Theorem leidd 11716

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11242	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  zextle  12602  uzind  12621  uzid  12803  ifle  13149  supxrre  13279  infxrre  13289  nn0fz0  13579  fvinim0ffz  13744  flid  13767  modabs2  13864  monoord  13994  leexp2r  14136  facwordi  14251  faclbnd6  14261  pfxsuffeqwrdeq  14660  repswcshw  14774  iseraltlem2  15645  climcndslem1  15814  cvgrat  15848  eirrlem  16171  ruclem2  16199  ruclem9  16205  sadcaddlem  16426  nn0seqcvgd  16539  eulerthlem2  16752  pcidlem  16843  pc2dvds  16850  pcprmpw2  16853  pcmpt  16863  ramub1lem2  16998  prmolefac  17017  prmgaplem4  17025  pgpfi  19580  zntoslem  21536  psrridm  21941  methaus  24485  nmoid  24707  xrsxmet  24775  reconnlem1  24792  metdstri  24817  nmoleub3  25086  ovolctb  25457  ovolicc1  25483  volcn  25573  mbflimsup  25633  mbfi1fseqlem4  25685  itg2const2  25708  itg2uba  25710  itg2splitlem  25715  itg2cnlem1  25728  itg2cnlem2  25729  iblss  25772  itgless  25784  itgsplitioo  25805  dvge0  25973  dvcvx  25987  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem3  25995  dvfsumrlim  25998  coe1mul4  26065  deg1mul2  26079  ply1divex  26102  deg1submon1p  26118  coe1termlem  26223  dgradd2  26233  dgrco  26240  aaliou3lem2  26309  abelth2  26407  jensen  26952  logexprlim  27188  bcmono  27240  bcmax  27241  dchrisum0flblem1  27471  pntleml  27574  eupth2  30309  blocnilem  30875  wrdt2ind  33013  fiunelros  34318  dstfrvunirn  34619  ballotlemsi  34659  dnibndlem2  36739  knoppndvlem15  36786  relowlssretop  37679  poimirlem28  37969  mblfinlem2  37979  itg2addnclem  37992  itg2gt0cn  37996  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021  ftc1anc  38022  ssbnd  38109  bfplem1  38143  lcmineqlem4  42471  3lexlogpow5ineq2  42494  intlewftc  42500  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  dvle2  42511  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  aks4d1p3  42517  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  aks4d1p9  42527  posbezout  42539  aks6d1c1  42555  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c5lem2  42577  deg1gprod  42579  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  sticksstones22  42607  aks6d1c6lem4  42612  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  unitscyglem2  42635  unitscyglem4  42637  fltnlta  43096  acongeq  43411  expdiophlem1  43449  hbt  43558  dvgrat  44739  ssinc  45517  ssdec  45518  uzublem  45858  fmul01  46010  fmul01lt1lem1  46014  limciccioolb  46051  climxrre  46178  ioccncflimc  46313  icocncflimc  46317  cncfiooicclem1  46321  dvnmul  46371  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  stoweidlem20  46448  stoweidlem51  46479  wallispilem3  46495  fourierdlem10  46545  fourierdlem11  46546  fourierdlem14  46549  fourierdlem17  46552  fourierdlem32  46567  fourierdlem33  46568  fourierdlem41  46576  fourierdlem46  46580  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem73  46607  fourierdlem76  46610  fourierdlem79  46613  fourierdlem93  46627  fourierdlem102  46636  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem107  46641  fourierdlem111  46645  fourierdlem114  46648  etransclem23  46685  rrxsnicc  46728  hsphoidmvle2  47013  hsphoidmvle  47014  hoidmv1lelem1  47019  hoidmv1lelem2  47020  hoidmv1lelem3  47021  hoidmvlelem1  47023  hoidifhspdmvle  47048  ovolval4lem2  47078  iinhoiicc  47102  vonicclem2  47112  2leaddle2  47746  bgoldbachlt  48289  logbpw2m1  49043  dignn0ldlem  49078