Theorem catcisoi 50452

Description: A functor is an isomorphism of categories only if it is full and faithful, and is a bijection on the objects. Remark 3.28(2) in [Adamek] p. 34. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcisoi.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcisoi.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
catcisoi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
catcisoi.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
catcisoi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcisoi	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

Proof of Theorem catcisoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcisoi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		catcisoi.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		catcisoi.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		catcisoi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
6		catcisoi.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	6, 1, 3	isorcl2 50086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
8	7	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3	elbasfv 17373	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑈 ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
11	7	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12	2, 3, 4, 5, 10, 8, 11, 6	catciso 18266	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆)))
13	1, 12	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∩ cin 3898  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  1^st c1st 7988  Basecbs 17367  Isociso 17901   Full cful 18059   Faith cfth 18060  CatCatccatc 18253

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-hom 17432  df-cco 17433  df-cat 17822  df-cid 17823  df-sect 17902  df-inv 17903  df-iso 17904  df-func 18013  df-idfu 18014  df-cofu 18015  df-full 18061  df-fth 18062  df-catc 18254

This theorem is used by:  uobeq3  50454  fucoppcffth  50463  termfucterm  50596  uobeqterm  50598