Theorem max0sub 13111

Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
max0sub	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)

Proof of Theorem max0sub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11135	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
2		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		iftrue 4485	. . . . 5 ⊢ (0 ≤ 𝐴 → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
4	3	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 𝐴)
5		0xr 11179	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
6		renegcl 11444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ∈ ℝ*)
9		le0neg2 11646	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ 0))
10	9	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → -𝐴 ≤ 0)
11		xrmaxeq 13094	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
12	5, 8, 10, 11	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = 0)
13	4, 12	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (𝐴 − 0))
14		recn 11116	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	15	subid1d 11481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (𝐴 − 0) = 𝐴)
17	13, 16	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
18		rexr 11178	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℝ*)
20		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ≤ 0)
21		xrmaxeq 13094	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
22	5, 19, 20, 21	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) = 0)
23		le0neg1 11645	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 0 ↔ 0 ≤ -𝐴))
24	23	biimpa 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 0 ≤ -𝐴)
25	24	iftrued 4487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0) = -𝐴)
26	22, 25	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = (0 − -𝐴))
27		df-neg 11367	. . . 4 ⊢ --𝐴 = (0 − -𝐴)
28	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
29	28	negnegd 11483	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → --𝐴 = 𝐴)
30	27, 29	eqtr3id 2785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (0 − -𝐴) = 𝐴)
31	26, 30	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)
32	1, 2, 17, 31	lecasei 11239	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) − if(0 ≤ -𝐴, -𝐴, 0)) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026  ℝ^*cxr 11165   ≤ cle 11167   − cmin 11364  -cneg 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  25679  itgitg1  25766  itgconst  25776  itgaddlem2  25781  itgmulc2lem2  25790  itgaddnclem2  37880  itgmulc2nclem2  37888