Theorem esplyfval2 33724

Description: When 𝐾 is out-of-bounds, the 𝐾-th elementary symmetric polynomial is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfval2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
esplyfval2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval2	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyfval2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfval2.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
3		elpwi 4549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑐 ⊆ 𝐼)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ⊆ 𝐼)
5	2, 4	ssfid 9172	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ∈ Fin)
6		hashcl 14309	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℝ)
9		hashcl 14309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
13		esplyfval2.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
14	13	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		hashss 14362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑐 ⊆ 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
18	2, 4, 17	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
19	10	nn0zd 12540	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
20		nn0diffz0 32882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
22	13, 21	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
23		eluzp1l 12806	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1))) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
24	19, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) < 𝐾)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
26	8, 12, 16, 18, 25	lelttrd 11295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) < 𝐾)
27	8, 26	ltned 11273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≠ 𝐾)
28	27	neneqd 2938	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
29	28	ralrimiva 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
30		rabeq0 4329	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
31	29, 30	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅)
32	31	imaeq2d 6019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((𝟭‘𝐼) “ ∅))
33		ima0 6036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼) “ ∅) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ∅)
35	34	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = ((𝟭‘𝐷)‘∅))
36		esplyfval2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
37		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	36, 37	rabex2 5278	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
39		indconst0 12162	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
40	38, 39	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
41	35, 40	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = (𝐷 × {0}))
42	41	coeq2d 5811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})))
43		esplyfval2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
45	44	zrhrhm 21501	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
46		zringbas 21443	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
47		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	46, 47	rhmf 20455	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
49	43, 45, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
50	49	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
51		0zd 12527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
52		fcoconst 7081	. . . 4 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
53	50, 51, 52	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
54		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	44, 54	zrh0 21503	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
56	43, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
57	56	sneqd 4580	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((ℤRHom‘𝑅)‘0)} = {(0g‘𝑅)})
58	57	xpeq2d 5654	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
59	42, 53, 58	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
60	36, 1, 43, 14	esplyfval 33722	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
61		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
62	36	psrbasfsupp 33687	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
63		esplyfval2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	43	ringgrpd 20214	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
65	61, 62, 54, 63, 1, 64	mpl0 21994	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
66	59, 60, 65	3eqtr4d 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  {csn 4568   class class class wbr 5086   × cxp 5622   “ cima 5627   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9267  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  𝟭cind 12150  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ♯chash 14283  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205   RingHom crh 20440  ℤ_ringczring 21436  ℤRHomczrh 21489   mPoly cmpl 21896  eSymPolycesply 33715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-ind 12151  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-cring 20208  df-rhm 20443  df-subrng 20514  df-subrg 20538  df-cnfld 21345  df-zring 21437  df-zrh 21493  df-psr 21899  df-mpl 21901  df-esply 33717

This theorem is referenced by:  esplyfval3  33731  esplyfvn  33736