Theorem htpyid 24916

Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
htpyid.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyid.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
htpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		htpyid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		htpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
4		iitopon 24812	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	1, 5	cnmpt1st 23585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
7	1, 5, 6, 2	cnmpt21f 23589	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
8	3, 7	eqeltrid 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝑋)
10		0elunit 13479	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		fveq2 6897	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑠))
12		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
13		fvex 6910	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑠) ∈ V
14	11, 12, 3, 13	ovmpo 7581	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
15	9, 10, 14	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
16		1elunit 13480	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
17		eqidd 2729	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
18	11, 17, 3, 13	ovmpo 7581	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
19	9, 16, 18	sylancl 585	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
20	1, 2, 2, 8, 15, 19	ishtpyd 24914	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  0cc0 11139  1c1 11140  [,]cicc 13360  TopOnctopon 22825   Cn ccn 23141   ×_t ctx 23477  IIcii 24808   Htpy chtpy 24906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-topgen 17425  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22862  df-cn 23144  df-tx 23479  df-ii 24810  df-htpy 24909

This theorem is referenced by:  phtpyid  24928