Theorem esplyfval2 33723

Description: When 𝐾 is out-of-bounds, the 𝐾-th elementary symmetric polynomial is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfval2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
esplyfval2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval2	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyfval2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfval2.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
3		elpwi 4561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑐 ⊆ 𝐼)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ⊆ 𝐼)
5	2, 4	ssfid 9169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ∈ Fin)
6		hashcl 14279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℝ)
9		hashcl 14279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
13		esplyfval2.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
14	13	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		hashss 14332	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑐 ⊆ 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
18	2, 4, 17	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
19	10	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
20		nn0diffz0 32874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
22	13, 21	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
23		eluzp1l 12778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1))) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
24	19, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) < 𝐾)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
26	8, 12, 16, 18, 25	lelttrd 11291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) < 𝐾)
27	8, 26	ltned 11269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≠ 𝐾)
28	27	neneqd 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
29	28	ralrimiva 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
30		rabeq0 4340	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
31	29, 30	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅)
32	31	imaeq2d 6019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((𝟭‘𝐼) “ ∅))
33		ima0 6036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼) “ ∅) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2787	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ∅)
35	34	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = ((𝟭‘𝐷)‘∅))
36		esplyfval2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
37		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	36, 37	rabex2 5286	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
39		indconst0 32939	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
40	38, 39	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
41	35, 40	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = (𝐷 × {0}))
42	41	coeq2d 5811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})))
43		esplyfval2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
45	44	zrhrhm 21466	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
46		zringbas 21408	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
47		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	46, 47	rhmf 20420	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
49	43, 45, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
50	49	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
51		0zd 12500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
52		fcoconst 7079	. . . 4 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
53	50, 51, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
54		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	44, 54	zrh0 21468	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
56	43, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
57	56	sneqd 4592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((ℤRHom‘𝑅)‘0)} = {(0g‘𝑅)})
58	57	xpeq2d 5654	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
59	42, 53, 58	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
60	36, 1, 43, 14	esplyfval 33721	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
61		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
62	36	psrbasfsupp 33693	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
63		esplyfval2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	43	ringgrpd 20177	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
65	61, 62, 54, 63, 1, 64	mpl0 21961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
66	59, 60, 65	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   class class class wbr 5098   × cxp 5622   “ cima 5627   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ♯chash 14253  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Ringcrg 20168   RingHom crh 20405  ℤ_ringczring 21401  ℤRHomczrh 21454   mPoly cmpl 21862  𝟭cind 32929  eSymPolycesply 33714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-ind 32930  df-esply 33716

This theorem is referenced by:  esplyfval3  33730  esplyfvn  33733