MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max0sub 12930
Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)

Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0red 10978 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3 iftrue 4465 . . . . 5 (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
43adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
5 0xr 11022 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
6 renegcl 11284 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
87rexrd 11025 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ*)
9 le0neg2 11484 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
109biimpa 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11 xrmaxeq 12913 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
125, 8, 10, 11mp3an2i 1465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
134, 12oveq12d 7293 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 − 0))
14 recn 10961 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
1514adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
1615subid1d 11321 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
1713, 16eqtrd 2778 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
18 rexr 11021 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
1918adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20 simpr 485 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
21 xrmaxeq 12913 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
225, 19, 20, 21mp3an2i 1465 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
23 le0neg1 11483 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
2423biimpa 477 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
2524iftrued 4467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
2622, 25oveq12d 7293 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 − -𝐴))
27 df-neg 11208 . . . 4 --𝐴 = (0 − -𝐴)
2814adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2928negnegd 11323 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → --𝐴 = 𝐴)
3027, 29eqtr3id 2792 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
3126, 30eqtrd 2778 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
321, 2, 17, 31lecasei 11081 1 (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  ifcif 4459   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  *cxr 11008  cle 11010  cmin 11205  -cneg 11206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  24887  itgitg1  24973  itgconst  24983  itgaddlem2  24988  itgmulc2lem2  24997  itgaddnclem2  35836  itgmulc2nclem2  35844
  Copyright terms: Public domain W3C validator