Theorem z2ge 13125

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifcl 4527	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
3		zre 12504	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12504	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		max1 13112	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
6		max2 13114	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
7	5, 6	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
8	3, 4, 7	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
9		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		breq2 5104	. . . 4 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
11	9, 10	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))))
12	11	rspcev 3578	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
13	2, 8, 12	syl2anc 585	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   ≤ cle 11179  ℤcz 12500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-neg 11379  df-z 12501

This theorem is referenced by: (None)