Theorem htpyid 24944

Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
htpyid.1	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
htpyid.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyid.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))

Assertion

Ref	Expression
htpyid	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyid

Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		htpyid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2		htpyid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3		htpyid.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥))
4		iitopon 24846	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
5	4	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
6	1, 5	cnmpt1st 23633	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
7	1, 5, 6, 2	cnmpt21f 23637	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
8	3, 7	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → 𝑠 ∈ 𝑋)
10		0elunit 13422	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
11		fveq2 6840	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑠))
12		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
13		fvex 6853	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝑠) ∈ V
14	11, 12, 3, 13	ovmpo 7527	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
15	9, 10, 14	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺0) = (𝐹‘𝑠))
16		1elunit 13423	. . 3 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
17		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 1 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑠))
18	11, 17, 3, 13	ovmpo 7527	. . 3 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
19	9, 16, 18	sylancl 587	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) → (𝑠𝐺1) = (𝐹‘𝑠))
20	1, 2, 2, 8, 15, 19	ishtpyd 24942	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∈ cmpo 7369  0cc0 11038  1c1 11039  [,]cicc 13301  TopOnctopon 22875   Cn ccn 23189   ×_t ctx 23525  IIcii 24842   Htpy chtpy 24934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-topgen 17406  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cn 23192  df-tx 23527  df-ii 24844  df-htpy 24937

This theorem is referenced by:  phtpyid  24956