Theorem vonvolmbllem 47806

Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
vonvolmbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbllem.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbllem	⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +e ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦, 𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbllem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
4		vonvolmbllem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 46365	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
6	5	ineq1d 4115	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})))
7		reex 11298	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
9	3	sselda 3909	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10		elmapi 8877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12	11	frnd 6723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	12	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14		iunss 5002	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	4, 15	eqsstrid 3947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
17	8, 16	ssexd 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
18		vonvolmbllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
19	8, 18	ssexd 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		snex 5397	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
22	17, 19, 21	inmap 46358	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴}))
23	6, 22	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴}))
24	23	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴})))
25	16	ssinss1d 4143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
26	2, 25	ovnovol 47805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
27	24, 26	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
28	5	difeq1d 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))
29	17, 19, 2	difmapsn 46361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴}))
30	28, 29	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴}))
31	30	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴})))
32	16	ssdifssd 4082	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
33	2, 32	ovnovol 47805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
34	31, 33	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
35	27, 34	oveq12d 7442	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +e ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
36	5	fveq2d 6894	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})))
37	2, 16	ovnovol 47805	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
38	17, 16	elpwd 4562	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
39		vonvolmbllem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
40		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
41		ineq1 4109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∩ 𝐵) = (𝑌 ∩ 𝐵))
42	41	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
43		difeq1 4055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∖ 𝐵) = (𝑌 ∖ 𝐵))
44	43	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
45	42, 44	oveq12d 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
46	40, 45	eqeq12d 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))))
47	46	rspcva 3574	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
48	38, 39, 47	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
49	36, 37, 48	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +e (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
50	35, 49	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +e ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  𝒫 cpw 4556  {csn 4584  ∪ ciun 4950  ran crn 5652  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  ℝcr 11206   +_e cxad 13246  vol*covol 25792  voln*covoln 47682

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-prod 16082  df-rest 17602  df-topgen 17623  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-cmp 23714  df-ovol 25794  df-vol 25795  df-sumge0 47509  df-ovoln 47683

This theorem is used by:  vonvolmbl  47807