MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyid 24916
Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyid.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
htpyid.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
htpyid.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
htpyid (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem htpyid
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyid.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 htpyid.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyid.1 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
4 iitopon 24812 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
61, 5cnmpt1st 23585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐽))
71, 5, 6, 2cnmpt21f 23589 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
83, 7eqeltrid 2833 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
9 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 ∈ 𝑋)
10 0elunit 13479 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
11 fveq2 6897 . . . 4 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘ ))
12 eqidd 2729 . . . 4 (𝑦 = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘ ))
13 fvex 6910 . . . 4 (πΉβ€˜π‘ ) ∈ V
1411, 12, 3, 13ovmpo 7581 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺0) = (πΉβ€˜π‘ ))
159, 10, 14sylancl 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (𝑠𝐺0) = (πΉβ€˜π‘ ))
16 1elunit 13480 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
17 eqidd 2729 . . . 4 (𝑦 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘ ))
1811, 17, 3, 13ovmpo 7581 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺1) = (πΉβ€˜π‘ ))
199, 16, 18sylancl 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (𝑠𝐺1) = (πΉβ€˜π‘ ))
201, 2, 2, 8, 15, 19ishtpyd 24914 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11139  1c1 11140  [,]cicc 13360  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   Γ—t ctx 23477  IIcii 24808   Htpy chtpy 24906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cn 23144  df-tx 23479  df-ii 24810  df-htpy 24909
This theorem is referenced by:  phtpyid  24928
  Copyright terms: Public domain W3C validator