Theorem leidd 11798

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ℝcr 11117   ≤ cle 11262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-pre-lttri 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267

This theorem is used by:  zextle  12687  uzind  12706  uzid  12895  ifle  13241  supxrre  13371  infxrre  13381  nn0fz0  13672  fvinim0ffz  13837  flid  13861  modabs2  13958  monoord  14088  leexp2r  14230  facwordi  14345  faclbnd6  14355  pfxsuffeqwrdeq  14759  repswcshw  14875  iseraltlem2  15760  climcndslem1  15929  cvgrat  15963  eirrlem  16285  ruclem2  16313  ruclem9  16319  sadcaddlem  16540  nn0seqcvgd  16653  eulerthlem2  16866  pcidlem  16957  pc2dvds  16964  pcprmpw2  16967  pcmpt  16977  ramub1lem2  17112  prmolefac  17131  prmgaplem4  17139  pgpfi  19706  zntoslem  21743  psrridm  22149  methaus  24714  nmoid  24936  xrsxmet  25004  reconnlem1  25021  metdstri  25046  nmoleub3  25315  ovolctb  25686  ovolicc1  25712  volcn  25802  mbflimsup  25862  mbfi1fseqlem4  25914  itg2const2  25937  itg2uba  25939  itg2splitlem  25944  itg2cnlem1  25957  itg2cnlem2  25958  iblss  26001  itgless  26013  itgsplitioo  26034  dvge0  26202  dvcvx  26216  dvfsumlem2  26223  dvfsumlem3  26224  dvfsumrlim  26227  coe1mul4  26294  deg1mul2  26308  ply1divex  26331  deg1submon1p  26347  coe1termlem  26452  dgradd2  26462  dgrco  26469  aaliou3lem2  26543  abelth2  26642  jensen  27190  logexprlim  27426  bcmono  27478  bcmax  27479  dchrisum0flblem1  27709  pntleml  27812  eupth2  30627  blocnilem  31193  wrdt2ind  33306  fiunelros  34596  dstfrvunirn  34897  ballotlemsi  34937  dnibndlem2  37109  knoppndvlem15  37156  relowlssretop  38050  poimirlem28  38340  mblfinlem2  38350  itg2addnclem  38363  itg2gt0cn  38367  ftc1anclem7  38391  ftc1anclem8  38392  ftc1anc  38393  ssbnd  38480  bfplem1  38514  lcmineqlem4  42840  3lexlogpow5ineq2  42863  intlewftc  42869  aks4d1p1p2  42878  aks4d1p1p4  42879  dvle2  42880  aks4d1p1p6  42881  aks4d1p1p7  42882  aks4d1p1p5  42883  aks4d1p1  42884  aks4d1p3  42886  aks4d1p7d1  42890  aks4d1p7  42891  aks4d1p8  42895  aks4d1p9  42896  posbezout  42908  aks6d1c1  42924  aks6d1c2lem4  42935  aks6d1c5lem2  42946  deg1gprod  42948  sticksstones10  42963  sticksstones12a  42965  sticksstones12  42966  sticksstones22  42976  aks6d1c6lem4  42981  aks6d1c7lem1  42988  aks6d1c7lem2  42989  unitscyglem2  43004  unitscyglem4  43006  fltnlta  43436  acongeq  43751  expdiophlem1  43789  hbt  43898  dvgrat  45063  ssinc  45846  ssdec  45847  uzublem  46185  fmul01  46337  fmul01lt1lem1  46341  limciccioolb  46378  climxrre  46505  ioccncflimc  46640  icocncflimc  46644  cncfiooicclem1  46648  dvnmul  46698  iblspltprt  46728  itgspltprt  46734  stoweidlem20  46775  stoweidlem51  46806  wallispilem3  46822  fourierdlem10  46872  fourierdlem11  46873  fourierdlem14  46876  fourierdlem17  46879  fourierdlem32  46894  fourierdlem33  46895  fourierdlem41  46903  fourierdlem46  46907  fourierdlem48  46909  fourierdlem49  46910  fourierdlem50  46911  fourierdlem73  46934  fourierdlem76  46937  fourierdlem79  46940  fourierdlem93  46954  fourierdlem102  46963  fourierdlem103  46964  fourierdlem104  46965  fourierdlem107  46968  fourierdlem111  46972  fourierdlem114  46975  etransclem23  47012  rrxsnicc  47055  hsphoidmvle2  47340  hsphoidmvle  47341  hoidmv1lelem1  47346  hoidmv1lelem2  47347  hoidmv1lelem3  47348  hoidmvlelem1  47350  hoidifhspdmvle  47375  ovolval4lem2  47405  iinhoiicc  47429  vonicclem2  47439  2leaddle2  48076  bgoldbachlt  48619  logbpw2m1  49388  dignn0ldlem  49423