Theorem esplyfval2 33823

Description: When 𝐾 is out-of-bounds, the 𝐾-th elementary symmetric polynomial is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfval2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
esplyfval2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval2	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyfval2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfval2.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
3		elpwi 4561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑐 ⊆ 𝐼)
4	3	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ⊆ 𝐼)
5	2, 4	ssfid 9209	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ∈ Fin)
6		hashcl 14366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℝ)
9		hashcl 14366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
12	11	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
13		esplyfval2.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
14	13	eldifad 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12540	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		hashss 14419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑐 ⊆ 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
18	2, 4, 17	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
19	10	nn0zd 12590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
20		nn0diffz0 32946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
22	13, 21	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
23		eluzp1l 12863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1))) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
24	19, 22, 23	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) < 𝐾)
25	24	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
26	8, 12, 16, 18, 25	lelttrd 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) < 𝐾)
27	8, 26	ltned 11316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≠ 𝐾)
28	27	neneqd 2961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
29	28	ralrimiva 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
30		rabeq0 4341	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
31	29, 30	sylibr 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅)
32	31	imaeq2d 6046	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((𝟭‘𝐼) “ ∅))
33		ima0 6063	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼) “ ∅) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ∅)
35	34	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = ((𝟭‘𝐷)‘∅))
36		esplyfval2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
37		ovex 7425	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	36, 37	rabex2 5296	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
39		indconst0 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
40	38, 39	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
41	35, 40	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = (𝐷 × {0}))
42	41	coeq2d 5832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})))
43		esplyfval2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
45	44	zrhrhm 21543	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
46		zringbas 21485	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
47		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	46, 47	rhmf 20512	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
49	43, 45, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
50	49	ffnd 6688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
51		0zd 12577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
52		fcoconst 7112	. . . 4 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
53	50, 51, 52	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
54		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	44, 54	zrh0 21545	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
56	43, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
57	56	sneqd 4593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((ℤRHom‘𝑅)‘0)} = {(0g‘𝑅)})
58	57	xpeq2d 5675	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
59	42, 53, 58	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
60	36, 1, 43, 14	esplyfval 33821	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
61		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
62	36	psrbasfsupp 33769	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
63		esplyfval2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	43	ringgrpd 20271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
65	61, 62, 54, 63, 1, 64	mpl0 22037	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
66	59, 60, 65	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  {crab 3413  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4554  {csn 4581   class class class wbr 5099   × cxp 5643   “ cima 5648   ∘ ccom 5649   Fn wfn 6512  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923   finSupp cfsupp 9304  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214  𝟭cind 12192  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℤ_≥cuz 12836  ...cfz 13509  ♯chash 14340  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  Ringcrg 20262   RingHom crh 20497  ℤ_ringczring 21478  ℤRHomczrh 21531   mPoly cmpl 21938  eSymPolycesply 33814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-ind 12193  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-hash 14341  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-rhm 20500  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-cnfld 21405  df-zring 21479  df-zrh 21535  df-psr 21941  df-mpl 21943  df-esply 33816

This theorem is referenced by:  esplyfval3  33830  esplyfvn  33835