Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbllem 44987
Description: If a subset 𝐡 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbllem.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
vonvolmbllem.e (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 ℝ(vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))))
vonvolmbllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbllem.y π‘Œ = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
Assertion
Ref Expression
vonvolmbllem (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐡   𝑓,𝑋   𝑓,π‘Œ   𝑦,π‘Œ   πœ‘,𝑓
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem
StepHypRef Expression
1 nfcv 2904 . . . . . . . 8 β„²π‘“π‘Œ
2 vonvolmbllem.a . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 vonvolmbllem.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† (ℝ ↑m {𝐴}))
4 vonvolmbllem.y . . . . . . . 8 π‘Œ = βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
51, 2, 3, 4ssmapsn 43524 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘Œ ↑m {𝐴}))
65ineq1d 4172 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ↑m {𝐴}) ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})))
7 reex 11147 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
87a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
93sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10 elmapi 8790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) β†’ 𝑓:{𝐴}βŸΆβ„)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ 𝑓:{𝐴}βŸΆβ„)
1211frnd 6677 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) β†’ ran 𝑓 βŠ† ℝ)
1312ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
14 iunss 5006 . . . . . . . . . 10 (βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ ↔ βˆ€π‘“ ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
1513, 14sylibr 233 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 βŠ† ℝ)
164, 15eqsstrid 3993 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† ℝ)
178, 16ssexd 5282 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
18 vonvolmbllem.b . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 βŠ† ℝ)
198, 18ssexd 5282 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
20 snex 5389 . . . . . . . 8 {𝐴} ∈ V
2120a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {𝐴} ∈ V)
2217, 19, 21inmap 43517 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ↑m {𝐴}) ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴}))
236, 22eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴}))
2423fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴})))
2516ssinss1d 43344 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∩ 𝐡) βŠ† ℝ)
262, 25ovnovol 44986 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ ∩ 𝐡) ↑m {𝐴})) = (vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)))
2724, 26eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) = (vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)))
285difeq1d 4082 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ ↑m {𝐴}) βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))
2917, 19, 2difmapsn 43520 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ ↑m {𝐴}) βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴}))
3028, 29eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})) = ((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴}))
3130fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴}))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴})))
3216ssdifssd 4103 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ– 𝐡) βŠ† ℝ)
332, 32ovnovol 44986 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜((π‘Œ βˆ– 𝐡) ↑m {𝐴})) = (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))
3431, 33eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴}))) = (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))
3527, 34oveq12d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
365fveq2d 6847 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(π‘Œ ↑m {𝐴})))
372, 16ovnovol 44986 . . 3 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(π‘Œ ↑m {𝐴})) = (vol*β€˜π‘Œ))
3817, 16elpwd 4567 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝒫 ℝ)
39 vonvolmbllem.e . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 ℝ(vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))))
40 fveq2 6843 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (vol*β€˜π‘¦) = (vol*β€˜π‘Œ))
41 ineq1 4166 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 ∩ 𝐡) = (π‘Œ ∩ 𝐡))
4241fveq2d 6847 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) = (vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)))
43 difeq1 4076 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ (𝑦 βˆ– 𝐡) = (π‘Œ βˆ– 𝐡))
4443fveq2d 6847 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡)) = (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))
4542, 44oveq12d 7376 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
4640, 45eqeq12d 2749 . . . . 5 (𝑦 = π‘Œ β†’ ((vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡))) ↔ (vol*β€˜π‘Œ) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡)))))
4746rspcva 3578 . . . 4 ((π‘Œ ∈ 𝒫 ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝒫 ℝ(vol*β€˜π‘¦) = ((vol*β€˜(𝑦 ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(𝑦 βˆ– 𝐡)))) β†’ (vol*β€˜π‘Œ) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
4838, 39, 47syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (vol*β€˜π‘Œ) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
4936, 37, 483eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹) = ((vol*β€˜(π‘Œ ∩ 𝐡)) +𝑒 (vol*β€˜(π‘Œ βˆ– 𝐡))))
5035, 49eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 ∩ (𝐡 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*β€˜{𝐴})β€˜(𝑋 βˆ– (𝐡 ↑m {𝐴})))) = ((voln*β€˜{𝐴})β€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  π’« cpw 4561  {csn 4587  βˆͺ ciun 4955  ran crn 5635  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  β„cr 11055   +𝑒 cxad 13036  vol*covol 24842  voln*covoln 44863
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-prod 15794  df-rest 17309  df-topgen 17330  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-sumge0 44690  df-ovoln 44864
This theorem is referenced by:  vonvolmbl  44988
  Copyright terms: Public domain W3C validator