Theorem ind1a 12331

Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ind1a	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

Proof of Theorem ind1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indfval 12327	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0))
2	1	eqeq1d 2763	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1))
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ 1 = 1
4	3	biantru 539	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1))
5		ax-1ne0 11269	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 0
6	5	neii 2958	. . . . 5 ⊢ ¬ 1 = 0
7	6	biorfri 953	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
8	6	bianfi 543	. . . . 5 ⊢ (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0))
9	8	orbi2i 926	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
10	4, 7, 9	3bitri 300	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
11		eqif 4524	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 1 = 0)))
12		eqcom 2768	. . 3 ⊢ (1 = if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1)
13	10, 11, 12	3bitr2ri 303	. 2 ⊢ (if(𝑋 ∈ 𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴)
14	2, 13	bitrdi 290	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑋 ∈ 𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ifcif 4482  ‘cfv 6538  0cc0 11200  1c1 11201  𝟭cind 12320

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-ind 12321

This theorem is used by:  indpi1  12334  prodindf  33429  indpreima  33432  esplymhp  34200