Theorem ind1a 12246

Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ind1a	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ind1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfval 12242	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	eqeq1d 2767	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1))
3		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ 1 = 1
4	3	biantru 539	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1))
5		ax-1ne0 11186	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
6	5	neii 2962	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 = 0
7	6	biorfri 953	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
8	6	bianfi 543	. . . . 5 ⊢ (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0))
9	8	orbi2i 926	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
10	4, 7, 9	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
11		eqif 4531	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
12		eqcom 2772	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
13	10, 11, 12	3bitr2ri 303	. 2 ⊢ (if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴)
14	2, 13	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  ifcif 4489  ‘cfv 6540  0cc0 11117  1c1 11118  𝟭cind 12235

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-ind 12236

This theorem is used by:  indpi1  12249  prodindf  33254  indpreima  33257  esplymhp  34024