Theorem esplyfval2 33872

Description: When 𝐾 is out-of-bounds, the 𝐾-th elementary symmetric polynomial is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfval2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
esplyfval2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval2	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyfval2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfval2.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
3		elpwi 4565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑐 ⊆ 𝐼)
4	3	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ⊆ 𝐼)
5	2, 4	ssfid 9217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ∈ Fin)
6		hashcl 14383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℝ)
9		hashcl 14383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
10	1, 9	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
13		esplyfval2.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
14	13	eldifad 3919	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		hashss 14436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑐 ⊆ 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
18	2, 4, 17	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
19	10	nn0zd 12607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
20		nn0diffz0 33051	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
21	10, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
22	13, 21	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
23		eluzp1l 12880	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1))) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
24	19, 22, 23	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) < 𝐾)
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
26	8, 12, 16, 18, 25	lelttrd 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) < 𝐾)
27	8, 26	ltned 11334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≠ 𝐾)
28	27	neneqd 2965	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
29	28	ralrimiva 3157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
30		rabeq0 4345	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
31	29, 30	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅)
32	31	imaeq2d 6053	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((𝟭‘𝐼) “ ∅))
33		ima0 6070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼) “ ∅) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ∅)
35	34	fveq2d 6875	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = ((𝟭‘𝐷)‘∅))
36		esplyfval2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
37		ovex 7433	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	36, 37	rabex2 5302	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
39		indconst0 12221	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
40	38, 39	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
41	35, 40	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = (𝐷 × {0}))
42	41	coeq2d 5839	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})))
43		esplyfval2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
45	44	zrhrhm 21621	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
46		zringbas 21563	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
47		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	46, 47	rhmf 20557	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
49	43, 45, 48	3syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
50	49	ffnd 6696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
51		0zd 12594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
52		fcoconst 7120	. . . 4 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
53	50, 51, 52	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
54		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	44, 54	zrh0 21623	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
56	43, 55	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
57	56	sneqd 4597	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((ℤRHom‘𝑅)‘0)} = {(0g‘𝑅)})
58	57	xpeq2d 5682	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
59	42, 53, 58	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
60	36, 1, 43, 14	esplyfval 33870	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
61		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
62	36	psrbasfsupp 33818	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
63		esplyfval2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	43	ringgrpd 20315	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
65	61, 62, 54, 63, 1, 64	mpl0 22115	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
66	59, 60, 65	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {crab 3417  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585   class class class wbr 5105   × cxp 5650   “ cima 5655   ∘ ccom 5656   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   ≤ cle 11232  𝟭cind 12209  ℕ₀cn0 12495  ℤcz 12582  ℤ_≥cuz 12853  ...cfz 13526  ♯chash 14357  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  Ringcrg 20306   RingHom crh 20542  ℤ_ringczring 21556  ℤRHomczrh 21609   mPoly cmpl 22016  eSymPolycesply 33863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-addf 11167  ax-mulf 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-oadd 8445  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-ind 12210  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-hash 14358  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-prds 17490  df-pws 17492  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-mhm 18831  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-mulg 19125  df-subg 19180  df-ghm 19275  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-rhm 20545  df-subrng 20622  df-subrg 20646  df-cnfld 21483  df-zring 21557  df-zrh 21613  df-psr 22019  df-mpl 22021  df-esply 33865

This theorem is referenced by:  esplyfval3  33879  esplyfvn  33884