Theorem isphtpy2d 25033

Description: Deduction for membership in the class of path homotopies. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isphtpy.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
isphtpy2d.1	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
isphtpy2d.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
isphtpy2d.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
isphtpy2d.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
isphtpy2d.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))

Assertion

Ref	Expression
isphtpy2d	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Distinct variable groups:   𝐹,𝑠   𝐺,𝑠   𝐻,𝑠   𝐽,𝑠   𝜑,𝑠

Proof of Theorem isphtpy2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpy.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
2		isphtpy.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3		iitopon 24919	. . . 4 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
5		isphtpy2d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
6		isphtpy2d.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻0) = (𝐹‘𝑠))
7		isphtpy2d.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐻1) = (𝐺‘𝑠))
8	4, 1, 2, 5, 6, 7	ishtpyd 25021	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(II Htpy 𝐽)𝐺))
9		isphtpy2d.4	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (0𝐻𝑠) = (𝐹‘0))
10		isphtpy2d.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (0[,]1)) → (1𝐻𝑠) = (𝐹‘1))
11	1, 2, 8, 9, 10	isphtpyd 25032	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248   ×_t ctx 23584  IIcii 24915  PHtpycphtpy 25014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-ii 24917  df-htpy 25016  df-phtpy 25017

This theorem is referenced by:  reparphti  25043  reparphtiOLD  25044  pcohtpylem  25066  pcorevlem  25073  txsconnlem  35225  cvxsconn  35228  cvmliftphtlem  35302