Theorem catcisoi 49753

Description: A functor is an isomorphism of categories only if it is full and faithful, and is a bijection on the objects. Remark 3.28(2) in [Adamek] p. 34. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcisoi.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcisoi.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
catcisoi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
catcisoi.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
catcisoi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcisoi	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

Proof of Theorem catcisoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcisoi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		catcisoi.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		catcisoi.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		catcisoi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
6		catcisoi.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	6, 1, 3	isorcl2 49387	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
8	7	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3	elbasfv 17154	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑈 ∈ V)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
11	7	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12	2, 3, 4, 5, 10, 8, 11, 6	catciso 18047	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆)))
13	1, 12	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ∩ cin 3902  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  1^st c1st 7941  Basecbs 17148  Isociso 17682   Full cful 17840   Faith cfth 17841  CatCatccatc 18034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-hom 17213  df-cco 17214  df-cat 17603  df-cid 17604  df-sect 17683  df-inv 17684  df-iso 17685  df-func 17794  df-idfu 17795  df-cofu 17796  df-full 17842  df-fth 17843  df-catc 18035

This theorem is referenced by:  uobeq3  49755  fucoppcffth  49764  termfucterm  49897  uobeqterm  49899