Theorem ind1a 32789

Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ind1a	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ind1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfval 32786	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	eqeq1d 2732	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1))
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ 1 = 1
4	3	biantru 529	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1))
5		ax-1ne0 11144	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
6	5	neii 2928	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 = 0
7	6	biorfri 939	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
8	6	bianfi 533	. . . . 5 ⊢ (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0))
9	8	orbi2i 912	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
10	4, 7, 9	3bitri 297	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
11		eqif 4533	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
12		eqcom 2737	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
13	10, 11, 12	3bitr2ri 300	. 2 ⊢ (if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴)
14	2, 13	bitrdi 287	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ifcif 4491  ‘cfv 6514  0cc0 11075  1c1 11076  𝟭cind 32780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-ind 32781

This theorem is referenced by:  indpi1  32790  prodindf  32793  indpreima  32795