MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem4 16160
Description: Lemma for rpnnen2 16169. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12479 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 0re 11216 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 11214 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 3nn 12291 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
5 nndivre 12253 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 691 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
7 3re 12292 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
8 3pos 12317 . . . . . . . 8 0 < 3
97, 8recgt0ii 12120 . . . . . . 7 0 < (1 / 3)
102, 6, 9ltleii 11337 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 3)
11 expge0 14064 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
126, 11mp3an1 1449 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
131, 10, 12sylancl 587 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
14133ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
15 0le0 12313 . . . 4 0 ≤ 0
16 breq2 5153 . . . . 5 (((1 / 3)↑𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
17 breq2 5153 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
1816, 17ifboth 4568 . . . 4 ((0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
1914, 15, 18sylancl 587 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
20 sstr 3991 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
21 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2221rpnnen2lem1 16157 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2320, 22stoic3 1779 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2419, 23breqtrrd 5177 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘))
25 reexpcl 14044 . . . . . 6 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
266, 1, 25sylancr 588 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
27263ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
28 0red 11217 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
29 simp1 1137 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
3029sseld 3982 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 ifle 13176 . . . 4 (((((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘)) ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3227, 28, 14, 30, 31syl31anc 1374 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3321rpnnen2lem1 16157 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
34333adant1 1131 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3532, 23, 343brtr4d 5181 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3624, 35jca 513 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3949  ifcif 4529  𝒫 cpw 4603   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  cle 11249   / cdiv 11871  cn 12212  3c3 12268  0cn0 12472  cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16161  rpnnen2lem7  16163  rpnnen2lem12  16168
  Copyright terms: Public domain W3C validator