Theorem leidd 11703

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11229	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  zextle  12565  uzind  12584  uzid  12766  ifle  13112  supxrre  13242  infxrre  13252  nn0fz0  13541  fvinim0ffz  13705  flid  13728  modabs2  13825  monoord  13955  leexp2r  14097  facwordi  14212  faclbnd6  14222  pfxsuffeqwrdeq  14621  repswcshw  14735  iseraltlem2  15606  climcndslem1  15772  cvgrat  15806  eirrlem  16129  ruclem2  16157  ruclem9  16163  sadcaddlem  16384  nn0seqcvgd  16497  eulerthlem2  16709  pcidlem  16800  pc2dvds  16807  pcprmpw2  16810  pcmpt  16820  ramub1lem2  16955  prmolefac  16974  prmgaplem4  16982  pgpfi  19534  zntoslem  21511  psrridm  21918  methaus  24464  nmoid  24686  xrsxmet  24754  reconnlem1  24771  metdstri  24796  nmoleub3  25075  ovolctb  25447  ovolicc1  25473  volcn  25563  mbflimsup  25623  mbfi1fseqlem4  25675  itg2const2  25698  itg2uba  25700  itg2splitlem  25705  itg2cnlem1  25718  itg2cnlem2  25719  iblss  25762  itgless  25774  itgsplitioo  25795  dvge0  25967  dvcvx  25981  dvfsumlem2  25989  dvfsumlem2OLD  25990  dvfsumlem3  25991  dvfsumrlim  25994  coe1mul4  26061  deg1mul2  26075  ply1divex  26098  deg1submon1p  26114  coe1termlem  26219  dgradd2  26230  dgrco  26237  aaliou3lem2  26307  abelth2  26408  jensen  26955  logexprlim  27192  bcmono  27244  bcmax  27245  dchrisum0flblem1  27475  pntleml  27578  eupth2  30314  blocnilem  30879  wrdt2ind  33035  fiunelros  34331  dstfrvunirn  34632  ballotlemsi  34672  dnibndlem2  36679  knoppndvlem15  36726  relowlssretop  37564  poimirlem28  37845  mblfinlem2  37855  itg2addnclem  37868  itg2gt0cn  37872  ftc1anclem7  37896  ftc1anclem8  37897  ftc1anc  37898  ssbnd  37985  bfplem1  38019  lcmineqlem4  42282  3lexlogpow5ineq2  42305  intlewftc  42311  aks4d1p1p2  42320  aks4d1p1p4  42321  dvle2  42322  aks4d1p1p6  42323  aks4d1p1p7  42324  aks4d1p1p5  42325  aks4d1p1  42326  aks4d1p3  42328  aks4d1p7d1  42332  aks4d1p7  42333  aks4d1p8  42337  aks4d1p9  42338  posbezout  42350  aks6d1c1  42366  aks6d1c2lem4  42377  aks6d1c5lem2  42388  deg1gprod  42390  sticksstones10  42405  sticksstones12a  42407  sticksstones12  42408  sticksstones22  42418  aks6d1c6lem4  42423  aks6d1c7lem1  42430  aks6d1c7lem2  42431  unitscyglem2  42446  unitscyglem4  42448  fltnlta  42902  acongeq  43221  expdiophlem1  43259  hbt  43368  dvgrat  44549  ssinc  45327  ssdec  45328  uzublem  45670  fmul01  45822  fmul01lt1lem1  45826  limciccioolb  45863  climxrre  45990  ioccncflimc  46125  icocncflimc  46129  cncfiooicclem1  46133  dvnmul  46183  iblspltprt  46213  itgspltprt  46219  stoweidlem20  46260  stoweidlem51  46291  wallispilem3  46307  fourierdlem10  46357  fourierdlem11  46358  fourierdlem14  46361  fourierdlem17  46364  fourierdlem32  46379  fourierdlem33  46380  fourierdlem41  46388  fourierdlem46  46392  fourierdlem48  46394  fourierdlem49  46395  fourierdlem50  46396  fourierdlem73  46419  fourierdlem76  46422  fourierdlem79  46425  fourierdlem93  46439  fourierdlem102  46448  fourierdlem103  46449  fourierdlem104  46450  fourierdlem107  46453  fourierdlem111  46457  fourierdlem114  46460  etransclem23  46497  rrxsnicc  46540  hsphoidmvle2  46825  hsphoidmvle  46826  hoidmv1lelem1  46831  hoidmv1lelem2  46832  hoidmv1lelem3  46833  hoidmvlelem1  46835  hoidifhspdmvle  46860  ovolval4lem2  46890  iinhoiicc  46914  vonicclem2  46924  2leaddle2  47540  bgoldbachlt  48055  logbpw2m1  48809  dignn0ldlem  48844