Theorem ishtpyd 25257

Description: Deduction for membership in the class of homotopies. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishtpy.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
ishtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
ishtpy.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
ishtpyd.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
ishtpyd.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
ishtpyd.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))

Assertion

Ref	Expression
ishtpyd	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐽,𝑠   𝜑,𝑠   𝑋,𝑠

Allowed substitution hint:   𝐾(𝑠)

Proof of Theorem ishtpyd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishtpyd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
2		ishtpyd.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
3		ishtpyd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
4	2, 3	jca 521	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))
5	4	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝑋 ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))
6		ishtpy.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
7		ishtpy.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
8		ishtpy.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
9	6, 7, 8	ishtpy 25254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺) ↔ (𝐻 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾) ∧ ∀𝑠 ∈ 𝑋 ((𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠) ∧ (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠)))))
10	1, 5, 9	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  0cc0 11171  1c1 11172  TopOnctopon 23189   Cn ccn 23503   ×_t ctx 23840  IIcii 25157   Htpy chtpy 25249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-fv 6535  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-map 8827  df-top 23173  df-topon 23190  df-cn 23506  df-htpy 25252

This theorem is used by:  htpycom  25258  htpyid  25259  htpyco1  25260  htpyco2  25261  htpycc  25262  isphtpy2d  25269