Theorem idlaut 41246

Description: The identity function is a lattice automorphism. (Contributed by NM, 18-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlaut.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
idlaut.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
idlaut	⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem idlaut

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6863	. . 3 ⊢ ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵)
3		fvresi 7178	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑥) = 𝑥)
4		fvresi 7178	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (( I ↾ 𝐵)‘𝑦) = 𝑦)
5	3, 4	breqan12d 5118	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦) ↔ 𝑥(le‘𝐾)𝑦))
6	5	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
7	6	rgen2 3202	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦))
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))
9		idlaut.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
11		idlaut.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
12	9, 10, 11	islaut 41233	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → (( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼 ↔ (( I ↾ 𝐵):𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 (𝑥(le‘𝐾)𝑦 ↔ (( I ↾ 𝐵)‘𝑥)(le‘𝐾)(( I ↾ 𝐵)‘𝑦)))))
13	2, 8, 12	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝐾 ∈ 𝐴 → ( I ↾ 𝐵) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   class class class wbr 5102   I cid 5544   ↾ cres 5652  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  Basecbs 17392  lecple 17440  LAutclaut 41135

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8852  df-laut 41139

This theorem is used by:  idldil  41264