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Theorem xkopt 23159
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
Proof of Theorem xkopt
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 22498 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 simpl 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ Top)
3 unipw 5451 . . . . . 6 βˆͺ 𝒫 𝐴 = 𝐴
43eqcomi 2742 . . . . 5 𝐴 = βˆͺ 𝒫 𝐴
5 eqid 2733 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
6 eqid 2733 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
74, 5, 6xkoval 23091 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
81, 2, 7syl2an2 685 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
9 simpr 486 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 fconst6g 6781 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Top β†’ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top)
1110adantr 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top)
12 pttop 23086 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top)
139, 11, 12syl2anc 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top)
14 elpwi 4610 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
15 restdis 22682 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) = 𝒫 π‘₯)
1614, 15sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) = 𝒫 π‘₯)
1716adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) = 𝒫 π‘₯)
1817eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp ↔ 𝒫 π‘₯ ∈ Comp))
19 discmp 22902 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ Fin ↔ 𝒫 π‘₯ ∈ Comp)
2018, 19bitr4di 289 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp ↔ π‘₯ ∈ Fin))
2120rabbidva 3440 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ Fin})
22 dfin5 3957 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ Fin}
2321, 22eqtr4di 2791 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
24 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = 𝑅)
25 toptopon2 22420 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
26 cndis 22795 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅)) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
2726ancoms 460 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
2825, 27sylanb 582 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
2928rabeqdv 3448 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
3023, 24, 29mpoeq123dv 7484 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
3130rneqd 5938 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = ran (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
32 eqid 2733 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
3332rnmpo 7542 . . . . . 6 ran (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}}
3431, 33eqtrdi 2789 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
35 elmapi 8843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅)
36 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
3736imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))))
3837bibi1d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))))
39 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
4039imbi2d 341 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))))
4140bibi1d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))))
42 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4342elin1d 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 𝐴)
4443elpwid 4612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
4544adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
4645sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ π‘˜)
4846, 472thd 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ π‘˜))
4948imbi1d 342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)))
50 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅)
5150ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅))
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅))
5352adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅))
54 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
5554adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
5653, 552thd 265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)))
5738, 41, 49, 56ifbothda 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)))
5857ralbidv2 3174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
59 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ 𝑓 Fn 𝐴)
6059adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ 𝑓 Fn 𝐴)
61 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
6261elixp 8898 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
6362baib 537 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn 𝐴 β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
65 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ Fun 𝑓)
66 fdm 6727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
6766adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
6845, 67sseqtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ π‘˜ βŠ† dom 𝑓)
69 funimass4 6957 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝑓 ∧ π‘˜ βŠ† dom 𝑓) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
7065, 68, 69syl2an2 685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
7158, 64, 703bitr4d 311 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
7235, 71sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴)) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
7372rabbi2dva 4218 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ ((βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∩ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
74 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝑅 β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅)
7574ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅)
76 ssid 4005 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑅
77 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅 ↔ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅))
78 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑅 ↔ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅))
7977, 78ifboth 4568 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑅) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅)
8075, 76, 79sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅)
8180ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅)
82 ss2ixp 8904 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅)
84 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
85 uniexg 7730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ V)
8685ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ V)
87 ixpconstg 8900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝑅 ∈ V) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅 = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
8884, 86, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅 = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
8983, 88sseqtrd 4023 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
90 sseqin2 4216 . . . . . . . . . . 11 (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ↔ ((βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∩ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))
9189, 90sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ ((βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∩ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))
9273, 91eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))
9310ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top)
9442elin2d 4200 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ ∈ Fin)
95 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ 𝑅)
96 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
9796topopn 22408 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ 𝑅)
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ 𝑅)
9995, 98ifcld 4575 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ∈ 𝑅)
100 fvconst2g 7203 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
101100ad4ant14 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
10299, 101eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ∈ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))
103 eldifn 4128 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜)
104103iffalsed 4540 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) = βˆͺ 𝑅)
105104adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) = βˆͺ 𝑅)
106 eldifi 4127 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
107106, 101sylan2 594 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
108107unieqd 4923 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑅)
109105, 108eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))
11084, 93, 94, 102, 109ptopn 23087 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
11192, 110eqeltrd 2834 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
112 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (π‘₯ ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ↔ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
113111, 112syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ π‘₯ ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
114113rexlimdvva 3212 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ π‘₯ ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
115114abssdv 4066 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
11634, 115eqsstrd 4021 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
117 tgfiss 22494 . . . 4 (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top ∧ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
11813, 116, 117syl2anc 585 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
1198, 118eqsstrd 4021 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
120 eqid 2733 . . . . . . . 8 (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))
121120, 96ptuniconst 23102 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
122121ancoms 460 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
12328, 122eqtrd 2773 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
124123oveq2d 7425 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
125 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))
126125restid 17379 . . . . 5 ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
12713, 126syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
128124, 127eqtrd 2773 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
1294, 120xkoptsub 23158 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) βŠ† (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴))
1301, 2, 129syl2an2 685 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) βŠ† (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴))
131128, 130eqsstrrd 4022 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) βŠ† (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴))
132119, 131eqssd 4000 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑m cmap 8820  Xcixp 8891  Fincfn 8939  ficfi 9405   β†Ύt crest 17366  topGenctg 17383  βˆtcpt 17384  Topctop 22395  TopOnctopon 22412   Cn ccn 22728  Compccmp 22890   ↑ko cxko 23065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-fi 9406  df-rest 17368  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cn 22731  df-cmp 22891  df-xko 23067
This theorem is referenced by:  tmdgsum  23599  tmdgsum2  23600  efmndtmd  23605  symgtgp  23610
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