MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ifle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ifle 13117
Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ifle (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle
StepHypRef Expression
1 simpll1 1213 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
21leidd 11722 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴𝐴)
3 iftrue 4493 . . . 4 (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
43adantl 483 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5 id 22 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
65imp 408 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
76adantll 713 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
87iftrued 4495 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
92, 4, 83brtr4d 5138 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10 iffalse 4496 . . . 4 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1110adantl 483 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12 simpll3 1215 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐴)
13 simpll2 1214 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413leidd 11722 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐵)
15 breq2 5110 . . . . 5 (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16 breq2 5110 . . . . 5 (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐵𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
1715, 16ifboth 4526 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1812, 14, 17syl2anc 585 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1911, 18eqbrtrd 5128 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
209, 19pm2.61dan 812 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cr 11051  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem4  16100  itg2cnlem2  25130
  Copyright terms: Public domain W3C validator