MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem4 16142
Description: Lemma for rpnnen2 16151. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑘,𝐴   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem4
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12461 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
2 0re 11198 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
3 1re 11196 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
4 3nn 12273 . . . . . . . 8 3 ∈ ℕ
5 nndivre 12235 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (1 / 3) ∈ ℝ)
63, 4, 5mp2an 690 . . . . . . 7 (1 / 3) ∈ ℝ
7 3re 12274 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
8 3pos 12299 . . . . . . . 8 0 < 3
97, 8recgt0ii 12102 . . . . . . 7 0 < (1 / 3)
102, 6, 9ltleii 11319 . . . . . 6 0 ≤ (1 / 3)
11 expge0 14046 . . . . . . 7 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
126, 11mp3an1 1448 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ (1 / 3)) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
131, 10, 12sylancl 586 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
14133ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘))
15 0le0 12295 . . . 4 0 ≤ 0
16 breq2 5145 . . . . 5 (((1 / 3)↑𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
17 breq2 5145 . . . . 5 (0 = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0)))
1816, 17ifboth 4561 . . . 4 ((0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘) ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
1914, 15, 18sylancl 586 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
20 sstr 3986 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℕ)
21 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
2221rpnnen2lem1 16139 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2320, 22stoic3 1778 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) = if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
2419, 23breqtrrd 5169 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘))
25 reexpcl 14026 . . . . . 6 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
266, 1, 25sylancr 587 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
27263ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ)
28 0red 11199 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℝ)
29 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴𝐵)
3029sseld 3977 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘𝐴𝑘𝐵))
31 ifle 13158 . . . 4 (((((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((1 / 3)↑𝑘)) ∧ (𝑘𝐴𝑘𝐵)) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3227, 28, 14, 30, 31syl31anc 1373 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → if(𝑘𝐴, ((1 / 3)↑𝑘), 0) ≤ if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3321rpnnen2lem1 16139 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
34333adant1 1130 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐵)‘𝑘) = if(𝑘𝐵, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
3532, 23, 343brtr4d 5173 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
3624, 35jca 512 1 ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ∧ ((𝐹𝐴)‘𝑘) ≤ ((𝐹𝐵)‘𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3944  ifcif 4522  𝒫 cpw 4596   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6532  (class class class)co 7393  cr 11091  0cc0 11092  1c1 11093  cle 11231   / cdiv 11853  cn 12194  3c3 12250  0cn0 12454  cexp 14009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-seq 13949  df-exp 14010
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem5  16143  rpnnen2lem7  16145  rpnnen2lem12  16150
  Copyright terms: Public domain W3C validator