Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbl 43361
 Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbl.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbl.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonvolmbl (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3444 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑦 ∈ V)
3 reex 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 vonvolmbl.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5ssexd 5193 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 snfi 8584 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝐴} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
98elexd 3461 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
102, 6, 9inmap 41901 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))
1110eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}) = ((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})))
1211fveq2d 6654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))))
13 vonvolmbl.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
142, 6, 13difmapsn 41904 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))
1514eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}) = ((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))
1615fveq2d 6654 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴}))))
1712, 16oveq12d 7158 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))))
1817ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))))
19 ovexd 7175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦m {𝐴}) ∈ V)
203a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
21 elpwi 4506 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
22 mapss 8443 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
2320, 21, 22syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
2419, 23elpwd 4505 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦m {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}))
2524adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦m {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}))
26 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
27 ineq1 4131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})))
2827fveq2d 6654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))))
29 difeq1 4043 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))
3029fveq2d 6654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴}))))
3128, 30oveq12d 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))))
32 fveq2 6650 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3331, 32eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴}))))
3433rspcva 3569 . . . . . . . . . 10 (((𝑦m {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3525, 26, 34syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3635adantll 713 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
37 eqidd 2799 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3818, 36, 373eqtrd 2837 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3938eqcomd 2804 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))))
4013adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴𝑉)
4121adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
4240, 41ovnovol 43359 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4342adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4441ssinss1d 41746 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4540, 44ovnovol 43359 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4641ssdifssd 4070 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4740, 46ovnovol 43359 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4845, 47oveq12d 7158 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
4948adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5039, 43, 493eqtr3d 2841 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5150ralrimiva 3149 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5251ex 416 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
5313ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → 𝐴𝑉)
545ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
55 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
56 elpwi 4506 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
5756adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
58 rneq 5771 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
5958cbviunv 4928 . . . . . 6 𝑔𝑥 ran 𝑔 = 𝑓𝑥 ran 𝑓
6053, 54, 55, 57, 59vonvolmbllem 43360 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6160ralrimiva 3149 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6261ex 416 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
6352, 62impbid 215 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
64 mapss 8443 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
654, 5, 64syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
668isvonmbl 43338 . . 3 (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
6765, 66mpbirand 706 . 2 (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
68 ismbl4 42696 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))))
705, 69mpbirand 706 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
7163, 67, 703bitr4d 314 1 (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  {csn 4525  ∪ ciun 4882  dom cdm 5520  ran crn 5521  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8396  Fincfn 8499  ℝcr 10532   +𝑒 cxad 12500  vol*covol 24080  volcvol 24081  voln*covoln 43236  volncvoln 43238 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-inf2 9095  ax-cc 9853  ax-ac2 9881  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-isom 6336  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7395  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-fi 8866  df-sup 8897  df-inf 8898  df-oi 8965  df-dju 9321  df-card 9359  df-acn 9362  df-ac 9534  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-fl 13164  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-prod 15259  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-rest 16695  df-0g 16714  df-topgen 16716  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19241  df-ur 19253  df-ring 19300  df-cring 19301  df-oppr 19377  df-dvdsr 19395  df-unit 19396  df-invr 19426  df-dvr 19437  df-drng 19505  df-psmet 20091  df-xmet 20092  df-met 20093  df-bl 20094  df-mopn 20095  df-cnfld 20100  df-top 21513  df-topon 21530  df-bases 21565  df-cmp 22006  df-ovol 24082  df-vol 24083  df-sumge0 43063  df-ome 43190  df-caragen 43192  df-ovoln 43237  df-voln 43239 This theorem is referenced by:  vonvol  43362  vonvolmbl2  43363  vonvol2  43364
 Copyright terms: Public domain W3C validator