Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ind1a 31282
Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind1a ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))

Proof of Theorem ind1a
StepHypRef Expression
1 indfval 31279 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
21eqeq1d 2826 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1))
3 eqid 2824 . . . . 5 1 = 1
43biantru 532 . . . 4 (𝑋𝐴 ↔ (𝑋𝐴 ∧ 1 = 1))
5 ax-1ne0 10609 . . . . . 6 1 ≠ 0
65neii 3021 . . . . 5 ¬ 1 = 0
76biorfi 935 . . . 4 ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
86bianfi 536 . . . . 5 (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0))
98orbi2i 909 . . . 4 (((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
104, 7, 93bitri 299 . . 3 (𝑋𝐴 ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
11 eqif 4510 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
12 eqcom 2831 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
1310, 11, 123bitr2ri 302 . 2 (if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋𝐴)
142, 13syl6bb 289 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wss 3939  ifcif 4470  cfv 6358  0cc0 10540  1c1 10541  𝟭cind 31273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-ov 7162  df-ind 31274
This theorem is referenced by:  indpi1  31283  prodindf  31286  indpreima  31288
  Copyright terms: Public domain W3C validator