Theorem vonvolmbl 42505

Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vonvolmbl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
vonvolmbl.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
vonvolmbl	⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl

Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑦 ∈ V
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
3		reex 10474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ V)
5		vonvolmbl.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℝ)
6	4, 5	ssexd 5119	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
7		snfi 8442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
9	8	elexd 3457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
10	2, 6, 9	inmap 41031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
11	10	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
12	11	fveq2d 6542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
13		vonvolmbl.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
14	2, 6, 13	difmapsn 41034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))
15	14	eqcomd 2801	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
16	15	fveq2d 6542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
17	12, 16	oveq12d 7034	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
18	17	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
19		ovexd 7050	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ V)
20	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
21		elpwi 4463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
22		mapss 8302	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
24	19, 23	elpwd 4462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
26		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
27		ineq1 4101	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
28	27	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
29		difeq1 4013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})) = ((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))
30	29	fveq2d 6542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))))
31	28, 30	oveq12d 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))))
32		fveq2 6538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
33	31, 32	eqeq12d 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴}))))
34	33	rspcva 3557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
35	25, 26, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
36	35	adantll 710	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ↑𝑚 {𝐴}) ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
37		eqidd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
38	18, 36, 37	3eqtrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})))
39	38	eqcomd 2801	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))))
40	13	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴 ∈ 𝑉)
41	21	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
42	40, 41	ovnovol 42503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
43	42	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦 ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
44	41	ssinss1d 40868	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∩ 𝐵) ⊆ ℝ)
45	40, 44	ovnovol 42503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)))
46	41	ssdifssd 4040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦 ∖ 𝐵) ⊆ ℝ)
47	40, 46	ovnovol 42503	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) = (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))
48	45, 47	oveq12d 7034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
49	48	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∩ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦 ∖ 𝐵) ↑𝑚 {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
50	39, 43, 49	3eqtr3d 2839	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
51	50	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
52	51	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
53	13	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐴 ∈ 𝑉)
54	5	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
55		simplr 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))
56		elpwi 4463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
57	56	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
58		rneq 5688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
59	58	cbviunv 4866	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑔 ∈ 𝑥 ran 𝑔 = ∪ 𝑓 ∈ 𝑥 ran 𝑓
60	53, 54, 55, 57, 59	vonvolmbllem 42504	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
61	60	ralrimiva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
62	61	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
63	52, 62	impbid 213	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
64		mapss 8302	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
65	4, 5, 64	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}))
66	8	isvonmbl 42482	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑𝑚 {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
67	65, 66	mpbirand 703	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑𝑚 {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵 ↑𝑚 {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
68		ismbl4 41840	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
69	68	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵))))))
70	5, 69	mpbirand 703	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦 ∩ 𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦 ∖ 𝐵)))))
71	63, 67, 70	3bitr4d 312	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ↑𝑚 {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  ∀wral 3105  Vcvv 3437   ∖ cdif 3856   ∩ cin 3858   ⊆ wss 3859  𝒫 cpw 4453  {csn 4472  ∪ ciun 4825  dom cdm 5443  ran crn 5444  ‘cfv 6225  (class class class)co 7016   ↑_𝑚 cmap 8256  Fincfn 8357  ℝcr 10382   +_𝑒 cxad 12355  vol*covol 23746  volcvol 23747  voln*covoln 42380  volncvoln 42382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-ac2 9731  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-tpos 7743  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-acn 9217  df-ac 9388  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-prod 15093  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-rest 16525  df-0g 16544  df-topgen 16546  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-subg 18030  df-cmn 18635  df-abl 18636  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-oppr 19063  df-dvdsr 19081  df-unit 19082  df-invr 19112  df-dvr 19123  df-drng 19194  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-bases 21238  df-cmp 21679  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-sumge0 42207  df-ome 42334  df-caragen 42336  df-ovoln 42381  df-voln 42383

This theorem is referenced by:  vonvol  42506  vonvolmbl2  42507  vonvol2  42508