Theorem leidd 11704

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
leidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
leidd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		leid 11230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  zextle  12567  uzind  12586  uzid  12768  ifle  13117  supxrre  13247  infxrre  13257  nn0fz0  13546  fvinim0ffz  13707  flid  13730  modabs2  13827  monoord  13957  leexp2r  14099  facwordi  14214  faclbnd6  14224  pfxsuffeqwrdeq  14622  repswcshw  14736  iseraltlem2  15608  climcndslem1  15774  cvgrat  15808  eirrlem  16131  ruclem2  16159  ruclem9  16165  sadcaddlem  16386  nn0seqcvgd  16499  eulerthlem2  16711  pcidlem  16802  pc2dvds  16809  pcprmpw2  16812  pcmpt  16822  ramub1lem2  16957  prmolefac  16976  prmgaplem4  16984  pgpfi  19502  zntoslem  21481  psrridm  21888  methaus  24424  nmoid  24646  xrsxmet  24714  reconnlem1  24731  metdstri  24756  nmoleub3  25035  ovolctb  25407  ovolicc1  25433  volcn  25523  mbflimsup  25583  mbfi1fseqlem4  25635  itg2const2  25658  itg2uba  25660  itg2splitlem  25665  itg2cnlem1  25678  itg2cnlem2  25679  iblss  25722  itgless  25734  itgsplitioo  25755  dvge0  25927  dvcvx  25941  dvfsumlem2  25949  dvfsumlem2OLD  25950  dvfsumlem3  25951  dvfsumrlim  25954  coe1mul4  26021  deg1mul2  26035  ply1divex  26058  deg1submon1p  26074  coe1termlem  26179  dgradd2  26190  dgrco  26197  aaliou3lem2  26267  abelth2  26368  jensen  26915  logexprlim  27152  bcmono  27204  bcmax  27205  dchrisum0flblem1  27435  pntleml  27538  eupth2  30201  blocnilem  30766  wrdt2ind  32908  fiunelros  34140  dstfrvunirn  34442  ballotlemsi  34482  dnibndlem2  36452  knoppndvlem15  36499  relowlssretop  37336  poimirlem28  37627  mblfinlem2  37637  itg2addnclem  37650  itg2gt0cn  37654  ftc1anclem7  37678  ftc1anclem8  37679  ftc1anc  37680  ssbnd  37767  bfplem1  37801  lcmineqlem4  42005  3lexlogpow5ineq2  42028  intlewftc  42034  aks4d1p1p2  42043  aks4d1p1p4  42044  dvle2  42045  aks4d1p1p6  42046  aks4d1p1p7  42047  aks4d1p1p5  42048  aks4d1p1  42049  aks4d1p3  42051  aks4d1p7d1  42055  aks4d1p7  42056  aks4d1p8  42060  aks4d1p9  42061  posbezout  42073  aks6d1c1  42089  aks6d1c2lem4  42100  aks6d1c5lem2  42111  deg1gprod  42113  sticksstones10  42128  sticksstones12a  42130  sticksstones12  42131  sticksstones22  42141  aks6d1c6lem4  42146  aks6d1c7lem1  42153  aks6d1c7lem2  42154  unitscyglem2  42169  unitscyglem4  42171  fltnlta  42636  acongeq  42956  expdiophlem1  42994  hbt  43103  dvgrat  44285  ssinc  45065  ssdec  45066  uzublem  45410  fmul01  45562  fmul01lt1lem1  45566  limciccioolb  45603  climxrre  45732  ioccncflimc  45867  icocncflimc  45871  cncfiooicclem1  45875  dvnmul  45925  iblspltprt  45955  itgspltprt  45961  stoweidlem20  46002  stoweidlem51  46033  wallispilem3  46049  fourierdlem10  46099  fourierdlem11  46100  fourierdlem14  46103  fourierdlem17  46106  fourierdlem32  46121  fourierdlem33  46122  fourierdlem41  46130  fourierdlem46  46134  fourierdlem48  46136  fourierdlem49  46137  fourierdlem50  46138  fourierdlem73  46161  fourierdlem76  46164  fourierdlem79  46167  fourierdlem93  46181  fourierdlem102  46190  fourierdlem103  46191  fourierdlem104  46192  fourierdlem107  46195  fourierdlem111  46199  fourierdlem114  46202  etransclem23  46239  rrxsnicc  46282  hsphoidmvle2  46567  hsphoidmvle  46568  hoidmv1lelem1  46573  hoidmv1lelem2  46574  hoidmv1lelem3  46575  hoidmvlelem1  46577  hoidifhspdmvle  46602  ovolval4lem2  46632  iinhoiicc  46656  vonicclem2  46666  2leaddle2  47283  bgoldbachlt  47798  logbpw2m1  48553  dignn0ldlem  48588