Theorem catcisoi 50161

Description: A functor is an isomorphism of categories only if it is full and faithful, and is a bijection on the objects. Remark 3.28(2) in [Adamek] p. 34. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcisoi.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcisoi.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
catcisoi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
catcisoi.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
catcisoi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcisoi	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

Proof of Theorem catcisoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcisoi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		catcisoi.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		catcisoi.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		catcisoi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
6		catcisoi.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	6, 1, 3	isorcl2 49795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
8	7	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3	elbasfv 17276	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑈 ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
11	7	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12	2, 3, 4, 5, 10, 8, 11, 6	catciso 18169	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆)))
13	1, 12	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ∩ cin 3905  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  1^st c1st 7985  Basecbs 17270  Isociso 17804   Full cful 17962   Faith cfth 17963  CatCatccatc 18156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-hom 17335  df-cco 17336  df-cat 17725  df-cid 17726  df-sect 17805  df-inv 17806  df-iso 17807  df-func 17916  df-idfu 17917  df-cofu 17918  df-full 17964  df-fth 17965  df-catc 18157

This theorem is referenced by:  uobeq3  50163  fucoppcffth  50172  termfucterm  50305  uobeqterm  50307