MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem4 16106
Description: Lemma for rpnnen2 16115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12427 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 0re 11164 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 11162 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 3nn 12239 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
5 nndivre 12201 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 691 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
7 3re 12240 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
8 3pos 12265 . . . . . . . 8 0 < 3
97, 8recgt0ii 12068 . . . . . . 7 0 < (1 / 3)
102, 6, 9ltleii 11285 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 3)
11 expge0 14011 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
126, 11mp3an1 1449 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
131, 10, 12sylancl 587 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
14133ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
15 0le0 12261 . . . 4 0 ≤ 0
16 breq2 5114 . . . . 5 (((1 / 3)↑𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
17 breq2 5114 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
1816, 17ifboth 4530 . . . 4 ((0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
1914, 15, 18sylancl 587 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
20 sstr 3957 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
21 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2221rpnnen2lem1 16103 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2320, 22stoic3 1779 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2419, 23breqtrrd 5138 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘))
25 reexpcl 13991 . . . . . 6 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
266, 1, 25sylancr 588 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
27263ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
28 0red 11165 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
29 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
3029sseld 3948 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 ifle 13123 . . . 4 (((((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘)) ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3227, 28, 14, 30, 31syl31anc 1374 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3321rpnnen2lem1 16103 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
34333adant1 1131 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3532, 23, 343brtr4d 5142 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3624, 35jca 513 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3915  ifcif 4491  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110  cmpt 5193  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  cle 11197   / cdiv 11819  cn 12160  3c3 12216  0cn0 12420  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16107  rpnnen2lem7  16109  rpnnen2lem12  16114
  Copyright terms: Public domain W3C validator