Theorem ind1a 32938

Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ind1a	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ind1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfval 32935	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	eqeq1d 2738	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1))
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ 1 = 1
4	3	biantru 529	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1))
5		ax-1ne0 11095	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
6	5	neii 2934	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 = 0
7	6	biorfri 939	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
8	6	bianfi 533	. . . . 5 ⊢ (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0))
9	8	orbi2i 912	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
10	4, 7, 9	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
11		eqif 4521	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
12		eqcom 2743	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
13	10, 11, 12	3bitr2ri 300	. 2 ⊢ (if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴)
14	2, 13	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  ‘cfv 6492  0cc0 11026  1c1 11027  𝟭cind 32929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-ind 32930

This theorem is referenced by:  indpi1  32941  prodindf  32944  indpreima  32947  esplymhp  33726