Theorem htpyid 25278

Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
htpyid.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyid.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
htpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem htpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		htpyid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		htpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
4		iitopon 25180	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	1, 5	cnmpt1st 23967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
7	1, 5, 6, 2	cnmpt21f 23971	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
8	3, 7	eqeltrid 2865	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝑋)
10		0elunit 13581	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		fveq2 6877	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑠))
12		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
13		fvex 6890	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑠) ∈ V
14	11, 12, 3, 13	ovmpo 7572	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
15	9, 10, 14	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
16		1elunit 13582	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
17		eqidd 2762	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
18	11, 17, 3, 13	ovmpo 7572	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
19	9, 16, 18	sylancl 598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
20	1, 2, 2, 8, 15, 19	ishtpyd 25276	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  0cc0 11181  1c1 11182  [,]cicc 13460  TopOnctopon 23208   Cn ccn 23522   ×_t ctx 23859  IIcii 25176   Htpy chtpy 25268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-icc 13464  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-top 23192  df-topon 23209  df-bases 23244  df-cn 23525  df-tx 23861  df-ii 25178  df-htpy 25271

This theorem is used by:  phtpyid  25290