Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbllem 42484
Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbllem.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbllem.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
vonvolmbllem.x (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
vonvolmbllem.y 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbllem (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem
StepHypRef Expression
1 nfcv 2949 . . . . . . . 8 𝑓𝑌
2 vonvolmbllem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
3 vonvolmbllem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
4 vonvolmbllem.y . . . . . . . 8 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 41019 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑌𝑚 {𝐴}))
65ineq1d 4108 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
7 reex 10474 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
93sselda 3889 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
10 elmapi 8278 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
1211frnd 6389 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1312ralrimiva 3149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14 iunss 4868 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1513, 14sylibr 235 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
164, 15syl5eqss 3936 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
178, 16ssexd 5119 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
18 vonvolmbllem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
198, 18ssexd 5119 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
20 snex 5223 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
2217, 19, 21inmap 41012 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
236, 22eqtrd 2831 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
2423fveq2d 6542 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
2516ssinss1d 40849 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
262, 25ovnovol 42483 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
2724, 26eqtrd 2831 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
285difeq1d 4019 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
2917, 19, 2difmapsn 41015 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3028, 29eqtrd 2831 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
3130fveq2d 6542 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})))
3216ssdifssd 4040 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
332, 32ovnovol 42483 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3431, 33eqtrd 2831 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3527, 34oveq12d 7034 . 2 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
365fveq2d 6542 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})))
372, 16ovnovol 42483 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
3817, 16elpwd 4462 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
39 vonvolmbllem.e . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
40 fveq2 6538 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
41 ineq1 4101 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4241fveq2d 6542 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
43 difeq1 4013 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4443fveq2d 6542 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
4542, 44oveq12d 7034 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4640, 45eqeq12d 2810 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵)))))
4746rspcva 3557 . . . 4 ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4838, 39, 47syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4936, 37, 483eqtrd 2835 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5035, 49eqtr4d 2834 1 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wral 3105  Vcvv 3437  cdif 3856  cin 3858  wss 3859  𝒫 cpw 4453  {csn 4472   ciun 4825  ran crn 5444  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑚 cmap 8256  cr 10382   +𝑒 cxad 12355  vol*covol 23746  voln*covoln 42360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-prod 15093  df-rest 16525  df-topgen 16546  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cmp 21679  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-sumge0 42187  df-ovoln 42361
This theorem is referenced by:  vonvolmbl  42485
  Copyright terms: Public domain W3C validator