Theorem leidd 11808

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11334	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ℝcr 11127   ≤ cle 11272

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277

This theorem is used by:  zextle  12698  uzind  12717  uzid  12906  ifle  13253  supxrre  13383  infxrre  13393  nn0fz0  13684  fvinim0ffz  13849  flid  13873  modabs2  13970  monoord  14100  leexp2r  14242  facwordi  14357  faclbnd6  14367  pfxsuffeqwrdeq  14771  repswcshw  14887  iseraltlem2  15774  climcndslem1  15942  cvgrat  15976  eirrlem  16298  ruclem2  16326  ruclem9  16332  sadcaddlem  16553  nn0seqcvgd  16666  eulerthlem2  16879  pcidlem  16970  pc2dvds  16977  pcprmpw2  16980  pcmpt  16990  ramub1lem2  17125  prmolefac  17144  prmgaplem4  17152  pgpfi  19738  zntoslem  21775  psrridm  22183  methaus  24752  nmoid  24974  xrsxmet  25042  reconnlem1  25059  metdstri  25084  nmoleub3  25353  ovolctb  25724  ovolicc1  25750  volcn  25840  mbflimsup  25900  mbfi1fseqlem4  25952  itg2const2  25975  itg2uba  25977  itg2splitlem  25982  itg2cnlem1  25995  itg2cnlem2  25996  iblss  26039  itgless  26051  itgsplitioo  26072  dvge0  26240  dvcvx  26254  dvfsumlem2  26261  dvfsumlem3  26262  dvfsumrlim  26265  coe1mul4  26332  deg1mul2  26346  ply1divex  26369  deg1submon1p  26385  coe1termlem  26491  dgradd2  26501  dgrco  26508  aaliou3lem2  26586  abelth2  26685  jensen  27233  logexprlim  27469  bcmono  27521  bcmax  27522  dchrisum0flblem1  27752  pntleml  27855  eupth2  30727  blocnilem  31293  wrdt2ind  33403  fiunelros  34693  dstfrvunirn  34994  ballotlemsi  35034  dnibndlem2  37184  knoppndvlem15  37231  relowlssretop  38125  poimirlem28  38405  mblfinlem2  38415  itg2addnclem  38428  itg2gt0cn  38432  ftc1anclem7  38456  ftc1anclem8  38457  ftc1anc  38458  ssbnd  38546  bfplem1  38580  lcmineqlem4  42906  3lexlogpow5ineq2  42929  intlewftc  42935  aks4d1p1p2  42944  aks4d1p1p4  42945  dvle2  42946  aks4d1p1p6  42947  aks4d1p1p7  42948  aks4d1p1p5  42949  aks4d1p1  42950  aks4d1p3  42952  aks4d1p7d1  42956  aks4d1p7  42957  aks4d1p8  42961  aks4d1p9  42962  posbezout  42974  aks6d1c1  42990  aks6d1c2lem4  43001  aks6d1c5lem2  43012  deg1gprod  43014  sticksstones10  43029  sticksstones12a  43031  sticksstones12  43032  sticksstones22  43042  aks6d1c6lem4  43047  aks6d1c7lem1  43054  aks6d1c7lem2  43055  unitscyglem2  43070  unitscyglem4  43072  fltnlta  43517  acongeq  43832  expdiophlem1  43870  hbt  43979  dvgrat  45144  ssinc  45927  ssdec  45928  uzublem  46266  fmul01  46418  fmul01lt1lem1  46422  limciccioolb  46459  climxrre  46586  ioccncflimc  46721  icocncflimc  46725  cncfiooicclem1  46729  dvnmul  46779  iblspltprt  46809  itgspltprt  46815  stoweidlem20  46856  stoweidlem51  46887  wallispilem3  46903  fourierdlem10  46953  fourierdlem11  46954  fourierdlem14  46957  fourierdlem17  46960  fourierdlem32  46975  fourierdlem33  46976  fourierdlem41  46984  fourierdlem46  46988  fourierdlem48  46990  fourierdlem49  46991  fourierdlem50  46992  fourierdlem73  47015  fourierdlem76  47018  fourierdlem79  47021  fourierdlem93  47035  fourierdlem102  47044  fourierdlem103  47045  fourierdlem104  47046  fourierdlem107  47049  fourierdlem111  47053  fourierdlem114  47056  etransclem23  47093  rrxsnicc  47136  hsphoidmvle2  47421  hsphoidmvle  47422  hoidmv1lelem1  47427  hoidmv1lelem2  47428  hoidmv1lelem3  47429  hoidmvlelem1  47431  hoidifhspdmvle  47456  ovolval4lem2  47486  iinhoiicc  47510  vonicclem2  47520  2leaddle2  48194  bgoldbachlt  48737  logbpw2m1  49505  dignn0ldlem  49540