Theorem esplyfval2 33756

Description: When 𝐾 is out-of-bounds, the 𝐾-th elementary symmetric polynomial is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
esplyfval2.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
esplyfval2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
esplyfval2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
esplyfval2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
esplyfval2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
esplyfval2	⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Distinct variable group:   ℎ,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑅(ℎ)   𝐾(ℎ)   𝑍(ℎ)

Proof of Theorem esplyfval2

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esplyfval2.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
2	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
3		elpwi 4543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 → 𝑐 ⊆ 𝐼)
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ⊆ 𝐼)
5	2, 4	ssfid 9176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝑐 ∈ Fin)
6		hashcl 14316	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ Fin → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 12497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ∈ ℝ)
9		hashcl 14316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
10	1, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
11	10	nn0red 12497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
13		esplyfval2.k	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))))
14	13	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ0)
15	14	nn0red 12497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
16	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → 𝐾 ∈ ℝ)
17		hashss 14369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑐 ⊆ 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
18	2, 4, 17	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≤ (♯‘𝐼))
19	10	nn0zd 12547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℤ)
20		nn0diffz0 32893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝐼) ∈ ℕ0 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
21	10, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ∖ (0...(♯‘𝐼))) = (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
22	13, 21	eleqtrd 2842	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1)))
23		eluzp1l 12813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘((♯‘𝐼) + 1))) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
24	19, 22, 23	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐼) < 𝐾)
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝐼) < 𝐾)
26	8, 12, 16, 18, 25	lelttrd 11302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) < 𝐾)
27	8, 26	ltned 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → (♯‘𝑐) ≠ 𝐾)
28	27	neneqd 2940	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝒫 𝐼) → ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
29	28	ralrimiva 3132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
30		rabeq0 4323	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅ ↔ ∀𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ¬ (♯‘𝑐) = 𝐾)
31	29, 30	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾} = ∅)
32	31	imaeq2d 6019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ((𝟭‘𝐼) “ ∅))
33		ima0 6036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝟭‘𝐼) “ ∅) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}) = ∅)
35	34	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = ((𝟭‘𝐷)‘∅))
36		esplyfval2.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ ℎ finSupp 0}
37		ovex 7396	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
38	36, 37	rabex2 5276	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 ∈ V
39		indconst0 12169	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ V → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
40	38, 39	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘∅) = (𝐷 × {0}))
41	35, 40	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾})) = (𝐷 × {0}))
42	41	coeq2d 5811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})))
43		esplyfval2.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
44		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
45	44	zrhrhm 21493	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
46		zringbas 21435	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
47		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
48	46, 47	rhmf 20462	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
49	43, 45, 48	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶(Base‘𝑅))
50	49	ffnd 6663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ)
51		0zd 12534	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
52		fcoconst 7083	. . . 4 ⊢ (((ℤRHom‘𝑅) Fn ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
53	50, 51, 52	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ (𝐷 × {0})) = (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}))
54		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
55	44, 54	zrh0 21495	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
56	43, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅)‘0) = (0g‘𝑅))
57	56	sneqd 4574	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {((ℤRHom‘𝑅)‘0)} = {(0g‘𝑅)})
58	57	xpeq2d 5655	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × {((ℤRHom‘𝑅)‘0)}) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
59	42, 53, 58	3eqtrd 2779	. 2 ⊢ (𝜑 → ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))) = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
60	36, 1, 43, 14	esplyfval 33754	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = ((ℤRHom‘𝑅) ∘ ((𝟭‘𝐷)‘((𝟭‘𝐼) “ {𝑐 ∈ 𝒫 𝐼 ∣ (♯‘𝑐) = 𝐾}))))
61		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
62	36	psrbasfsupp 33702	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
63		esplyfval2.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘(𝐼 mPoly 𝑅))
64	43	ringgrpd 20221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
65	61, 62, 54, 63, 1, 64	mpl0 21987	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 = (𝐷 × {(0g‘𝑅)}))
66	59, 60, 65	3eqtr4d 2785	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼eSymPoly𝑅)‘𝐾) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  {crab 3392  Vcvv 3432   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  𝒫 cpw 4536  {csn 4562   class class class wbr 5079   × cxp 5623   “ cima 5628   ∘ ccom 5629   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9271  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  𝟭cind 12157  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ♯chash 14290  Basecbs 17177  0_gc0g 17400  Ringcrg 20212   RingHom crh 20447  ℤ_ringczring 21428  ℤRHomczrh 21481   mPoly cmpl 21888  eSymPolycesply 33747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-addf 11115  ax-mulf 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-oadd 8406  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-sup 9352  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-ind 12158  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-hash 14291  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mhm 18749  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-mulg 19042  df-subg 19097  df-ghm 19186  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-cring 20215  df-rhm 20450  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-cnfld 21355  df-zring 21429  df-zrh 21485  df-psr 21891  df-mpl 21893  df-esply 33749

This theorem is referenced by:  esplyfval3  33763  esplyfvn  33768