Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cnlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2cnlem2 24362
 Description: Lemma for itgcn 24444. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
itg2cn.2 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2cn.3 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
itg2cn.4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
itg2cn.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
itg2cn.6 (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐶   𝐹,𝑑,𝑢,𝑥   𝜑,𝑢,𝑥   𝑀,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑑)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
21rphalfcld 12436 . . 3 (𝜑 → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
3 itg2cn.5 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
43nnrpd 12422 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
52, 4rpdivcld 12441 . 2 (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+)
6 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ∈ dom vol)
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
87adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 ∈ MblFn)
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
10 rge0ssre 12839 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
11 fss 6515 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
129, 10, 11sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
1312adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
14 mbfima 24230 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
158, 13, 14syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol)
16 inmbl 24142 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
176, 15, 16syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
18 difmbl 24143 . . . . . . . 8 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
196, 15, 18syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
20 inass 4180 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = (𝑢 ∩ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
21 disjdif 4403 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
2221ineq2i 4170 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∩ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (𝑢 ∩ ∅)
23 in0 4327 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∩ ∅) = ∅
2420, 22, 233eqtri 2851 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
2524fveq2i 6661 . . . . . . . . 9 (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
26 ovol0 24093 . . . . . . . . 9 (vol*‘∅) = 0
2725, 26eqtri 2847 . . . . . . . 8 (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
2827a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∩ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
29 inundif 4409 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = 𝑢
3029eqcomi 2833 . . . . . . . 8 𝑢 = ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
3130a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 = ((𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∪ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
32 mblss 24131 . . . . . . . . . 10 (𝑢 ∈ dom vol → 𝑢 ⊆ ℝ)
336, 32syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑢 ⊆ ℝ)
3433sselda 3952 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → 𝑥 ∈ ℝ)
359adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
3635ffvelrnda 6839 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
37 elrege0 12837 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3836, 37sylib 221 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
3938simpld 498 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
4039rexrd 10683 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ*)
4138simprd 499 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
42 elxrge0 12840 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
4340, 41, 42sylanbrc 586 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
4434, 43syldan 594 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞))
45 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
46 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
47 eqid 2824 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))
48 0e0iccpnf 12842 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
49 ifcl 4493 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
5043, 48, 49sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
5150fmpttd 6867 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
52 itg2cn.3 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
5352adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) ∈ ℝ)
54 icossicc 12819 . . . . . . . . . 10 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
55 fss 6515 . . . . . . . . . 10 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5635, 54, 55sylancl 589 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞))
5739leidd 11198 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥))
58 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
59 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
6058, 59ifboth 4487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
6157, 41, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
6261ralrimiva 3177 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
63 reex 10620 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ ∈ V)
65 eqidd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
6635feqmptd 6721 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
6764, 50, 39, 65, 66ofrfval2 7417 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
6862, 67mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹)
69 itg2le 24339 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
7051, 56, 68, 69syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
71 itg2lecl 24338 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
7251, 53, 70, 71syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
73 ifcl 4493 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
7443, 48, 73sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
7574fmpttd 6867 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
76 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
77 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
7876, 77ifboth 4487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
7957, 41, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
8079ralrimiva 3177 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
81 eqidd 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
8264, 74, 39, 81, 66ofrfval2 7417 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
8380, 82mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹)
84 itg2le 24339 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
8575, 56, 83, 84syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
86 itg2lecl 24338 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
8775, 53, 85, 86syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
8817, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87itg2split 24349 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
891adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℝ+)
9089rphalfcld 12436 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ+)
9190rpred 12424 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐶 / 2) ∈ ℝ)
92 ifcl 4493 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
9343, 48, 92sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
9493fmpttd 6867 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
95 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
96 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 = if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
9795, 96ifboth 4487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
9857, 41, 97syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
9998ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
100 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
10164, 93, 43, 100, 66ofrfval2 7417 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
10299, 101mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹)
103 itg2le 24339 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
10494, 56, 102, 103syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
105 itg2lecl 24338 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
10694, 53, 104, 105syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
107 0red 10636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
108 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
110 ifle 12583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
11139, 107, 41, 109, 110syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
112111ralrimiva 3177 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
11364, 50, 93, 65, 100ofrfval2 7417 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
114112, 113mpbird 260 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)))
115 itg2le 24339 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))))
11651, 94, 114, 115syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))))
11766fveq2d 6662 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))))
118 cmmbl 24134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
11915, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ∈ dom vol)
120 disjdif 4403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ∅
121120fveq2i 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = (vol*‘∅)
122121, 26eqtri 2847 . . . . . . . . . . . . 13 (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∩ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))) = 0)
124 undif2 4407 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) = ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ)
125 mblss 24131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∈ dom vol → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
12615, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ)
127 ssequn1 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ⊆ ℝ ↔ ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
128126, 127sylib 221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ ℝ) = ℝ)
129124, 128syl5req 2872 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ℝ = ((𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ∪ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))))
130 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))
131 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))
132 iftrue 4455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
133132mpteq2ia 5143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))
134133eqcomi 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ ℝ, (𝐹𝑥), 0))
135 ifcl 4493 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑥) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
13643, 48, 135sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136fmpttd 6867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
138 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥) = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → ((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
139 breq1 5055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
140138, 139ifboth 4487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑥) ≤ (𝐹𝑥) ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
14157, 41, 140syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
142141ralrimiva 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥))
143 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))
14464, 136, 43, 143, 66ofrfval2 7417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ (𝐹𝑥)))
145142, 144mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹)
146 itg2le 24339 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ 𝐹:ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r𝐹) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
147137, 56, 145, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹))
148 itg2lecl 24338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2𝐹) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2𝐹)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
149137, 53, 147, 148syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
15015, 119, 123, 129, 43, 130, 131, 134, 106, 149itg2split 24349 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
151117, 150eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
152 eldif 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
153152baib 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
154153adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
1559ffnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 Fn ℝ)
156155ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹 Fn ℝ)
157 elpreima 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 Fn ℝ → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
15939biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
1603nnred 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
161160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
162161rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ*)
163 elioopnf 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑀 ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 𝑀 < (𝐹𝑥))))
165 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
166165biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
167159, 164, 1663bitr2d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑀(,)+∞))))
168161, 39ltnled 10779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑀 < (𝐹𝑥) ↔ ¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
169158, 167, 1683bitr2rd 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
170169con1bid 359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
171154, 170bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
172171ifbid 4471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))
173172mpteq2dva 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0)))
174173fveq2d 6662 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))))
175 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
176175adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝐹𝑥) ≤ 𝑀, (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
177174, 176eqnbrtrd 5070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)))
17853, 91resubcld 11060 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) ∈ ℝ)
179178, 149ltnled 10779 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ↔ ¬ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2))))
180177, 179mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))
18153, 91, 149ltsubadd2d 11230 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (((∫2𝐹) − (𝐶 / 2)) < (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ↔ (∫2𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))))
182180, 181mpbid 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2𝐹) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
183151, 182eqbrtrrd 5076 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))))
184106, 91, 149ltadd1d 11225 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2) ↔ ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (ℝ ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))))))
185183, 184mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
18672, 106, 91, 116, 185lelttrd 10790 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
187160adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ)
188 mblvol 24130 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ dom vol → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
1896, 188syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) = (vol*‘𝑢))
1905rpred 12424 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
191190adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ)
192 ovolcl 24078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 ⊆ ℝ → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
19333, 192syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ*)
194191rexrd 10683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ*)
195 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
196189, 195eqbrtrrd 5076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))
197193, 194, 196xrltled 12536 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀))
198 ovollecl 24083 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 ⊆ ℝ ∧ ((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ ∧ (vol*‘𝑢) ≤ ((𝐶 / 2) / 𝑀)) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
19933, 191, 197, 198syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol*‘𝑢) ∈ ℝ)
200189, 199eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
201187, 200remulcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
202187rexrd 10683 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℝ*)
2033adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
204203nnnn0d 11948 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
205204nn0ge0d 11951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ 𝑀)
206 elxrge0 12840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑀))
207202, 205, 206sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,]+∞))
208 ifcl 4493 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
209207, 48, 208sylancl 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
210209adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) ∈ (0[,]+∞))
211210fmpttd 6867 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
212 eldifn 4089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
213212adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))
214 difssd 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) ⊆ 𝑢)
215214sselda 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 𝑥𝑢)
21634, 169syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥𝑢) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
217215, 216syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))))
218217con1bid 359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (¬ 𝑥 ∈ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)) ↔ (𝐹𝑥) ≤ 𝑀))
219213, 218mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → (𝐹𝑥) ≤ 𝑀)
220 iftrue 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
221220adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = (𝐹𝑥))
222215iftrued 4457 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) = 𝑀)
223219, 221, 2223brtr4d 5084 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
224 iffalse 4458 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = 0)
225224adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) = 0)
226 0le0 11731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 0
227 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 𝑀 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
228 breq2 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 = if(𝑥𝑢, 𝑀, 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
229227, 228ifboth 4487 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ 𝑀 ∧ 0 ≤ 0) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
230205, 226, 229sylancl 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
231230adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → 0 ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
232225, 231eqbrtrd 5074 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞)))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
233223, 232pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
234233ralrimivw 3178 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))
235 eqidd 2825 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
23664, 74, 210, 81, 235ofrfval2 7417 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0) ≤ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
237234, 236mpbird 260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)))
238 itg2le 24339 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))))
23975, 211, 237, 238syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))))
240 elrege0 12837 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑀))
241187, 205, 240sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝑀 ∈ (0[,)+∞))
242 itg2const 24340 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
2436, 200, 241, 242syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, 𝑀, 0))) = (𝑀 · (vol‘𝑢)))
244239, 243breqtrd 5078 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) ≤ (𝑀 · (vol‘𝑢)))
245203nngt0d 11679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 0 < 𝑀)
246 ltmuldiv2 11506 . . . . . . . . . 10 (((vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑀)) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
247200, 91, 187, 245, 246syl112anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2) ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
248195, 247mpbird 260 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (𝑀 · (vol‘𝑢)) < (𝐶 / 2))
24987, 201, 91, 244, 248lelttrd 10790 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) < (𝐶 / 2))
25072, 87, 91, 91, 186, 249lt2addd 11255 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∩ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ (𝑢 ∖ (𝐹 “ (𝑀(,)+∞))), (𝐹𝑥), 0)))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
25188, 250eqbrtrd 5074 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)))
25289rpcnd 12426 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → 𝐶 ∈ ℂ)
2532522halvesd 11876 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → ((𝐶 / 2) + (𝐶 / 2)) = 𝐶)
254251, 253breqtrd 5078 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)
255254expr 460 . . 3 ((𝜑𝑢 ∈ dom vol) → ((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
256255ralrimiva 3177 . 2 (𝜑 → ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
257 breq2 5056 . . 3 (𝑑 = ((𝐶 / 2) / 𝑀) → ((vol‘𝑢) < 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀)))
258257rspceaimv 3614 . 2 ((((𝐶 / 2) / 𝑀) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < ((𝐶 / 2) / 𝑀) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
2595, 256, 258syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((vol‘𝑢) < 𝑑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑢, (𝐹𝑥), 0))) < 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ∪ cun 3917   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4275  ifcif 4449   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ◡ccnv 5541  dom cdm 5542   “ cima 5545   Fn wfn 6338  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7145   ∘r cofr 7398  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532   · cmul 10534  +∞cpnf 10664  ℝ*cxr 10666   < clt 10667   ≤ cle 10668   − cmin 10862   / cdiv 11289  ℕcn 11630  2c2 11685  ℝ+crp 12382  (,)cioo 12731  [,)cico 12733  [,]cicc 12734  vol*covol 24062  volcvol 24063  MblFncmbf 24214  ∫2citg2 24216 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-inf2 9095  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7399  df-ofr 7400  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11693  df-3 11694  df-n0 11891  df-z 11975  df-uz 12237  df-q 12342  df-rp 12383  df-xneg 12500  df-xadd 12501  df-xmul 12502  df-ioo 12735  df-ico 12737  df-icc 12738  df-fz 12891  df-fzo 13034  df-fl 13162  df-seq 13370  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20530  df-xmet 20531  df-met 20532  df-bl 20533  df-mopn 20534  df-top 21495  df-topon 21512  df-bases 21547  df-cmp 21988  df-ovol 24064  df-vol 24065  df-mbf 24219  df-itg1 24220  df-itg2 24221  df-0p 24270 This theorem is referenced by:  itg2cn  24363
 Copyright terms: Public domain W3C validator