Theorem catcisoi 50029

Description: A functor is an isomorphism of categories only if it is full and faithful, and is a bijection on the objects. Remark 3.28(2) in [Adamek] p. 34. (Contributed by Zhi Wang, 17-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
catcisoi.c	⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
catcisoi.r	⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
catcisoi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
catcisoi.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
catcisoi.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
catcisoi	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

Proof of Theorem catcisoi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcisoi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		catcisoi.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (CatCat‘𝑈)
3		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
4		catcisoi.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Base‘𝑋)
5		catcisoi.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝑌)
6		catcisoi.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
7	6, 1, 3	isorcl2 49663	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐶)))
8	7	simpld 499	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐶))
9	2, 3	elbasfv 17265	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑈 ∈ V)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ V)
11	7	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐶))
12	2, 3, 4, 5, 10, 8, 11, 6	catciso 18158	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆)))
13	1, 12	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝑋 Full 𝑌) ∩ (𝑋 Faith 𝑌)) ∧ (1st ‘𝐹):𝑅–1-1-onto→𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∩ cin 3906  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  1^st c1st 7972  Basecbs 17259  Isociso 17793   Full cful 17951   Faith cfth 17952  CatCatccatc 18145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-hom 17324  df-cco 17325  df-cat 17714  df-cid 17715  df-sect 17794  df-inv 17795  df-iso 17796  df-func 17905  df-idfu 17906  df-cofu 17907  df-full 17953  df-fth 17954  df-catc 18146

This theorem is referenced by:  uobeq3  50031  fucoppcffth  50040  termfucterm  50173  uobeqterm  50175