Theorem ifle 13219

Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ifle	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1229	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11776	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		iftrue 4495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
4	3	adantl 486	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
6	5	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
7	6	adantll 726	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
8	7	iftrued 4497	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
9	2, 4, 8	3brtr4d 5144	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10		iffalse 4498	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
11	10	adantl 486	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12		simpll3 1231	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpll2 1230	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	leidd 11776	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐵)
15		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4529	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
18	12, 14, 17	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
19	11, 18	eqbrtrd 5134	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
20	9, 19	pm2.61dan 824	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4489   class class class wbr 5110  ℝcr 11095   ≤ cle 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem4  16269  itg2cnlem2  25886