Theorem z2ge 13250

Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)

Assertion

Ref	Expression
z2ge	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifcl 4528	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
2	1	ancoms 464	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
3		zre 12619	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4		zre 12619	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5		max1 13237	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
6		max2 13239	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))
7	5, 6	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
8	3, 4, 7	syl2an 608	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
9		breq2 5107	. . . 4 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10		breq2 5107	. . . 4 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀)))
11	9, 10	anbi12d 644	. . 3 ⊢ (𝑘 = if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))))
12	11	rspcev 3576	. 2 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀 ≤ 𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))
13	2, 8, 12	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑁 ≤ 𝑘))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ℝcr 11123   ≤ cle 11268  ℤcz 12615

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-neg 11468  df-z 12616

This theorem is used by: (None)