Theorem leidd 10941

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 10472	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 4886  ℝcr 10271   ≤ cle 10412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417

This theorem is referenced by:  zextle  11802  uzind  11821  uzid  12007  ifle  12340  supxrre  12469  infxrre  12478  nn0fz0  12756  fvinim0ffz  12906  flid  12928  modabs2  13023  monoord  13149  leexp2r  13236  facwordi  13394  faclbnd6  13404  2swrdeqwrdeqOLD  13773  pfxsuffeqwrdeq  13807  swrdccatidOLD  13875  repswcshw  13963  iseraltlem2  14821  climcndslem1  14985  cvgrat  15018  eirrlem  15336  ruclem2  15365  ruclem9  15371  sadcaddlem  15585  nn0seqcvgd  15689  eulerthlem2  15891  pcidlem  15980  pc2dvds  15987  pcprmpw2  15990  pcmpt  16000  ramub1lem2  16135  prmolefac  16154  prmgaplem4  16162  pgpfi  18404  psrridm  19801  zntoslem  20300  methaus  22733  nmoid  22954  xrsxmet  23020  reconnlem1  23037  metdstri  23062  nmoleub3  23326  ovolctb  23694  ovolicc1  23720  volcn  23810  mbflimsup  23870  mbfi1fseqlem4  23922  itg2const2  23945  itg2uba  23947  itg2splitlem  23952  itg2cnlem1  23965  itg2cnlem2  23966  iblss  24008  itgless  24020  itgsplitioo  24041  dvge0  24206  dvcvx  24220  dvfsumlem2  24227  dvfsumlem3  24228  dvfsumrlim  24231  coe1mul4  24297  deg1mul2  24311  ply1divex  24333  deg1submon1p  24349  coe1termlem  24451  dgradd2  24461  dgrco  24468  aaliou3lem2  24535  abelth2  24633  jensen  25167  logexprlim  25402  bcmono  25454  bcmax  25455  dchrisum0flblem1  25649  pntleml  25752  eupth2  27643  blocnilem  28231  fiunelros  30835  dstfrvunirn  31135  ballotlemsi  31175  dnibndlem2  33052  knoppndvlem15  33099  relowlssretop  33806  poimirlem28  34058  mblfinlem2  34068  itg2addnclem  34081  itg2gt0cn  34085  ftc1anclem7  34111  ftc1anclem8  34112  ftc1anc  34113  ssbnd  34206  bfplem1  34240  acongeq  38502  expdiophlem1  38540  hbt  38652  dvgrat  39460  ssinc  40188  ssdec  40189  uzublem  40556  fmul01  40713  fmul01lt1lem1  40717  limciccioolb  40754  climxrre  40883  ioccncflimc  41019  icocncflimc  41023  cncfiooicclem1  41027  dvnmul  41079  iblspltprt  41109  itgspltprt  41115  stoweidlem20  41157  stoweidlem51  41188  wallispilem3  41204  fourierdlem10  41254  fourierdlem11  41255  fourierdlem14  41258  fourierdlem17  41261  fourierdlem32  41276  fourierdlem33  41277  fourierdlem41  41285  fourierdlem46  41289  fourierdlem48  41291  fourierdlem49  41292  fourierdlem50  41293  fourierdlem73  41316  fourierdlem76  41319  fourierdlem79  41322  fourierdlem93  41336  fourierdlem102  41345  fourierdlem103  41346  fourierdlem104  41347  fourierdlem107  41350  fourierdlem111  41354  fourierdlem114  41357  etransclem23  41394  rrxsnicc  41437  hsphoidmvle2  41719  hsphoidmvle  41720  hoidmv1lelem1  41725  hoidmv1lelem2  41726  hoidmv1lelem3  41727  hoidmvlelem1  41729  hoidifhspdmvle  41754  ovolval4lem2  41784  iinhoiicc  41808  vonicclem2  41818  2leaddle2  42333  bgoldbachlt  42719  logbpw2m1  43369  dignn0ldlem  43404