Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ind1a 34000
Description: Value of the indicator function where it is 1. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind1a ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))

Proof of Theorem ind1a
StepHypRef Expression
1 indfval 33997 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → (((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = if(𝑋𝐴, 1, 0))
21eqeq1d 2737 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1))
3 eqid 2735 . . . . 5 1 = 1
43biantru 529 . . . 4 (𝑋𝐴 ↔ (𝑋𝐴 ∧ 1 = 1))
5 ax-1ne0 11222 . . . . . 6 1 ≠ 0
65neii 2940 . . . . 5 ¬ 1 = 0
76biorfri 939 . . . 4 ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0))
86bianfi 533 . . . . 5 (1 = 0 ↔ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0))
98orbi2i 912 . . . 4 (((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ 1 = 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
104, 7, 93bitri 297 . . 3 (𝑋𝐴 ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
11 eqif 4572 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ ((𝑋𝐴 ∧ 1 = 1) ∨ (¬ 𝑋𝐴 ∧ 1 = 0)))
12 eqcom 2742 . . 3 (1 = if(𝑋𝐴, 1, 0) ↔ if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1)
1310, 11, 123bitr2ri 300 . 2 (if(𝑋𝐴, 1, 0) = 1 ↔ 𝑋𝐴)
142, 13bitrdi 287 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂𝑋𝑂) → ((((𝟭‘𝑂)‘𝐴)‘𝑋) = 1 ↔ 𝑋𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  ifcif 4531  cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  𝟭cind 33991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-ind 33992
This theorem is referenced by:  indpi1  34001  prodindf  34004  indpreima  34006
  Copyright terms: Public domain W3C validator