MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ifle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ifle 12273
Description: An if statement transforms an implication into an inequality of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
ifle (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))

Proof of Theorem ifle
StepHypRef Expression
1 simpll1 1270 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℝ)
21leidd 10884 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝐴𝐴)
3 iftrue 4281 . . . 4 (𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
43adantl 474 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
5 id 22 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → (𝜑𝜓))
65imp 396 . . . . 5 (((𝜑𝜓) ∧ 𝜑) → 𝜓)
76adantll 706 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → 𝜓)
87iftrued 4283 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜓, 𝐴, 𝐵) = 𝐴)
92, 4, 83brtr4d 4873 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
10 iffalse 4284 . . . 4 𝜑 → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
1110adantl 474 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) = 𝐵)
12 simpll3 1274 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐴)
13 simpll2 1272 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ∈ ℝ)
1413leidd 10884 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵𝐵)
15 breq2 4845 . . . . 5 (𝐴 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐴𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
16 breq2 4845 . . . . 5 (𝐵 = if(𝜓, 𝐴, 𝐵) → (𝐵𝐵𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵)))
1715, 16ifboth 4313 . . . 4 ((𝐵𝐴𝐵𝐵) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1812, 14, 17syl2anc 580 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → 𝐵 ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
1911, 18eqbrtrd 4863 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ ¬ 𝜑) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
209, 19pm2.61dan 848 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝐴) ∧ (𝜑𝜓)) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ≤ if(𝜓, 𝐴, 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  ifcif 4275   class class class wbr 4841  cr 10221  cle 10362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-resscn 10279  ax-pre-lttri 10296
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem4  15279  itg2cnlem2  23867
  Copyright terms: Public domain W3C validator