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Theorem xkopt 23603
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 22942 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 simpl 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 ∈ Top)
3 unipw 5452 . . . . . 6 𝒫 𝐴 = 𝐴
43eqcomi 2734 . . . . 5 𝐴 = 𝒫 𝐴
5 eqid 2725 . . . . 5 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}
6 eqid 2725 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
74, 5, 6xkoval 23535 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))))
81, 2, 7syl2an2 684 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))))
9 simpr 483 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
10 fconst6g 6786 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Top → (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top)
1110adantr 479 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top)
12 pttop 23530 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top) → (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top)
139, 11, 12syl2anc 582 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top)
14 elpwi 4611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
15 restdis 23126 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝑥) = 𝒫 𝑥)
1614, 15sylan2 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝑥) = 𝒫 𝑥)
1716adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝑥) = 𝒫 𝑥)
1817eleq1d 2810 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Comp))
19 discmp 23346 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Comp)
2018, 19bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp ↔ 𝑥 ∈ Fin))
2120rabbidva 3425 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin})
22 dfin5 3952 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin}
2321, 22eqtr4di 2783 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp} = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
24 eqidd 2726 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑅)
25 toptopon2 22864 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
26 cndis 23239 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅)) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = ( 𝑅m 𝐴))
2726ancoms 457 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = ( 𝑅m 𝐴))
2825, 27sylanb 579 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = ( 𝑅m 𝐴))
2928rabeqdv 3434 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
3023, 24, 29mpoeq123dv 7495 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))
3130rneqd 5940 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = ran (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))
32 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
3332rnmpo 7554 . . . . . 6 ran (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}}
3431, 33eqtrdi 2781 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}})
35 elmapi 8868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) → 𝑓:𝐴 𝑅)
36 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑣 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
3736imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))))
3837bibi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → (((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)) ↔ ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))))
39 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑅 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
4039imbi2d 339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))))
4140bibi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → (((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)) ↔ ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))))
42 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4342elin1d 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴)
4443elpwid 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘𝐴)
4544adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → 𝑘𝐴)
4645sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → 𝑥𝐴)
47 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → 𝑥𝑘)
4846, 472thd 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → (𝑥𝐴𝑥𝑘))
4948imbi1d 340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)))
50 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴 𝑅𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅)
5150ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴 𝑅 → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅))
5251adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅))
5352adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅))
54 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑘 → (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
5554adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
5653, 552thd 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)))
5738, 41, 49, 56ifbothda 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)))
5857ralbidv2 3163 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑘 (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
59 ffn 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴 𝑅𝑓 Fn 𝐴)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → 𝑓 Fn 𝐴)
61 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
6261elixp 8923 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
6362baib 534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn 𝐴 → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
65 ffun 6726 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴 𝑅 → Fun 𝑓)
66 fdm 6732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴 𝑅 → dom 𝑓 = 𝐴)
6766adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → dom 𝑓 = 𝐴)
6845, 67sseqtrrd 4018 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → 𝑘 ⊆ dom 𝑓)
69 funimass4 6962 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝑓𝑘 ⊆ dom 𝑓) → ((𝑓𝑘) ⊆ 𝑣 ↔ ∀𝑥𝑘 (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
7065, 68, 69syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → ((𝑓𝑘) ⊆ 𝑣 ↔ ∀𝑥𝑘 (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
7158, 64, 703bitr4d 310 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣))
7235, 71sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴)) → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣))
7372rabbi2dva 4216 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (( 𝑅m 𝐴) ∩ X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
74 elssuni 4941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣𝑅𝑣 𝑅)
7574ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑣 𝑅)
76 ssid 3999 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 𝑅
77 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → (𝑣 𝑅 ↔ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅))
78 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ( 𝑅 𝑅 ↔ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅))
7977, 78ifboth 4569 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣 𝑅 𝑅 𝑅) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅)
8075, 76, 79sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅)
8180ralrimivw 3139 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → ∀𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅)
82 ss2ixp 8929 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ X𝑥𝐴 𝑅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ X𝑥𝐴 𝑅)
84 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝐴𝑉)
85 uniexg 7746 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ V)
8685ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑅 ∈ V)
87 ixpconstg 8925 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉 𝑅 ∈ V) → X𝑥𝐴 𝑅 = ( 𝑅m 𝐴))
8884, 86, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 𝑅 = ( 𝑅m 𝐴))
8983, 88sseqtrd 4017 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ ( 𝑅m 𝐴))
90 sseqin2 4213 . . . . . . . . . . 11 (X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ ( 𝑅m 𝐴) ↔ (( 𝑅m 𝐴) ∩ X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) = X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))
9189, 90sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (( 𝑅m 𝐴) ∩ X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) = X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))
9273, 91eqtr3d 2767 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} = X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))
9310ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top)
9442elin2d 4197 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘 ∈ Fin)
95 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑣𝑅)
96 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = 𝑅
9796topopn 22852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Top → 𝑅𝑅)
9897ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅𝑅)
9995, 98ifcld 4576 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ∈ 𝑅)
100 fvconst2g 7214 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
101100ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
10299, 101eleqtrrd 2828 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ∈ ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥))
103 eldifn 4124 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝑘) → ¬ 𝑥𝑘)
104103iffalsed 4541 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝑘) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) = 𝑅)
105104adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) = 𝑅)
106 eldifi 4123 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝑘) → 𝑥𝐴)
107106, 101sylan2 591 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
108107unieqd 4922 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
109105, 108eqtr4d 2768 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) = ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥))
11084, 93, 94, 102, 109ptopn 23531 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
11192, 110eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
112 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} → (𝑥 ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↔ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
113111, 112syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} → 𝑥 ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
114113rexlimdvva 3201 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} → 𝑥 ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
115114abssdv 4061 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}} ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
11634, 115eqsstrd 4015 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
117 tgfiss 22938 . . . 4 (((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top ∧ ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))) → (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
11813, 116, 117syl2anc 582 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
1198, 118eqsstrd 4015 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
120 eqid 2725 . . . . . . . 8 (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
121120, 96ptuniconst 23546 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑅 ∈ Top) → ( 𝑅m 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
122121ancoms 457 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ( 𝑅m 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
12328, 122eqtrd 2765 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
124123oveq2d 7435 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
125 eqid 2725 . . . . . 6 (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
126125restid 17418 . . . . 5 ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
12713, 126syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
128124, 127eqtrd 2765 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
1294, 120xkoptsub 23602 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) ⊆ (𝑅ko 𝒫 𝐴))
1301, 2, 129syl2an2 684 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) ⊆ (𝑅ko 𝒫 𝐴))
131128, 130eqsstrrd 4016 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ⊆ (𝑅ko 𝒫 𝐴))
132119, 131eqssd 3994 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {cab 2702  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  Vcvv 3461  cdif 3941  cin 3943  wss 3944  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4909   × cxp 5676  dom cdm 5678  ran crn 5679  cima 5681  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  m cmap 8845  Xcixp 8916  Fincfn 8964  ficfi 9435  t crest 17405  topGenctg 17422  tcpt 17423  Topctop 22839  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172  Compccmp 23334  ko cxko 23509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-fin 8968  df-fi 9436  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cn 23175  df-cmp 23335  df-xko 23511
This theorem is referenced by:  tmdgsum  24043  tmdgsum2  24044  efmndtmd  24049  symgtgp  24054
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