Theorem leidd 11885

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11409	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11202   ≤ cle 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352

This theorem is used by:  zextle  12775  uzind  12794  uzid  12983  ifle  13330  supxrre  13460  infxrre  13470  nn0fz0  13762  fvinim0ffz  13927  flid  13951  modabs2  14048  monoord  14178  leexp2r  14320  facwordi  14436  faclbnd6  14446  pfxsuffeqwrdeq  14851  repswcshw  14967  iseraltlem2  15855  climcndslem1  16023  cvgrat  16057  eirrlem  16377  ruclem2  16405  ruclem9  16411  sadcaddlem  16632  nn0seqcvgd  16750  eulerthlem2  16964  pcidlem  17055  pc2dvds  17062  pcprmpw2  17065  pcmpt  17075  ramub1lem2  17210  prmolefac  17229  prmgaplem4  17237  pgpfi  19824  zntoslem  21867  psrridm  22275  methaus  24844  nmoid  25066  xrsxmet  25134  reconnlem1  25151  metdstri  25176  nmoleub3  25445  ovolctb  25816  ovolicc1  25842  volcn  25932  mbflimsup  25992  mbfi1fseqlem4  26044  itg2const2  26067  itg2uba  26069  itg2splitlem  26074  itg2cnlem1  26087  itg2cnlem2  26088  iblss  26130  itgless  26142  itgsplitioo  26163  dvge0  26331  dvcvx  26345  dvfsumlem2  26352  dvfsumlem3  26353  dvfsumrlim  26356  coe1mul4  26423  deg1mul2  26437  ply1divex  26460  deg1submon1p  26476  coe1termlem  26582  dgradd2  26592  dgrco  26599  aaliou3lem2  26675  abelth2  26774  jensen  27321  logexprlim  27557  bcmono  27609  bcmax  27610  dchrisum0flblem1  27840  pntleml  27943  eupth2  30845  blocnilem  31411  wrdt2ind  33562  fiunelros  34853  dstfrvunirn  35153  ballotlemsi  35193  dnibndlem2  37437  knoppndvlem15  37484  relowlssretop  38379  poimirlem28  38659  mblfinlem2  38669  itg2addnclem  38682  itg2gt0cn  38686  ftc1anclem7  38710  ftc1anclem8  38711  ftc1anc  38712  ssbnd  38815  bfplem1  38849  lcmineqlem4  43175  3lexlogpow5ineq2  43198  intlewftc  43204  aks4d1p1p2  43213  aks4d1p1p4  43214  dvle2  43215  aks4d1p1p6  43216  aks4d1p1p7  43217  aks4d1p1p5  43218  aks4d1p1  43219  aks4d1p3  43221  aks4d1p7d1  43225  aks4d1p7  43226  aks4d1p8  43230  aks4d1p9  43231  posbezout  43243  aks6d1c1  43259  aks6d1c2lem4  43270  aks6d1c5lem2  43281  deg1gprod  43283  sticksstones10  43298  sticksstones12a  43300  sticksstones12  43301  sticksstones22  43311  aks6d1c6lem4  43316  aks6d1c7lem1  43323  aks6d1c7lem2  43324  unitscyglem2  43339  unitscyglem4  43341  fltnlta  43767  acongeq  44083  expdiophlem1  44121  hbt  44225  dvgrat  45389  ssinc  46195  ssdec  46196  uzublem  46533  fmul01  46685  fmul01lt1lem1  46689  limciccioolb  46726  climxrre  46853  ioccncflimc  46988  icocncflimc  46992  cncfiooicclem1  46996  dvnmul  47046  iblspltprt  47076  itgspltprt  47082  stoweidlem20  47123  stoweidlem51  47154  wallispilem3  47170  fourierdlem10  47220  fourierdlem11  47221  fourierdlem14  47224  fourierdlem17  47227  fourierdlem32  47242  fourierdlem33  47243  fourierdlem41  47251  fourierdlem46  47255  fourierdlem48  47257  fourierdlem49  47258  fourierdlem50  47259  fourierdlem73  47282  fourierdlem76  47285  fourierdlem79  47288  fourierdlem93  47302  fourierdlem102  47311  fourierdlem103  47312  fourierdlem104  47313  fourierdlem107  47316  fourierdlem111  47320  fourierdlem114  47323  etransclem23  47360  rrxsnicc  47403  hsphoidmvle2  47688  hsphoidmvle  47689  hoidmv1lelem1  47694  hoidmv1lelem2  47695  hoidmv1lelem3  47696  hoidmvlelem1  47698  hoidifhspdmvle  47723  ovolval4lem2  47753  iinhoiicc  47777  vonicclem2  47787  2leaddle2  48461  bgoldbachlt  49004  logbpw2m1  49772  dignn0ldlem  49807