Theorem vonvolmbllem 42484

Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
vonvolmbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
vonvolmbllem.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbllem	⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbllem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
4		vonvolmbllem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 41019	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑𝑚 {𝐴}))
6	5	ineq1d 4108	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
7		reex 10474	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
9	3	sselda 3889	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
10		elmapi 8278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12	11	frnd 6389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	12	ralrimiva 3149	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14		iunss 4868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15	13, 14	sylibr 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	4, 15	syl5eqss 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
17	8, 16	ssexd 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
18		vonvolmbllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
19	8, 18	ssexd 5119	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		snex 5223	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
22	17, 19, 21	inmap 41012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
23	6, 22	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
24	23	fveq2d 6542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
25	16	ssinss1d 40849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
26	2, 25	ovnovol 42483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
27	24, 26	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
28	5	difeq1d 4019	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
29	17, 19, 2	difmapsn 41015	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
30	28, 29	eqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
31	30	fveq2d 6542	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
32	16	ssdifssd 4040	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
33	2, 32	ovnovol 42483	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
34	31, 33	eqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
35	27, 34	oveq12d 7034	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
36	5	fveq2d 6542	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})))
37	2, 16	ovnovol 42483	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
38	17, 16	elpwd 4462	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
39		vonvolmbllem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
40		fveq2 6538	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
41		ineq1 4101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∩ 𝐵) = (𝑌 ∩ 𝐵))
42	41	fveq2d 6542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
43		difeq1 4013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∖ 𝐵) = (𝑌 ∖ 𝐵))
44	43	fveq2d 6542	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
45	42, 44	oveq12d 7034	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
46	40, 45	eqeq12d 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))))
47	46	rspcva 3557	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
48	38, 39, 47	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
49	36, 37, 48	3eqtrd 2835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
50	35, 49	eqtr4d 2834	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  Vcvv 3437   ∖ cdif 3856   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  𝒫 cpw 4453  {csn 4472  ∪ ciun 4825  ran crn 5444  ⟶wf 6221  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ↑_𝑚 cmap 8256  ℝcr 10382   +_𝑒 cxad 12355  vol*covol 23746  voln*covoln 42360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-prod 15093  df-rest 16525  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cmp 21679  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-sumge0 42187  df-ovoln 42361

This theorem is referenced by:  vonvolmbl  42485