Theorem idlaut 41121

Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlaut.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
idlaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idlaut	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem idlaut

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6855	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵)
3		fvresi 7170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
4		fvresi 7170	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
5	3, 4	breqan12d 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
6	5	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
7	6	rgen2 3203	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
9		idlaut.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2761	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		idlaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
12	9, 10, 11	islaut 41108	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))))
13	2, 8, 12	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   class class class wbr 5103   I cid 5545   ↾ cres 5653  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  lecple 17415  LAutclaut 41010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-map 8833  df-laut 41014

This theorem is used by:  idldil  41139