Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonvolmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonvolmbl 45677
Description: A subset of Real numbers is Lebesgue measurable if and only if its corresponding 1-dimensional set is measurable w.r.t. the 1-dimensional Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonvolmbl.a (𝜑𝐴𝑉)
vonvolmbl.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
Assertion
Ref Expression
vonvolmbl (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))

Proof of Theorem vonvolmbl
Dummy variables 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
21a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑦 ∈ V)
3 reex 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
43a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ℝ ∈ V)
5 vonvolmbl.b . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
64, 5ssexd 5325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ V)
7 snfi 9047 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝐴} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → {𝐴} ∈ Fin)
98elexd 3494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
102, 6, 9inmap 44208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))
1110eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}) = ((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})))
1211fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))))
13 vonvolmbl.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝑉)
142, 6, 13difmapsn 44211 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))
1514eqcomd 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}) = ((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))
1615fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴}))))
1712, 16oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))))
1817ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))))
19 ovexd 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦m {𝐴}) ∈ V)
203a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → ℝ ∈ V)
21 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑦 ⊆ ℝ)
22 mapss 8886 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑦 ⊆ ℝ) → (𝑦m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
2320, 21, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
2419, 23elpwd 4609 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ 𝒫 ℝ → (𝑦m {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}))
2524adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦m {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}))
26 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
27 ineq1 4206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → (𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴})))
2827fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))))
29 difeq1 4116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → (𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})) = ((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))
3029fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴}))))
3128, 30oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))))
32 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3331, 32eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦m {𝐴}) → ((((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴}))))
3433rspcva 3611 . . . . . . . . . 10 (((𝑦m {𝐴}) ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3525, 26, 34syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3635adantll 711 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦m {𝐴}) ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
37 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3818, 36, 373eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})))
3938eqcomd 2737 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))))
4013adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝐴𝑉)
4121adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → 𝑦 ⊆ ℝ)
4240, 41ovnovol 45675 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4342adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘(𝑦m {𝐴})) = (vol*‘𝑦))
4441ssinss1d 44038 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4540, 44ovnovol 45675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4641ssdifssd 4143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (𝑦𝐵) ⊆ ℝ)
4740, 46ovnovol 45675 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) = (vol*‘(𝑦𝐵)))
4845, 47oveq12d 7430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
4948adantlr 712 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴})) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘((𝑦𝐵) ↑m {𝐴}))) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5039, 43, 493eqtr3d 2779 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 ℝ) → (vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5150ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
5251ex 412 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
5313ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → 𝐴𝑉)
545ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → 𝐵 ⊆ ℝ)
55 simplr 766 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))
56 elpwi 4610 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴}) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
5756adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → 𝑥 ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
58 rneq 5936 . . . . . . 7 (𝑔 = 𝑓 → ran 𝑔 = ran 𝑓)
5958cbviunv 5044 . . . . . 6 𝑔𝑥 ran 𝑔 = 𝑓𝑥 ran 𝑓
6053, 54, 55, 57, 59vonvolmbllem 45676 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})) → (((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6160ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))
6261ex 412 . . 3 (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
6352, 62impbid 211 . 2 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
64 mapss 8886 . . . 4 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐵 ⊆ ℝ) → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
654, 5, 64syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}))
668isvonmbl 45654 . . 3 (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ((𝐵m {𝐴}) ⊆ (ℝ ↑m {𝐴}) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥))))
6765, 66mpbirand 704 . 2 (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (ℝ ↑m {𝐴})(((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∩ (𝐵m {𝐴}))) +𝑒 ((voln*‘{𝐴})‘(𝑥 ∖ (𝐵m {𝐴})))) = ((voln*‘{𝐴})‘𝑥)))
68 ismbl4 45009 . . . 4 (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
6968a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵))))))
705, 69mpbirand 704 . 2 (𝜑 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑦 ∈ 𝒫 ℝ(vol*‘𝑦) = ((vol*‘(𝑦𝐵)) +𝑒 (vol*‘(𝑦𝐵)))))
7163, 67, 703bitr4d 310 1 (𝜑 → ((𝐵m {𝐴}) ∈ dom (voln‘{𝐴}) ↔ 𝐵 ∈ dom vol))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  cdif 3946  cin 3948  wss 3949  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   ciun 4998  dom cdm 5677  ran crn 5678  cfv 6544  (class class class)co 7412  m cmap 8823  Fincfn 8942  cr 11112   +𝑒 cxad 13095  vol*covol 25212  volcvol 25213  voln*covoln 45552  volncvoln 45554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-inf2 9639  ax-cc 10433  ax-ac2 10461  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191  ax-addf 11192  ax-mulf 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7673  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-ixp 8895  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fi 9409  df-sup 9440  df-inf 9441  df-oi 9508  df-dju 9899  df-card 9937  df-acn 9940  df-ac 10114  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-rest 17373  df-0g 17392  df-topgen 17394  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670  df-cmp 23112  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-sumge0 45379  df-ome 45506  df-caragen 45508  df-ovoln 45553  df-voln 45555
This theorem is referenced by:  vonvol  45678  vonvolmbl2  45679  vonvol2  45680
  Copyright terms: Public domain W3C validator