Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbl 41447
Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbl.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbl.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonvolmbl (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑦 ∈ V)
3 reex 10280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 vonvolmbl.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5ssexd 4966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 snfi 8245 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝐴} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
98elexd 3367 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
102, 6, 9inmap 39978 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
1110eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
1211fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
13 vonvolmbl.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
142, 6, 13difmapsn 39981 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
1514eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
1615fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
1712, 16oveq12d 6860 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
1817ad2antrr 717 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
19 ovexd 6876 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ V)
203a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
21 elpwi 4325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
22 mapss 8105 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2320, 21, 22syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2419, 23elpwd 4324 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
2524adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
26 simpl 474 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
27 ineq1 3969 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴})))
2827fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
29 difeq1 3883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})) = ((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))
3029fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴}))))
3128, 30oveq12d 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))))
32 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3331, 32eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦𝑚 {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴}))))
3433rspcva 3459 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3525, 26, 34syl2anc 579 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3635adantll 705 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
37 eqidd 2766 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3818, 36, 373eqtrd 2803 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})))
3938eqcomd 2771 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))))
4013adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴𝑉)
4121adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
4240, 41ovnovol 41445 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4342adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4441ssinss1d 39797 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4540, 44ovnovol 41445 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4641ssdifssd 3910 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4740, 46ovnovol 41445 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4845, 47oveq12d 6860 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
4948adantlr 706 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5039, 43, 493eqtr3d 2807 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5150ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5251ex 401 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
5313ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐴𝑉)
545ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
55 simplr 785 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
56 elpwi 4325 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
5756adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
58 rneq 5519 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
5958cbviunv 4715 . . . . . 6 𝑔𝑥 ran 𝑔 = 𝑓𝑥 ran 𝑓
6053, 54, 55, 57, 59vonvolmbllem 41446 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6160ralrimiva 3113 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6261ex 401 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
6352, 62impbid 203 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
64 mapss 8105 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
654, 5, 64syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → (𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
668isvonmbl 41424 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
6765, 66mpbirand 698 . 2 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
68 ismbl4 40779 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))))
705, 69mpbirand 698 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
7163, 67, 703bitr4d 302 1 (𝜑 → ((𝐵𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  cdif 3729  cin 3731  wss 3732  𝒫 cpw 4315  {csn 4334   ciun 4676  dom cdm 5277  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  Fincfn 8160  cr 10188   +𝑒 cxad 12144  vol*covol 23520  volcvol 23521  voln*covoln 41322  volncvoln 41324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-ac2 9538  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-ac 9190  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-prod 14921  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-rest 16351  df-0g 16370  df-topgen 16372  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-subg 17857  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-drng 19018  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-bases 21030  df-cmp 21470  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-sumge0 41149  df-ome 41276  df-caragen 41278  df-ovoln 41323  df-voln 41325
This theorem is referenced by:  vonvol  41448  vonvolmbl2  41449  vonvol2  41450
  Copyright terms: Public domain W3C validator