MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max0sub 13235
Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)

Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0red 11262 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 iftrue 4537 . . . . 5 (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
43adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
5 0xr 11306 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
6 renegcl 11570 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
87rexrd 11309 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ*)
9 le0neg2 11770 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
109biimpa 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11 xrmaxeq 13218 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
125, 8, 10, 11mp3an2i 1465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
134, 12oveq12d 7449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 − 0))
14 recn 11243 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615subid1d 11607 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
1713, 16eqtrd 2775 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
18 rexr 11305 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
21 xrmaxeq 13218 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
225, 19, 20, 21mp3an2i 1465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
23 le0neg1 11769 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2423biimpa 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
2524iftrued 4539 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
2622, 25oveq12d 7449 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 − -𝐴))
27 df-neg 11493 . . . 4 --𝐴 = (0 − -𝐴)
2814adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2928negnegd 11609 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → --𝐴 = 𝐴)
3027, 29eqtr3id 2789 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
3126, 30eqtrd 2775 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
321, 2, 17, 31lecasei 11365 1 (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  *cxr 11292  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  25772  itgitg1  25859  itgconst  25869  itgaddlem2  25874  itgmulc2lem2  25883  itgaddnclem2  37666  itgmulc2nclem2  37674
  Copyright terms: Public domain W3C validator