Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ind1a 32844
Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind1a ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))

Proof of Theorem ind1a
StepHypRef Expression
1 indfval 32841 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
21eqeq1d 2739 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1))
3 eqid 2737 . . . . 5 1 = 1
43biantru 529 . . . 4 (𝑋𝐴 ↔ (𝑋𝐴 ∧ 1 = 1))
5 ax-1ne0 11224 . . . . . 6 1 ≠ 0
65neii 2942 . . . . 5 ¬ 1 = 0
76biorfri 940 . . . 4 ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
86bianfi 533 . . . . 5 (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0))
98orbi2i 913 . . . 4 (((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
104, 7, 93bitri 297 . . 3 (𝑋𝐴 ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
11 eqif 4567 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
12 eqcom 2744 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
1310, 11, 123bitr2ri 300 . 2 (if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋𝐴)
142, 13bitrdi 287 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  ifcif 4525  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156  𝟭cind 32835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-ind 32836
This theorem is referenced by:  indpi1  32845  prodindf  32848  indpreima  32850
  Copyright terms: Public domain W3C validator