Theorem htpyid 25019

Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
htpyid.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyid.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
htpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		htpyid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		htpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
4		iitopon 24921	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	1, 5	cnmpt1st 23708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
7	1, 5, 6, 2	cnmpt21f 23712	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
8	3, 7	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
9		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝑋)
10		0elunit 13470	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		fveq2 6863	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑠))
12		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
13		fvex 6876	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑠) ∈ V
14	11, 12, 3, 13	ovmpo 7552	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
15	9, 10, 14	sylancl 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
16		1elunit 13471	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
17		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
18	11, 17, 3, 13	ovmpo 7552	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
19	9, 16, 18	sylancl 595	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
20	1, 2, 2, 8, 15, 19	ishtpyd 25017	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ∈ cmpo 7394  0cc0 11070  1c1 11071  [,]cicc 13349  TopOnctopon 22950   Cn ccn 23264   ×_t ctx 23600  IIcii 24917   Htpy chtpy 25009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-icc 13353  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cn 23267  df-tx 23602  df-ii 24919  df-htpy 25012

This theorem is referenced by:  phtpyid  25031