Theorem idlaut 40075

Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlaut.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
idlaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idlaut	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem idlaut

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6806	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵)
3		fvresi 7113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
4		fvresi 7113	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
5	3, 4	breqan12d 5111	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
6	5	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
7	6	rgen2 3169	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
9		idlaut.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		idlaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
12	9, 10, 11	islaut 40062	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))))
13	2, 8, 12	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5095   I cid 5517   ↾ cres 5625  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  lecple 17186  LAutclaut 39964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-map 8762  df-laut 39968

This theorem is referenced by:  idldil  40093