Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  htpyid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem htpyid 23589
 Description: A homotopy from a function to itself. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
htpyid.1 𝐺 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑥))
htpyid.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
htpyid.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Assertion
Ref Expression
htpyid (𝜑𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem htpyid
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 htpyid.2 . 2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 htpyid.4 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
3 htpyid.1 . . 3 𝐺 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑥))
4 iitopon 23491 . . . . 5 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
61, 5cnmpt1st 22280 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑥) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐽))
71, 5, 6, 2cnmpt21f 22284 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
83, 7eqeltrid 2920 . 2 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 ×t II) Cn 𝐾))
9 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑠𝑋) → 𝑠𝑋)
10 0elunit 12856 . . 3 0 ∈ (0[,]1)
11 fveq2 6661 . . . 4 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑠))
12 eqidd 2825 . . . 4 (𝑦 = 0 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑠))
13 fvex 6674 . . . 4 (𝐹𝑠) ∈ V
1411, 12, 3, 13ovmpo 7303 . . 3 ((𝑠𝑋 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺0) = (𝐹𝑠))
159, 10, 14sylancl 589 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐺0) = (𝐹𝑠))
16 1elunit 12857 . . 3 1 ∈ (0[,]1)
17 eqidd 2825 . . . 4 (𝑦 = 1 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑠))
1811, 17, 3, 13ovmpo 7303 . . 3 ((𝑠𝑋 ∧ 1 ∈ (0[,]1)) → (𝑠𝐺1) = (𝐹𝑠))
199, 16, 18sylancl 589 . 2 ((𝜑𝑠𝑋) → (𝑠𝐺1) = (𝐹𝑠))
201, 2, 2, 8, 15, 19ishtpyd 23587 1 (𝜑𝐺 ∈ (𝐹(𝐽 Htpy 𝐾)𝐹))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149   ∈ cmpo 7151  0cc0 10535  1c1 10536  [,]cicc 12738  TopOnctopon 21522   Cn ccn 21836   ×t ctx 22172  IIcii 23487   Htpy chtpy 23579 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-icc 12742  df-seq 13374  df-exp 13435  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-topgen 16717  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-top 21506  df-topon 21523  df-bases 21558  df-cn 21839  df-tx 22174  df-ii 23489  df-htpy 23582 This theorem is referenced by:  phtpyid  23601
 Copyright terms: Public domain W3C validator