Theorem ifle 13234

Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ifle	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll1 1231	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	leidd 11791	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ≤ 𝐴)
3		iftrue 4495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
4	3	adantl 487	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5		id 23	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 → 𝜓) → (𝜑 → 𝜓))
6	5	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 → 𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
7	6	adantll 727	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
8	7	iftrued 4497	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
9	2, 4, 8	3brtr4d 5145	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10		iffalse 4498	. . . 4 ⊢ (¬ 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12		simpll3 1233	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐴)
13		simpll2 1232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	13	leidd 11791	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ 𝐵)
15		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16		breq2 5115	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐵 ↔ 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
17	15, 16	ifboth 4529	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 ≤ 𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
18	12, 14, 17	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
19	11, 18	eqbrtrd 5135	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
20	9, 19	pm2.61dan 825	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≤ 𝐴) ∧ (𝜑 → 𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489   class class class wbr 5111  ℝcr 11110   ≤ cle 11255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260

This theorem is used by:  rpnnen2lem4  16290  itg2cnlem2  25950