MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyid 24847
Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyid.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
htpyid.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
htpyid.4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
htpyid (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝐾,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem htpyid
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyid.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
2 htpyid.4 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyid.1 . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
4 iitopon 24743 . . . . 5 II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1))
54a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ II ∈ (TopOnβ€˜(0[,]1)))
61, 5cnmpt1st 23516 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ π‘₯) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐽))
71, 5, 6, 2cnmpt21f 23520 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
83, 7eqeltrid 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 Γ—t II) Cn 𝐾))
9 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ 𝑠 ∈ 𝑋)
10 0elunit 13447 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
11 fveq2 6882 . . . 4 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘ ))
12 eqidd 2725 . . . 4 (𝑦 = 0 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘ ))
13 fvex 6895 . . . 4 (πΉβ€˜π‘ ) ∈ V
1411, 12, 3, 13ovmpo 7561 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺0) = (πΉβ€˜π‘ ))
159, 10, 14sylancl 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (𝑠𝐺0) = (πΉβ€˜π‘ ))
16 1elunit 13448 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
17 eqidd 2725 . . . 4 (𝑦 = 1 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘ ))
1811, 17, 3, 13ovmpo 7561 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) β†’ (𝑠𝐺1) = (πΉβ€˜π‘ ))
199, 16, 18sylancl 585 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝑋) β†’ (𝑠𝐺1) = (πΉβ€˜π‘ ))
201, 2, 2, 8, 15, 19ishtpyd 24845 1 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   ∈ cmpo 7404  0cc0 11107  1c1 11108  [,]cicc 13328  TopOnctopon 22756   Cn ccn 23072   Γ—t ctx 23408  IIcii 24739   Htpy chtpy 24837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-icc 13332  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-topgen 17394  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-bases 22793  df-cn 23075  df-tx 23410  df-ii 24741  df-htpy 24840
This theorem is referenced by:  phtpyid  24859
  Copyright terms: Public domain W3C validator