Theorem vonvolmbllem 46768

Description: If a subset 𝐵 of real numbers is Lebesgue measurable, then its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the n-dimensional Lebesgue measure, (with 𝑛 equal to 1). (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbllem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbllem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
vonvolmbllem.e	⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
vonvolmbllem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
vonvolmbllem.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbllem	⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝑦,𝐵   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌   𝑦,𝑌   𝜑,𝑓

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑓)   𝑉(𝑦,𝑓)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem vonvolmbllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2894	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑓𝑌
2		vonvolmbllem.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		vonvolmbllem.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
4		vonvolmbllem.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓
5	1, 2, 3, 4	ssmapsn 45323	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑌 ↑m {𝐴}))
6	5	ineq1d 4166	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})))
7		reex 11097	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
9	3	sselda 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}))
10		elmapi 8773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → 𝑓:{𝐴}⟶ℝ)
12	11	frnd 6659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋) → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
13	12	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
14		iunss 4992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ ↔ ∀𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
15	13, 14	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑓 ∈ 𝑋 ran 𝑓 ⊆ ℝ)
16	4, 15	eqsstrid 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℝ)
17	8, 16	ssexd 5260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
18		vonvolmbllem.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
19	8, 18	ssexd 5260	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
20		snex 5372	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} ∈ V
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
22	17, 19, 21	inmap 45316	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴}))
23	6, 22	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴}))
24	23	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴})))
25	16	ssinss1d 4194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
26	2, 25	ovnovol 46767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∩ 𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
27	24, 26	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
28	5	difeq1d 4072	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))
29	17, 19, 2	difmapsn 45319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 ↑m {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴}))
30	28, 29	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})) = ((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴}))
31	30	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴})))
32	16	ssdifssd 4094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
33	2, 32	ovnovol 46767	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑌 ∖ 𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
34	31, 33	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴}))) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
35	27, 34	oveq12d 7364	. 2 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
36	5	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})))
37	2, 16	ovnovol 46767	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑌 ↑m {𝐴})) = (vol*‘𝑌))
38	17, 16	elpwd 4553	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 ℝ)
39		vonvolmbllem.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
40		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘𝑦) = (vol*‘𝑌))
41		ineq1 4160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∩ 𝐵) = (𝑌 ∩ 𝐵))
42	41	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)))
43		difeq1 4066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 ∖ 𝐵) = (𝑌 ∖ 𝐵))
44	43	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)) = (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))
45	42, 44	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
46	40, 45	eqeq12d 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) ↔ (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵)))))
47	46	rspcva 3570	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
48	38, 39, 47	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (vol*‘𝑌) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
49	36, 37, 48	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘𝑋) = ((vol*‘(𝑌 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑌 ∖ 𝐵))))
50	35, 49	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∩ (𝐵 ↑m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑋 ∖ (𝐵 ↑m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  ∪ ciun 4939  ran crn 5615  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  ℝcr 11005   +_𝑒 cxad 13009  vol*covol 25390  voln*covoln 46644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-prod 15811  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cmp 23302  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-sumge0 46471  df-ovoln 46645

This theorem is referenced by:  vonvolmbl  46769