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Theorem itg2cnlem2 25280
Description: Lemma for itgcn 25362. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2cn.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
itg2cn.5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
itg2cn.6 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐢   𝐹,𝑑,𝑒,π‘₯   πœ‘,𝑒,π‘₯   𝑀,𝑑,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hint:   πœ‘(𝑑)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
21rphalfcld 13028 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ+)
3 itg2cn.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
43nnrpd 13014 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
52, 4rpdivcld 13033 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+)
6 simprl 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑒 ∈ dom vol)
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
87adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
10 rge0ssre 13433 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
11 fss 6735 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
129, 10, 11sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
1312adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
14 mbfima 25147 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
158, 13, 14syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
16 inmbl 25059 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
176, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
18 difmbl 25060 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
196, 15, 18syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
20 inass 4220 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) = (𝑒 ∩ ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))))
21 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . 12 ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) = βˆ…
2221ineq2i 4210 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∩ ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))) = (𝑒 ∩ βˆ…)
23 in0 4392 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∩ βˆ…) = βˆ…
2420, 22, 233eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) = βˆ…
2524fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (vol*β€˜((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*β€˜βˆ…)
26 ovol0 25010 . . . . . . . . 9 (vol*β€˜βˆ…) = 0
2725, 26eqtri 2761 . . . . . . . 8 (vol*β€˜((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))) = 0
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (vol*β€˜((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
29 inundif 4479 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) βˆͺ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) = 𝑒
3029eqcomi 2742 . . . . . . . 8 𝑒 = ((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) βˆͺ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
3130a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑒 = ((𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) βˆͺ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))))
32 mblss 25048 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ dom vol β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
336, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
3433sselda 3983 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
359adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
3635ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 13431 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3836, 37sylib 217 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
3938simpld 496 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4039rexrd 11264 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ*)
4138simprd 497 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
42 elxrge0 13434 . . . . . . . . 9 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
4340, 41, 42sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
4434, 43syldan 592 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞))
45 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
46 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
47 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
48 0e0iccpnf 13436 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
49 ifcl 4574 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
5043, 48, 49sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
5150fmpttd 7115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
52 itg2cn.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
5352adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ)
54 icossicc 13413 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
55 fss 6735 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
5635, 54, 55sylancl 587 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞))
5739leidd 11780 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
58 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
59 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6058, 59ifboth 4568 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6157, 41, 60syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
6261ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
63 reex 11201 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ℝ ∈ V)
65 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
6635feqmptd 6961 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
6764, 50, 39, 65, 66ofrfval2 7691 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
6862, 67mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹)
69 itg2le 25257 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
7051, 56, 68, 69syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
71 itg2lecl 25256 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
7251, 53, 70, 71syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
73 ifcl 4574 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
7443, 48, 73sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
7574fmpttd 7115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
76 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
77 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
7876, 77ifboth 4568 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
7957, 41, 78syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
8079ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
81 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
8264, 74, 39, 81, 66ofrfval2 7691 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
8380, 82mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹)
84 itg2le 25257 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
8575, 56, 83, 84syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
86 itg2lecl 25256 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
8775, 53, 85, 86syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
8817, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87itg2split 25267 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
891adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ+)
9089rphalfcld 13028 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ+)
9190rpred 13016 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (𝐢 / 2) ∈ ℝ)
92 ifcl 4574 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
9343, 48, 92sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
9493fmpttd 7115 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
95 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
96 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
9795, 96ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
9857, 41, 97syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
9998ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
100 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
10164, 93, 43, 100, 66ofrfval2 7691 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
10299, 101mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹)
103 itg2le 25257 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
10494, 56, 102, 103syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
105 itg2lecl 25256 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
10694, 53, 104, 105syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
107 0red 11217 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
108 elinel2 4197 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
110 ifle 13176 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) ∧ (π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) β†’ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
11139, 107, 41, 109, 110syl31anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
112111ralrimiva 3147 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
11364, 50, 93, 65, 100ofrfval2 7691 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
114112, 113mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
115 itg2le 25257 . . . . . . . . 9 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
11651, 94, 114, 115syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
11766fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜πΉ) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
118 cmmbl 25051 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol β†’ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
11915, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
120 disjdif 4472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) = βˆ…
121120fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*β€˜βˆ…)
122121, 26eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))) = 0
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (vol*β€˜((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
124 undif2 4477 . . . . . . . . . . . . 13 ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βˆͺ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) = ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βˆͺ ℝ)
125 mblss 25048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βŠ† ℝ)
12615, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βŠ† ℝ)
127 ssequn1 4181 . . . . . . . . . . . . . 14 ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βŠ† ℝ ↔ ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βˆͺ ℝ) = ℝ)
128126, 127sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βˆͺ ℝ) = ℝ)
129124, 128eqtr2id 2786 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ℝ = ((◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) βˆͺ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))))
130 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
131 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
132 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ if(π‘₯ ∈ ℝ, (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
133132mpteq2ia 5252 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ ℝ, (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
134133eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ ℝ, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
135 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
13643, 48, 135sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
138 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘₯) = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
139 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
140138, 139ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘₯) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
14157, 41, 140syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
142141ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
143 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
14464, 136, 43, 143, 66ofrfval2 7691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
145142, 144mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹)
146 itg2le 25257 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝐹:β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ 𝐹) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
147137, 56, 145, 146syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ))
148 itg2lecl 25256 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜πΉ)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
149137, 53, 147, 148syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
15015, 119, 123, 129, 43, 130, 131, 134, 106, 149itg2split 25267 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
151117, 150eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜πΉ) = ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
152 eldif 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
153152baib 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
154153adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
1559ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹 Fn ℝ)
157 elpreima 7060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀(,)+∞))))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀(,)+∞))))
15939biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (πΉβ€˜π‘₯))))
1603nnred 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
161160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
162161rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
163 elioopnf 13420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (πΉβ€˜π‘₯))))
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (πΉβ€˜π‘₯))))
165 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
166165biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀(,)+∞))))
167159, 164, 1663bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (𝑀(,)+∞))))
168161, 39ltnled 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑀 < (πΉβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀))
169158, 167, 1683bitr2rd 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
170169con1bid 356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀))
171154, 170bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀))
172171ifbid 4552 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀, (πΉβ€˜π‘₯), 0))
173172mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀, (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
174173fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀, (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
175 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
176175adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
177174, 176eqnbrtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)))
17853, 91resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) ∈ ℝ)
179178, 149ltnled 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ↔ Β¬ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2))))
180177, 179mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
18153, 91, 149ltsubadd2d 11812 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (((∫2β€˜πΉ) βˆ’ (𝐢 / 2)) < (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ↔ (∫2β€˜πΉ) < ((𝐢 / 2) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))))
182180, 181mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜πΉ) < ((𝐢 / 2) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
183151, 182eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) < ((𝐢 / 2) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))))
184106, 91, 149ltadd1d 11807 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < (𝐢 / 2) ↔ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) < ((𝐢 / 2) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))))
185183, 184mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < (𝐢 / 2))
18672, 106, 91, 116, 185lelttrd 11372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < (𝐢 / 2))
187160adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
188 mblvol 25047 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ dom vol β†’ (volβ€˜π‘’) = (vol*β€˜π‘’))
1896, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (volβ€˜π‘’) = (vol*β€˜π‘’))
1905rpred 13016 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐢 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
191190adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((𝐢 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
192 ovolcl 24995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 βŠ† ℝ β†’ (vol*β€˜π‘’) ∈ ℝ*)
19333, 192syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (vol*β€˜π‘’) ∈ ℝ*)
194191rexrd 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((𝐢 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ*)
195 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))
196189, 195eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (vol*β€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))
197193, 194, 196xrltled 13129 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (vol*β€˜π‘’) ≀ ((𝐢 / 2) / 𝑀))
198 ovollecl 25000 . . . . . . . . . . 11 ((𝑒 βŠ† ℝ ∧ ((𝐢 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (vol*β€˜π‘’) ≀ ((𝐢 / 2) / 𝑀)) β†’ (vol*β€˜π‘’) ∈ ℝ)
19933, 191, 197, 198syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (vol*β€˜π‘’) ∈ ℝ)
200189, 199eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (volβ€˜π‘’) ∈ ℝ)
201187, 200remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (𝑀 Β· (volβ€˜π‘’)) ∈ ℝ)
202187rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ ℝ*)
2033adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
204203nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
205204nn0ge0d 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 0 ≀ 𝑀)
206 elxrge0 13434 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ 𝑀))
207202, 205, 206sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
208 ifcl 4574 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
209207, 48, 208sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
210209adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
211210fmpttd 7115 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
212 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))
213212adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))
214 difssd 4133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) βŠ† 𝑒)
215214sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑒)
21634, 169syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑒) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
217215, 216syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ (Β¬ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀 ↔ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))))
218217con1bid 356 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀))
219213, 218mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ≀ 𝑀)
220 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
221220adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = (πΉβ€˜π‘₯))
222215iftrued 4537 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0) = 𝑀)
223219, 221, 2223brtr4d 5181 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))
224 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = 0)
225224adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = 0)
226 0le0 12313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≀ 0
227 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0) β†’ (0 ≀ 𝑀 ↔ 0 ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)))
228 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)))
229227, 228ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≀ 𝑀 ∧ 0 ≀ 0) β†’ 0 ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))
230205, 226, 229sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 0 ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))
231230adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ 0 ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))
232225, 231eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞)))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))
233223, 232pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))
234233ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))
235 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)))
23664, 74, 210, 81, 235ofrfval2 7691 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ≀ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)))
237234, 236mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)))
238 itg2le 25257 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))))
23975, 211, 237, 238syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))))
240 elrege0 13431 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑀))
241187, 205, 240sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ (0[,)+∞))
242 itg2const 25258 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))) = (𝑀 Β· (volβ€˜π‘’)))
2436, 200, 241, 242syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, 𝑀, 0))) = (𝑀 Β· (volβ€˜π‘’)))
244239, 243breqtrd 5175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ≀ (𝑀 Β· (volβ€˜π‘’)))
245203nngt0d 12261 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 0 < 𝑀)
246 ltmuldiv2 12088 . . . . . . . . . 10 (((volβ€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ (𝐢 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) β†’ ((𝑀 Β· (volβ€˜π‘’)) < (𝐢 / 2) ↔ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀)))
247200, 91, 187, 245, 246syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((𝑀 Β· (volβ€˜π‘’)) < (𝐢 / 2) ↔ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀)))
248195, 247mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (𝑀 Β· (volβ€˜π‘’)) < (𝐢 / 2))
24987, 201, 91, 244, 248lelttrd 11372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < (𝐢 / 2))
25072, 87, 91, 91, 186, 249lt2addd 11837 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 ∩ (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) + (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (𝑒 βˆ– (◑𝐹 β€œ (𝑀(,)+∞))), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))) < ((𝐢 / 2) + (𝐢 / 2)))
25188, 250eqbrtrd 5171 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < ((𝐢 / 2) + (𝐢 / 2)))
25289rpcnd 13018 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
2532522halvesd 12458 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ ((𝐢 / 2) + (𝐢 / 2)) = 𝐢)
254251, 253breqtrd 5175 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢)
255254expr 458 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ dom vol) β†’ ((volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
256255ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
257 breq2 5153 . . 3 (𝑑 = ((𝐢 / 2) / 𝑀) β†’ ((volβ€˜π‘’) < 𝑑 ↔ (volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀)))
258257rspceaimv 3618 . 2 ((((𝐢 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < ((𝐢 / 2) / 𝑀) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
2595, 256, 258syl2anc 585 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((volβ€˜π‘’) < 𝑑 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ 𝑒, (πΉβ€˜π‘₯), 0))) < 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘r cofr 7669  β„cr 11109  0cc0 11110   + caddc 11113   Β· cmul 11115  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,)cico 13326  [,]cicc 13327  vol*covol 24979  volcvol 24980  MblFncmbf 25131  βˆ«2citg2 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cmp 22891  df-ovol 24981  df-vol 24982  df-mbf 25136  df-itg1 25137  df-itg2 25138  df-0p 25187
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