MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  z2ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem z2ge 13164
Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
z2ge ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge
StepHypRef Expression
1 ifcl 4536 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
21ancoms 458 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
3 zre 12539 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 12539 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 max1 13151 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
6 max2 13153 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
75, 6jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
83, 4, 7syl2an 596 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
9 breq2 5113 . . . 4 (𝑘 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10 breq2 5113 . . . 4 (𝑘 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑁𝑘𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
119, 10anbi12d 632 . . 3 (𝑘 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) → ((𝑀𝑘𝑁𝑘) ↔ (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))))
1211rspcev 3591 . 2 ((if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
132, 8, 12syl2anc 584 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2109  wrex 3054  ifcif 4490   class class class wbr 5109  cr 11073  cle 11215  cz 12535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-po 5548  df-so 5549  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-neg 11414  df-z 12536
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator