Theorem htpyid 24927

Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
htpyid.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyid.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
htpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		htpyid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		htpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
4		iitopon 24823	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	1, 5	cnmpt1st 23606	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
7	1, 5, 6, 2	cnmpt21f 23610	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
8	3, 7	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝑋)
10		0elunit 13486	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		fveq2 6876	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑠))
12		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
13		fvex 6889	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑠) ∈ V
14	11, 12, 3, 13	ovmpo 7567	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
15	9, 10, 14	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
16		1elunit 13487	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
17		eqidd 2736	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
18	11, 17, 3, 13	ovmpo 7567	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
19	9, 16, 18	sylancl 586	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
20	1, 2, 2, 8, 15, 19	ishtpyd 24925	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11129  1c1 11130  [,]cicc 13365  TopOnctopon 22848   Cn ccn 23162   ×_t ctx 23498  IIcii 24819   Htpy chtpy 24917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-icc 13369  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-cn 23165  df-tx 23500  df-ii 24821  df-htpy 24920

This theorem is referenced by:  phtpyid  24939