Theorem rpnnen2lem4 16161

Description: Lemma for rpnnen2 16170. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem4	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12425	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2		0re 11152	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11150	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		3nn 12241	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 12203	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
7		3re 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
8		3pos 12267	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
9	7, 8	recgt0ii 12065	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 / 3)
10	2, 6, 9	ltleii 11273	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
11		expge0 14039	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
12	6, 11	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
13	1, 10, 12	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
14	13	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
15		0le0 12263	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
16		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3)↑𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
17		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
18	16, 17	ifboth 4524	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
19	14, 15, 18	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
20		sstr 3952	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
21		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
22	21	rpnnen2lem1 16158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
23	20, 22	stoic3 1776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
24	19, 23	breqtrrd 5130	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
25		reexpcl 14019	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
26	6, 1, 25	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
28		0red 11153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
29		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
30	29	sseld 3942	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ 𝐵))
31		ifle 13133	. . . 4 ⊢ (((((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘)) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ 𝐵)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
32	27, 28, 14, 30, 31	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33	21	rpnnen2lem1 16158	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
34	33	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
35	32, 23, 34	3brtr4d 5134	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
36	24, 35	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ifcif 4484  𝒫 cpw 4559   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  ℕcn 12162  3c3 12218  ℕ₀cn0 12418  ↑cexp 14002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-seq 13943  df-exp 14003

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16162  rpnnen2lem7  16164  rpnnen2lem12  16169