Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbllem 43314
 Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbllem.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbllem.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
vonvolmbllem.x (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbllem.y 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbllem (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem
StepHypRef Expression
1 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑓𝑌
2 vonvolmbllem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
3 vonvolmbllem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
4 vonvolmbllem.y . . . . . . . 8 𝑌 = 𝑓𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 41860 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 = (𝑌m {𝐴}))
65ineq1d 4138 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑌m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})))
7 reex 10619 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ V)
93sselda 3915 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10 elmapi 8413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑓𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
1211frnd 6494 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1312ralrimiva 3149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14 iunss 4932 . . . . . . . . . 10 ( 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
1513, 14sylibr 237 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑓𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
164, 15eqsstrid 3963 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ⊆ ℝ)
178, 16ssexd 5192 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
18 vonvolmbllem.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
198, 18ssexd 5192 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
20 snex 5297 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
2217, 19, 21inmap 41853 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑m {𝐴}))
236, 22eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑m {𝐴}))
2423fveq2d 6649 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑m {𝐴})))
2516ssinss1d 41697 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
262, 25ovnovol 43313 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
2724, 26eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
285difeq1d 4049 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑌m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))
2917, 19, 2difmapsn 41856 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑m {𝐴}))
3028, 29eqtrd 2833 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑌𝐵) ↑m {𝐴}))
3130fveq2d 6649 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑m {𝐴})))
3216ssdifssd 4070 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌𝐵) ⊆ ℝ)
332, 32ovnovol 43313 . . . 4 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3431, 33eqtrd 2833 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
3527, 34oveq12d 7153 . 2 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
365fveq2d 6649 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌m {𝐴})))
372, 16ovnovol 43313 . . 3 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌m {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
3817, 16elpwd 4505 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
39 vonvolmbllem.e . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
40 fveq2 6645 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
41 ineq1 4131 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4241fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
43 difeq1 4043 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦𝐵) = (𝑌𝐵))
4443fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦𝐵)) = (vol*‘(𝑌𝐵)))
4542, 44oveq12d 7153 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4640, 45eqeq12d 2814 . . . . 5 (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵)))))
4746rspcva 3569 . . . 4 ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4838, 39, 47syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
4936, 37, 483eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌𝐵))))
5035, 49eqtr4d 2836 1 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  ∪ ciun 4881  ran crn 5520  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391  ℝcr 10527   +𝑒 cxad 12495  vol*covol 24073  voln*covoln 43190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7390  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-pm 8394  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-n0 11888  df-z 11972  df-uz 12234  df-q 12339  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-fl 13159  df-seq 13367  df-exp 13428  df-hash 13689  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-prod 15254  df-rest 16690  df-topgen 16711  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-top 21506  df-topon 21523  df-bases 21558  df-cmp 21999  df-ovol 24075  df-vol 24076  df-sumge0 43017  df-ovoln 43191 This theorem is referenced by:  vonvolmbl  43315
 Copyright terms: Public domain W3C validator