Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbllem 45362
Description: If a subset 𝐡 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
vonvolmbllem.e (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 ℝ(vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))))
vonvolmbllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbllem.y π‘Œ = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbllem (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐡   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ   𝑦,π‘Œ   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem
StepHypRef Expression
1 nfcv 2903 . . . . . . . 8 β„²π‘“π‘Œ
2 vonvolmbllem.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 vonvolmbllem.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (ℝ ↑m {𝐴}))
4 vonvolmbllem.y . . . . . . . 8 π‘Œ = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 43900 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Œ ↑m {𝐴}))
65ineq1d 4210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ↑m {𝐴}) ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})))
7 reex 11197 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
93sselda 3981 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10 elmapi 8839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) β†’ 𝑓:{𝐴}βŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓:{𝐴}βŸΆβ„)
1211frnd 6722 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ ran 𝑓 βŠ† ℝ)
1312ralrimiva 3146 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
14 iunss 5047 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
1513, 14sylibr 233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
164, 15eqsstrid 4029 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
178, 16ssexd 5323 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
18 vonvolmbllem.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
198, 18ssexd 5323 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
20 snex 5430 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝐴} ∈ V)
2217, 19, 21inmap 43893 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ↑m {𝐴}) ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴}))
236, 22eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴}))
2423fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴})))
2516ssinss1d 43720 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
262, 25ovnovol 45361 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴})) = (vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)))
2724, 26eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) = (vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)))
285difeq1d 4120 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ↑m {𝐴}) βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))
2917, 19, 2difmapsn 43896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ↑m {𝐴}) βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴}))
3028, 29eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴}))
3130fveq2d 6892 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴}))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴})))
3216ssdifssd 4141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– 𝐡) βŠ† ℝ)
332, 32ovnovol 45361 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴})) = (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))
3431, 33eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴}))) = (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))
3527, 34oveq12d 7423 . 2 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
365fveq2d 6892 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(π‘Œ ↑m {𝐴})))
372, 16ovnovol 45361 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(π‘Œ ↑m {𝐴})) = (vol*β€˜π‘Œ))
3817, 16elpwd 4607 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝒫 ℝ)
39 vonvolmbllem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 ℝ(vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))))
40 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (vol*β€˜π‘¦) = (vol*β€˜π‘Œ))
41 ineq1 4204 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ∩ 𝐡) = (π‘Œ ∩ 𝐡))
4241fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) = (vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)))
43 difeq1 4114 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 βˆ– 𝐡) = (π‘Œ βˆ– 𝐡))
4443fveq2d 6892 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡)) = (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))
4542, 44oveq12d 7423 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
4640, 45eqeq12d 2748 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))) ↔ (vol*β€˜π‘Œ) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))))
4746rspcva 3610 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝒫 ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 ℝ(vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡)))) β†’ (vol*β€˜π‘Œ) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
4838, 39, 47syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π‘Œ) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
4936, 37, 483eqtrd 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
5035, 49eqtr4d 2775 1 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ ciun 4996  ran crn 5676  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8816  β„cr 11105   +𝑒 cxad 13086  vol*covol 24970  voln*covoln 45238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-prod 15846  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cmp 22882  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-sumge0 45065  df-ovoln 45239
This theorem is referenced by:  vonvolmbl  45363
  Copyright terms: Public domain W3C validator