Theorem leidd 11690

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11216	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5093  ℝcr 11012   ≤ cle 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-pre-lttri 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159

This theorem is referenced by:  zextle  12552  uzind  12571  uzid  12753  ifle  13098  supxrre  13228  infxrre  13238  nn0fz0  13527  fvinim0ffz  13691  flid  13714  modabs2  13811  monoord  13941  leexp2r  14083  facwordi  14198  faclbnd6  14208  pfxsuffeqwrdeq  14607  repswcshw  14721  iseraltlem2  15592  climcndslem1  15758  cvgrat  15792  eirrlem  16115  ruclem2  16143  ruclem9  16149  sadcaddlem  16370  nn0seqcvgd  16483  eulerthlem2  16695  pcidlem  16786  pc2dvds  16793  pcprmpw2  16796  pcmpt  16806  ramub1lem2  16941  prmolefac  16960  prmgaplem4  16968  pgpfi  19519  zntoslem  21495  psrridm  21901  methaus  24436  nmoid  24658  xrsxmet  24726  reconnlem1  24743  metdstri  24768  nmoleub3  25047  ovolctb  25419  ovolicc1  25445  volcn  25535  mbflimsup  25595  mbfi1fseqlem4  25647  itg2const2  25670  itg2uba  25672  itg2splitlem  25677  itg2cnlem1  25690  itg2cnlem2  25691  iblss  25734  itgless  25746  itgsplitioo  25767  dvge0  25939  dvcvx  25953  dvfsumlem2  25961  dvfsumlem2OLD  25962  dvfsumlem3  25963  dvfsumrlim  25966  coe1mul4  26033  deg1mul2  26047  ply1divex  26070  deg1submon1p  26086  coe1termlem  26191  dgradd2  26202  dgrco  26209  aaliou3lem2  26279  abelth2  26380  jensen  26927  logexprlim  27164  bcmono  27216  bcmax  27217  dchrisum0flblem1  27447  pntleml  27550  eupth2  30221  blocnilem  30786  wrdt2ind  32941  fiunelros  34208  dstfrvunirn  34509  ballotlemsi  34549  dnibndlem2  36544  knoppndvlem15  36591  relowlssretop  37428  poimirlem28  37708  mblfinlem2  37718  itg2addnclem  37731  itg2gt0cn  37735  ftc1anclem7  37759  ftc1anclem8  37760  ftc1anc  37761  ssbnd  37848  bfplem1  37882  lcmineqlem4  42145  3lexlogpow5ineq2  42168  intlewftc  42174  aks4d1p1p2  42183  aks4d1p1p4  42184  dvle2  42185  aks4d1p1p6  42186  aks4d1p1p7  42187  aks4d1p1p5  42188  aks4d1p1  42189  aks4d1p3  42191  aks4d1p7d1  42195  aks4d1p7  42196  aks4d1p8  42200  aks4d1p9  42201  posbezout  42213  aks6d1c1  42229  aks6d1c2lem4  42240  aks6d1c5lem2  42251  deg1gprod  42253  sticksstones10  42268  sticksstones12a  42270  sticksstones12  42271  sticksstones22  42281  aks6d1c6lem4  42286  aks6d1c7lem1  42293  aks6d1c7lem2  42294  unitscyglem2  42309  unitscyglem4  42311  fltnlta  42781  acongeq  43100  expdiophlem1  43138  hbt  43247  dvgrat  44429  ssinc  45208  ssdec  45209  uzublem  45552  fmul01  45704  fmul01lt1lem1  45708  limciccioolb  45745  climxrre  45872  ioccncflimc  46007  icocncflimc  46011  cncfiooicclem1  46015  dvnmul  46065  iblspltprt  46095  itgspltprt  46101  stoweidlem20  46142  stoweidlem51  46173  wallispilem3  46189  fourierdlem10  46239  fourierdlem11  46240  fourierdlem14  46243  fourierdlem17  46246  fourierdlem32  46261  fourierdlem33  46262  fourierdlem41  46270  fourierdlem46  46274  fourierdlem48  46276  fourierdlem49  46277  fourierdlem50  46278  fourierdlem73  46301  fourierdlem76  46304  fourierdlem79  46307  fourierdlem93  46321  fourierdlem102  46330  fourierdlem103  46331  fourierdlem104  46332  fourierdlem107  46335  fourierdlem111  46339  fourierdlem114  46342  etransclem23  46379  rrxsnicc  46422  hsphoidmvle2  46707  hsphoidmvle  46708  hoidmv1lelem1  46713  hoidmv1lelem2  46714  hoidmv1lelem3  46715  hoidmvlelem1  46717  hoidifhspdmvle  46742  ovolval4lem2  46772  iinhoiicc  46796  vonicclem2  46806  2leaddle2  47422  bgoldbachlt  47937  logbpw2m1  48692  dignn0ldlem  48727