Theorem leidd 11777

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5148  ℝcr 11106   ≤ cle 11246

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-pre-lttri 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251

This theorem is referenced by:  zextle  12632  uzind  12651  uzid  12834  ifle  13173  supxrre  13303  infxrre  13312  nn0fz0  13596  fvinim0ffz  13748  flid  13770  modabs2  13867  monoord  13995  leexp2r  14136  facwordi  14246  faclbnd6  14256  pfxsuffeqwrdeq  14645  repswcshw  14759  iseraltlem2  15626  climcndslem1  15792  cvgrat  15826  eirrlem  16144  ruclem2  16172  ruclem9  16178  sadcaddlem  16395  nn0seqcvgd  16504  eulerthlem2  16712  pcidlem  16802  pc2dvds  16809  pcprmpw2  16812  pcmpt  16822  ramub1lem2  16957  prmolefac  16976  prmgaplem4  16984  pgpfi  19468  zntoslem  21104  psrridm  21516  methaus  24021  nmoid  24251  xrsxmet  24317  reconnlem1  24334  metdstri  24359  nmoleub3  24627  ovolctb  24999  ovolicc1  25025  volcn  25115  mbflimsup  25175  mbfi1fseqlem4  25228  itg2const2  25251  itg2uba  25253  itg2splitlem  25258  itg2cnlem1  25271  itg2cnlem2  25272  iblss  25314  itgless  25326  itgsplitioo  25347  dvge0  25515  dvcvx  25529  dvfsumlem2  25536  dvfsumlem3  25537  dvfsumrlim  25540  coe1mul4  25610  deg1mul2  25624  ply1divex  25646  deg1submon1p  25662  coe1termlem  25764  dgradd2  25774  dgrco  25781  aaliou3lem2  25848  abelth2  25946  jensen  26483  logexprlim  26718  bcmono  26770  bcmax  26771  dchrisum0flblem1  27001  pntleml  27104  eupth2  29482  blocnilem  30045  wrdt2ind  32105  fiunelros  33161  dstfrvunirn  33462  ballotlemsi  33502  gg-dvfsumlem2  35172  dnibndlem2  35344  knoppndvlem15  35391  relowlssretop  36233  poimirlem28  36505  mblfinlem2  36515  itg2addnclem  36528  itg2gt0cn  36532  ftc1anclem7  36556  ftc1anclem8  36557  ftc1anc  36558  ssbnd  36645  bfplem1  36679  lcmineqlem4  40886  3lexlogpow5ineq2  40909  intlewftc  40915  aks4d1p1p2  40924  aks4d1p1p4  40925  dvle2  40926  aks4d1p1p6  40927  aks4d1p1p7  40928  aks4d1p1p5  40929  aks4d1p1  40930  aks4d1p3  40932  aks4d1p7d1  40936  aks4d1p7  40937  aks4d1p8  40941  aks4d1p9  40942  sticksstones10  40960  sticksstones12a  40962  sticksstones12  40963  sticksstones22  40973  metakunt1  40974  metakunt10  40983  metakunt24  40997  metakunt26  40999  2xp3dxp2ge1d  41011  fltnlta  41402  acongeq  41708  expdiophlem1  41746  hbt  41858  dvgrat  43057  ssinc  43762  ssdec  43763  uzublem  44127  fmul01  44283  fmul01lt1lem1  44287  limciccioolb  44324  climxrre  44453  ioccncflimc  44588  icocncflimc  44592  cncfiooicclem1  44596  dvnmul  44646  iblspltprt  44676  itgspltprt  44682  stoweidlem20  44723  stoweidlem51  44754  wallispilem3  44770  fourierdlem10  44820  fourierdlem11  44821  fourierdlem14  44824  fourierdlem17  44827  fourierdlem32  44842  fourierdlem33  44843  fourierdlem41  44851  fourierdlem46  44855  fourierdlem48  44857  fourierdlem49  44858  fourierdlem50  44859  fourierdlem73  44882  fourierdlem76  44885  fourierdlem79  44888  fourierdlem93  44902  fourierdlem102  44911  fourierdlem103  44912  fourierdlem104  44913  fourierdlem107  44916  fourierdlem111  44920  fourierdlem114  44923  etransclem23  44960  rrxsnicc  45003  hsphoidmvle2  45288  hsphoidmvle  45289  hoidmv1lelem1  45294  hoidmv1lelem2  45295  hoidmv1lelem3  45296  hoidmvlelem1  45298  hoidifhspdmvle  45323  ovolval4lem2  45353  iinhoiicc  45377  vonicclem2  45387  2leaddle2  45993  bgoldbachlt  46468  logbpw2m1  47207  dignn0ldlem  47242