Theorem leidd 11781

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝcr 11100   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  zextle  12670  uzind  12689  uzid  12878  ifle  13224  supxrre  13354  infxrre  13364  nn0fz0  13655  fvinim0ffz  13820  flid  13843  modabs2  13940  monoord  14070  leexp2r  14212  facwordi  14327  faclbnd6  14337  pfxsuffeqwrdeq  14737  repswcshw  14851  iseraltlem2  15736  climcndslem1  15905  cvgrat  15939  eirrlem  16261  ruclem2  16289  ruclem9  16295  sadcaddlem  16516  nn0seqcvgd  16629  eulerthlem2  16842  pcidlem  16933  pc2dvds  16940  pcprmpw2  16943  pcmpt  16953  ramub1lem2  17088  prmolefac  17107  prmgaplem4  17115  pgpfi  19676  zntoslem  21687  psrridm  22093  methaus  24658  nmoid  24880  xrsxmet  24948  reconnlem1  24965  metdstri  24990  nmoleub3  25259  ovolctb  25630  ovolicc1  25656  volcn  25746  mbflimsup  25806  mbfi1fseqlem4  25858  itg2const2  25881  itg2uba  25883  itg2splitlem  25888  itg2cnlem1  25901  itg2cnlem2  25902  iblss  25945  itgless  25957  itgsplitioo  25978  dvge0  26146  dvcvx  26160  dvfsumlem2  26167  dvfsumlem3  26168  dvfsumrlim  26171  coe1mul4  26238  deg1mul2  26252  ply1divex  26275  deg1submon1p  26291  coe1termlem  26396  dgradd2  26406  dgrco  26413  aaliou3lem2  26485  abelth2  26583  jensen  27131  logexprlim  27367  bcmono  27419  bcmax  27420  dchrisum0flblem1  27650  pntleml  27753  eupth2  30568  blocnilem  31134  wrdt2ind  33251  fiunelros  34542  dstfrvunirn  34843  ballotlemsi  34883  dnibndlem2  37046  knoppndvlem15  37093  relowlssretop  37987  poimirlem28  38277  mblfinlem2  38287  itg2addnclem  38300  itg2gt0cn  38304  ftc1anclem7  38328  ftc1anclem8  38329  ftc1anc  38330  ssbnd  38417  bfplem1  38451  lcmineqlem4  42777  3lexlogpow5ineq2  42800  intlewftc  42806  aks4d1p1p2  42815  aks4d1p1p4  42816  dvle2  42817  aks4d1p1p6  42818  aks4d1p1p7  42819  aks4d1p1p5  42820  aks4d1p1  42821  aks4d1p3  42823  aks4d1p7d1  42827  aks4d1p7  42828  aks4d1p8  42832  aks4d1p9  42833  posbezout  42845  aks6d1c1  42861  aks6d1c2lem4  42872  aks6d1c5lem2  42883  deg1gprod  42885  sticksstones10  42900  sticksstones12a  42902  sticksstones12  42903  sticksstones22  42913  aks6d1c6lem4  42918  aks6d1c7lem1  42925  aks6d1c7lem2  42926  unitscyglem2  42941  unitscyglem4  42943  fltnlta  43375  acongeq  43690  expdiophlem1  43728  hbt  43837  dvgrat  45002  ssinc  45785  ssdec  45786  uzublem  46124  fmul01  46276  fmul01lt1lem1  46280  limciccioolb  46317  climxrre  46444  ioccncflimc  46579  icocncflimc  46583  cncfiooicclem1  46587  dvnmul  46637  iblspltprt  46667  itgspltprt  46673  stoweidlem20  46714  stoweidlem51  46745  wallispilem3  46761  fourierdlem10  46811  fourierdlem11  46812  fourierdlem14  46815  fourierdlem17  46818  fourierdlem32  46833  fourierdlem33  46834  fourierdlem41  46842  fourierdlem46  46846  fourierdlem48  46848  fourierdlem49  46849  fourierdlem50  46850  fourierdlem73  46873  fourierdlem76  46876  fourierdlem79  46879  fourierdlem93  46893  fourierdlem102  46902  fourierdlem103  46903  fourierdlem104  46904  fourierdlem107  46907  fourierdlem111  46911  fourierdlem114  46914  etransclem23  46951  rrxsnicc  46994  hsphoidmvle2  47279  hsphoidmvle  47280  hoidmv1lelem1  47285  hoidmv1lelem2  47286  hoidmv1lelem3  47287  hoidmvlelem1  47289  hoidifhspdmvle  47314  ovolval4lem2  47344  iinhoiicc  47368  vonicclem2  47378  2leaddle2  48012  bgoldbachlt  48555  logbpw2m1  49324  dignn0ldlem  49359