Theorem itg2cnlem2 25272

Description: Lemma for itgcn 25354. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3	⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
itg2cn.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
itg2cn.6	⊢ (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))

Assertion

Ref	Expression
itg2cnlem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥   𝑀,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cnlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
2	1	rphalfcld 13025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
3		itg2cn.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4	3	nnrpd 13011	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ+)
5	2, 4	rpdivcld 13030	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+)
6		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ∈ dom vol)
7		itg2cn.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
8	7	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10		rge0ssre 13430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11		fss 6732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
12	9, 10, 11	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
13	12	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14		mbfima 25139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
15	8, 13, 14	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
16		inmbl 25051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
17	6, 15, 16	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
18		difmbl 25052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
19	6, 15, 18	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
20		inass 4219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = (𝑢 ∩ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
21		disjdif 4471	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
22	21	ineq2i 4209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∩ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (𝑢 ∩ ∅)
23		in0 4391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∩ ∅) = ∅
24	20, 22, 23	3eqtri 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
25	24	fveq2i 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ (vol*‘((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
26		ovol0 25002	. . . . . . . . 9 ⊢ (vol*‘∅) = 0
27	25, 26	eqtri 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (vol*‘((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
28	27	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
29		inundif 4478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = 𝑢
30	29	eqcomi 2742	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑢 = ((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
31	30	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 = ((𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
32		mblss 25040	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ dom vol → 𝑢 ⊆ ℝ)
33	6, 32	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ⊆ ℝ)
34	33	sselda 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → 𝑥 ∈ ℝ)
35	9	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
36	35	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
37		elrege0 13428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
38	36, 37	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
39	38	simpld 496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
40	39	rexrd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ*)
41	38	simprd 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
42		elxrge0 13431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
43	40, 41, 42	sylanbrc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
44	34, 43	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞))
45		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))
46		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))
47		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))
48		0e0iccpnf 13433	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
49		ifcl 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
50	43, 48, 49	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
51	50	fmpttd 7112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
52		itg2cn.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
53	52	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘𝐹) ∈ ℝ)
54		icossicc 13410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
55		fss 6732	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
56	35, 54, 55	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
57	39	leidd 11777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥))
58		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
59		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
60	58, 59	ifboth 4567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
61	57, 41, 60	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
62	61	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
63		reex 11198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ ∈ V)
65		eqidd 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))
66	35	feqmptd 6958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
67	64, 50, 39, 65, 66	ofrfval2 7688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
68	62, 67	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹)
69		itg2le 25249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
70	51, 56, 68, 69	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
71		itg2lecl 25248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
72	51, 53, 70, 71	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
73		ifcl 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
74	43, 48, 73	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
75	74	fmpttd 7112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
76		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
77		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
78	76, 77	ifboth 4567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
79	57, 41, 78	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
80	79	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
81		eqidd 2734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))
82	64, 74, 39, 81, 66	ofrfval2 7688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
83	80, 82	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹)
84		itg2le 25249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
85	75, 56, 83, 84	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
86		itg2lecl 25248	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
87	75, 53, 85, 86	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
88	17, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87	itg2split 25259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))))
89	1	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
90	89	rphalfcld 13025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
91	90	rpred 13013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
92		ifcl 4573	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
93	43, 48, 92	sylancl 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
94	93	fmpttd 7112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
95		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
96		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
97	95, 96	ifboth 4567	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) → if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
98	57, 41, 97	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
99	98	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
100		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
101	64, 93, 43, 100, 66	ofrfval2 7688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
102	99, 101	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹)
103		itg2le 25249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
104	94, 56, 102, 103	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
105		itg2lecl 25248	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
106	94, 53, 104, 105	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
107		0red 11214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
108		elinel2 4196	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
110		ifle 13173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
111	39, 107, 41, 109, 110	syl31anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
112	111	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
113	64, 50, 93, 65, 100	ofrfval2 7688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
114	112, 113	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)))
115		itg2le 25249	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))))
116	51, 94, 114, 115	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))))
117	66	fveq2d 6893	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘𝐹) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))))
118		cmmbl 25043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
119	15, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
120		disjdif 4471	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
121	120	fveq2i 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (vol*‘((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
122	121, 26	eqtri 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (vol*‘((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
124		undif2 4476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ)
125		mblss 25040	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
126	15, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
127		ssequn1 4180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ ↔ ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
128	126, 127	sylib 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
129	124, 128	eqtr2id 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ = ((◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
130		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))
131		eqid 2733	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))
132		iftrue 4534	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
133	132	mpteq2ia 5251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))
134	133	eqcomi 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹‘𝑥), 0))
135		ifcl 4573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
136	43, 48, 135	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
137	136	fmpttd 7112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
138		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) → ((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
139		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
140	138, 139	ifboth 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
141	57, 41, 140	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
142	141	ralrimiva 3147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥))
143		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))
144	64, 136, 43, 143, 66	ofrfval2 7688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ (𝐹‘𝑥)))
145	142, 144	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹)
146		itg2le 25249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ 𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
147	137, 56, 145, 146	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹))
148		itg2lecl 25248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
149	137, 53, 147, 148	syl3anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
150	15, 119, 123, 129, 43, 130, 131, 134, 106, 149	itg2split 25259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))))
151	117, 150	eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘𝐹) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))))
152		eldif 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
153	152	baib 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
154	153	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
155	9	ffnd 6716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℝ)
156	155	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
157		elpreima 7057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
159	39	biantrurd 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹‘𝑥))))
160	3	nnred 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
161	160	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
162	161	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ*)
163		elioopnf 13417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹‘𝑥))))
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹‘𝑥))))
165		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
166	165	biantrurd 534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
167	159, 164, 166	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
168	161, 39	ltnled 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹‘𝑥) ↔ ¬ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀))
169	158, 167, 168	3bitr2rd 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
170	169	con1bid 356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀))
171	154, 170	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀))
172	171	ifbid 4551	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹‘𝑥), 0))
173	172	mpteq2dva 5248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹‘𝑥), 0)))
174	173	fveq2d 6893	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹‘𝑥), 0))))
175		itg2cn.6	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
176	175	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
177	174, 176	eqnbrtrd 5166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)))
178	53, 91	resubcld 11639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
179	178, 149	ltnled 11358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ↔ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2))))
180	177, 179	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))))
181	53, 91, 149	ltsubadd2d 11809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2‘𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ↔ (∫2‘𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))))))
182	180, 181	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))))
183	151, 182	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))))
184	106, 91, 149	ltadd1d 11804	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) < (𝐶 / 2) ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))))))
185	183, 184	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹‘𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
186	72, 106, 91, 116, 185	lelttrd 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
187	160	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
188		mblvol 25039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 ∈ dom vol → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
189	6, 188	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
190	5	rpred 13013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
191	190	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
192		ovolcl 24987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
193	33, 192	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
194	191	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ*)
195		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
196	189, 195	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
197	193, 194, 196	xrltled 13126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀))
198		ovollecl 24992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
199	33, 191, 197, 198	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
200	189, 199	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
201	187, 200	remulcld 11241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
202	187	rexrd 11261	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ*)
203	3	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
204	203	nnnn0d 12529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
205	204	nn0ge0d 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ 𝑀)
206		elxrge0 13431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀))
207	202, 205, 206	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
208		ifcl 4573	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
209	207, 48, 208	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
210	209	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
211	210	fmpttd 7112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
212		eldifn 4127	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
213	212	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → ¬ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
214		difssd 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
215	214	sselda 3982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 𝑥 ∈ 𝑢)
216	34, 169	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) → (¬ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
217	215, 216	syldan 592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀 ↔ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
218	217	con1bid 356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ 𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀))
219	213, 218	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑀)
220		iftrue 4534	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
221	220	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) = (𝐹‘𝑥))
222	215	iftrued 4536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0) = 𝑀)
223	219, 221, 222	3brtr4d 5180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))
224		iffalse 4537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) = 0)
225	224	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) = 0)
226		0le0 12310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ≤ 0
227		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 = if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)))
228		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 = if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)))
229	227, 228	ifboth 4567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ≤ 𝑀 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))
230	205, 226, 229	sylancl 587	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))
231	230	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 0 ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))
232	225, 231	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))
233	223, 232	pm2.61dan 812	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))
234	233	ralrimivw 3151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))
235		eqidd 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)))
236	64, 74, 210, 81, 235	ofrfval2 7688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)))
237	234, 236	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)))
238		itg2le 25249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))))
239	75, 211, 237, 238	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))))
240		elrege0 13428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀))
241	187, 205, 240	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,)+∞))
242		itg2const 25250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
243	6, 200, 241, 242	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
244	239, 243	breqtrd 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) ≤ (𝑀 · (vol‘𝑢)))
245	203	nngt0d 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 < 𝑀)
246		ltmuldiv2 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
247	200, 91, 187, 245, 246	syl112anc 1375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
248	195, 247	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2))
249	87, 201, 91, 244, 248	lelttrd 11369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
250	72, 87, 91, 91, 186, 249	lt2addd 11834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (◡𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹‘𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
251	88, 250	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
252	89	rpcnd 13015	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℂ)
253	252	2halvesd 12455	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
254	251, 253	breqtrd 5174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶)
255	254	expr 458	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
256	255	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
257		breq2 5152	. . 3 ⊢ (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
258	257	rspceaimv 3617	. 2 ⊢ ((((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))
259	5, 256, 258	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝑢, (𝐹‘𝑥), 0))) < 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  Vcvv 3475   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676   “ cima 5679   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406   ∘_r cofr 7666  ℝcr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   · cmul 11112  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11441   / cdiv 11868  ℕcn 12209  2c2 12264  ℝ⁺crp 12971  (,)cioo 13321  [,)cico 13323  [,]cicc 13324  vol*covol 24971  volcvol 24972  MblFncmbf 25123  ∫₂citg2 25125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cmp 22883  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129  df-itg2 25130  df-0p 25179

This theorem is referenced by:  itg2cn  25273