Theorem rpnnen2lem4 16179

Description: Lemma for rpnnen2 16188. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem4	⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12439	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2		0re 11141	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11139	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
4		3nn 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℕ
5		nndivre 12213	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
6	3, 4, 5	mp2an 693	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
7		3re 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
8		3pos 12281	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 3
9	7, 8	recgt0ii 12057	. . . . . . 7 ⊢ 0 < (1 / 3)
10	2, 6, 9	ltleii 11264	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ (1 / 3)
11		expge0 14055	. . . . . . 7 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
12	6, 11	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
13	1, 10, 12	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
14	13	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
15		0le0 12277	. . . 4 ⊢ 0 ≤ 0
16		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3)↑𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
17		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (0 = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
18	16, 17	ifboth 4507	. . . 4 ⊢ ((0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
19	14, 15, 18	sylancl 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
20		sstr 3931	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
21		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
22	21	rpnnen2lem1 16176	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
23	20, 22	stoic3 1778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
24	19, 23	breqtrrd 5114	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
25		reexpcl 14035	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
26	6, 1, 25	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
27	26	3ad2ant3 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
28		0red 11142	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
29		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
30	29	sseld 3921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ 𝐵))
31		ifle 13144	. . . 4 ⊢ (((((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘)) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝑘 ∈ 𝐵)) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
32	27, 28, 14, 30, 31	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘 ∈ 𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
33	21	rpnnen2lem1 16176	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
34	33	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐵)‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
35	32, 23, 34	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
36	24, 35	jca 511	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   ≤ cle 11175   / cdiv 11802  ℕcn 12169  3c3 12232  ℕ₀cn0 12432  ↑cexp 14018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-seq 13959  df-exp 14019

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16180  rpnnen2lem7  16182  rpnnen2lem12  16187