Theorem vonvolmbllem 47434

Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
vonvolmbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbllem.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbllem	⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦, 𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2927	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbllem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
4		vonvolmbllem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 45992	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
6	5	ineq1d 4172	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})))
7		reex 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
9	3	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10		elmapi 8852	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12	11	frnd 6718	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	12	ralrimiva 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14		iunss 5011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	4, 15	eqsstrid 3976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
17	8, 16	ssexd 5297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
18		vonvolmbllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
19	8, 18	ssexd 5297	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		snex 5412	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
22	17, 19, 21	inmap 45985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴}))
23	6, 22	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴}))
24	23	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴})))
25	16	ssinss1d 4200	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
26	2, 25	ovnovol 47433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
27	24, 26	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
28	5	difeq1d 4080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))
29	17, 19, 2	difmapsn 45988	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴}))
30	28, 29	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴}))
31	30	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴})))
32	16	ssdifssd 4101	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
33	2, 32	ovnovol 47433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
34	31, 33	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
35	27, 34	oveq12d 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
36	5	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})))
37	2, 16	ovnovol 47433	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
38	17, 16	elpwd 4570	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
39		vonvolmbllem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
40		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
41		ineq1 4166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∩ 𝐵) = (𝑌 ∩ 𝐵))
42	41	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
43		difeq1 4074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∖ 𝐵) = (𝑌 ∖ 𝐵))
44	43	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
45	42, 44	oveq12d 7437	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
46	40, 45	eqeq12d 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))))
47	46	rspcva 3581	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
48	38, 39, 47	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
49	36, 37, 48	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
50	35, 49	eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  {csn 4591  ∪ ciun 4958  ran crn 5664  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  ℝcr 11116   +_𝑒 cxad 13153  vol*covol 25674  voln*covoln 47310

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-pre-sup 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-oi 9479  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-div 11889  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13394  df-ico 13396  df-icc 13397  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-fl 13845  df-seq 14058  df-exp 14118  df-hash 14387  df-cj 15176  df-re 15177  df-im 15178  df-sqrt 15312  df-abs 15313  df-clim 15565  df-rlim 15566  df-sum 15764  df-prod 15983  df-rest 17499  df-topgen 17520  df-psmet 21566  df-xmet 21567  df-met 21568  df-bl 21569  df-mopn 21570  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-cmp 23596  df-ovol 25676  df-vol 25677  df-sumge0 47137  df-ovoln 47311

This theorem is used by:  vonvolmbl  47435