MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ifle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ifle 13202
Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ifle (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle
StepHypRef Expression
1 simpll1 1210 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
21leidd 11804 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴𝐴)
3 iftrue 4530 . . . 4 (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
43adantl 481 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5 id 22 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
65imp 406 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
76adantll 713 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
87iftrued 4532 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
92, 4, 83brtr4d 5174 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10 iffalse 4533 . . . 4 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1110adantl 481 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12 simpll3 1212 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐴)
13 simpll2 1211 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413leidd 11804 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐵)
15 breq2 5146 . . . . 5 (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16 breq2 5146 . . . . 5 (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐵𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
1715, 16ifboth 4563 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1812, 14, 17syl2anc 583 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1911, 18eqbrtrd 5164 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
209, 19pm2.61dan 812 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  ifcif 4524   class class class wbr 5142  cr 11131  cle 11273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-pre-lttri 11206
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem4  16187  itg2cnlem2  25685
  Copyright terms: Public domain W3C validator