MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  z2ge Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem z2ge 13206
Description: There exists an integer greater than or equal to any two others. (Contributed by NM, 28-Aug-2005.)
Assertion
Ref Expression
z2ge ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem z2ge
StepHypRef Expression
1 ifcl 4544 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
21ancoms 458 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ)
3 zre 12584 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
4 zre 12584 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
5 max1 13193 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
6 max2 13195 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))
75, 6jca 511 . . 3 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
83, 4, 7syl2an 596 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
9 breq2 5120 . . . 4 (𝑘 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑀𝑘𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
10 breq2 5120 . . . 4 (𝑘 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) → (𝑁𝑘𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀)))
119, 10anbi12d 632 . . 3 (𝑘 = if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) → ((𝑀𝑘𝑁𝑘) ↔ (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))))
1211rspcev 3599 . 2 ((if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝑀 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀) ∧ 𝑁 ≤ if(𝑀𝑁, 𝑁, 𝑀))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
132, 8, 12syl2anc 584 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑀𝑘𝑁𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wrex 3059  ifcif 4498   class class class wbr 5116  cr 11120  cle 11262  cz 12580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-neg 11461  df-z 12581
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator