres 5643  –1-1-onto→wf1o 6513  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lecple 17234  LAutclaut 39986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-map 8804  df-laut 39990

This theorem is referenced by:  idldil  40115