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Theorem xkopt 23006
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑣 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 22345 . . . 4 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 simpl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 ∈ Top)
3 unipw 5407 . . . . . 6 𝒫 𝐴 = 𝐴
43eqcomi 2745 . . . . 5 𝐴 = 𝒫 𝐴
5 eqid 2736 . . . . 5 {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}
6 eqid 2736 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
74, 5, 6xkoval 22938 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))))
81, 2, 7syl2an2 684 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))))
9 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝐴𝑉)
10 fconst6g 6731 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Top → (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top)
12 pttop 22933 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top) → (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top)
139, 11, 12syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top)
14 elpwi 4567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
15 restdis 22529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑉𝑥𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝑥) = 𝒫 𝑥)
1614, 15sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝑥) = 𝒫 𝑥)
1716adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴t 𝑥) = 𝒫 𝑥)
1817eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Comp))
19 discmp 22749 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑥 ∈ Comp)
2018, 19bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp ↔ 𝑥 ∈ Fin))
2120rabbidva 3414 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin})
22 dfin5 3918 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin}
2321, 22eqtr4di 2794 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp} = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
24 eqidd 2737 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → 𝑅 = 𝑅)
25 toptopon2 22267 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅))
26 cndis 22642 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑉𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅)) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = ( 𝑅m 𝐴))
2726ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ (TopOn‘ 𝑅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = ( 𝑅m 𝐴))
2825, 27sylanb 581 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = ( 𝑅m 𝐴))
2928rabeqdv 3422 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
3023, 24, 29mpoeq123dv 7432 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))
3130rneqd 5893 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = ran (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))
32 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
3332rnmpo 7489 . . . . . 6 ran (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}}
3431, 33eqtrdi 2792 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) = {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}})
35 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) → 𝑓:𝐴 𝑅)
36 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑣 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
3736imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))))
3837bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → (((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)) ↔ ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))))
39 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝑅 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
4039imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))))
4140bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → (((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)) ↔ ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))))
42 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4342elin1d 4158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘 ∈ 𝒫 𝐴)
4443elpwid 4569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘𝐴)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → 𝑘𝐴)
4645sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → 𝑥𝐴)
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → 𝑥𝑘)
4846, 472thd 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → (𝑥𝐴𝑥𝑘))
4948imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ 𝑥𝑘) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)))
50 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴 𝑅𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅)
5150ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴 𝑅 → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅))
54 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝑘 → (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
5653, 552thd 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) ∧ ¬ 𝑥𝑘) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)))
5738, 41, 49, 56ifbothda 4524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → ((𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) ↔ (𝑥𝑘 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑣)))
5857ralbidv2 3170 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ ∀𝑥𝑘 (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
59 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴 𝑅𝑓 Fn 𝐴)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → 𝑓 Fn 𝐴)
61 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
6261elixp 8842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
6362baib 536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn 𝐴 → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)))
65 ffun 6671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴 𝑅 → Fun 𝑓)
66 fdm 6677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴 𝑅 → dom 𝑓 = 𝐴)
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → dom 𝑓 = 𝐴)
6845, 67sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → 𝑘 ⊆ dom 𝑓)
69 funimass4 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝑓𝑘 ⊆ dom 𝑓) → ((𝑓𝑘) ⊆ 𝑣 ↔ ∀𝑥𝑘 (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
7065, 68, 69syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → ((𝑓𝑘) ⊆ 𝑣 ↔ ∀𝑥𝑘 (𝑓𝑥) ∈ 𝑣))
7158, 64, 703bitr4d 310 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴 𝑅) → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣))
7235, 71sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴)) → (𝑓X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ↔ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣))
7372rabbi2dva 4177 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (( 𝑅m 𝐴) ∩ X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣})
74 elssuni 4898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣𝑅𝑣 𝑅)
7574ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑣 𝑅)
76 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 𝑅
77 sseq1 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → (𝑣 𝑅 ↔ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅))
78 sseq1 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 𝑅 = if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) → ( 𝑅 𝑅 ↔ if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅))
7977, 78ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣 𝑅 𝑅 𝑅) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅)
8075, 76, 79sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅)
8180ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → ∀𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅)
82 ss2ixp 8848 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ 𝑅X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ X𝑥𝐴 𝑅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ X𝑥𝐴 𝑅)
84 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝐴𝑉)
85 uniexg 7677 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Top → 𝑅 ∈ V)
8685ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑅 ∈ V)
87 ixpconstg 8844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴𝑉 𝑅 ∈ V) → X𝑥𝐴 𝑅 = ( 𝑅m 𝐴))
8884, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 𝑅 = ( 𝑅m 𝐴))
8983, 88sseqtrd 3984 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ ( 𝑅m 𝐴))
90 sseqin2 4175 . . . . . . . . . . 11 (X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ⊆ ( 𝑅m 𝐴) ↔ (( 𝑅m 𝐴) ∩ X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) = X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))
9189, 90sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (( 𝑅m 𝐴) ∩ X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅)) = X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))
9273, 91eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} = X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅))
9310ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (𝐴 × {𝑅}):𝐴⟶Top)
9442elin2d 4159 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → 𝑘 ∈ Fin)
95 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑣𝑅)
96 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅 = 𝑅
9796topopn 22255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Top → 𝑅𝑅)
9897ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅𝑅)
9995, 98ifcld 4532 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ∈ 𝑅)
100 fvconst2g 7151 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
101100ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
10299, 101eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥𝐴) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ∈ ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥))
103 eldifn 4087 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝑘) → ¬ 𝑥𝑘)
104103iffalsed 4497 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝑘) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) = 𝑅)
105104adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) = 𝑅)
106 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (𝐴𝑘) → 𝑥𝐴)
107106, 101sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
108107unieqd 4879 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
109105, 108eqtr4d 2779 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝑘)) → if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) = ((𝐴 × {𝑅})‘𝑥))
11084, 93, 94, 102, 109ptopn 22934 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → X𝑥𝐴 if(𝑥𝑘, 𝑣, 𝑅) ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
11192, 110eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
112 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} → (𝑥 ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↔ {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
113111, 112syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) ∧ (𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣𝑅)) → (𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} → 𝑥 ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
114113rexlimdvva 3205 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣} → 𝑥 ∈ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
115114abssdv 4025 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → {𝑥 ∣ ∃𝑘 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)∃𝑣𝑅 𝑥 = {𝑓 ∈ ( 𝑅m 𝐴) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}} ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
11634, 115eqsstrd 3982 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
117 tgfiss 22341 . . . 4 (((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top ∧ ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))) → (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
11813, 116, 117syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (topGen‘(fi‘ran (𝑘 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴t 𝑥) ∈ Comp}, 𝑣𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓𝑘) ⊆ 𝑣}))) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
1198, 118eqsstrd 3982 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) ⊆ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
120 eqid 2736 . . . . . . . 8 (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
121120, 96ptuniconst 22949 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑅 ∈ Top) → ( 𝑅m 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
122121ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ( 𝑅m 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
12328, 122eqtrd 2776 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
124123oveq2d 7373 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))))
125 eqid 2736 . . . . . 6 (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
126125restid 17315 . . . . 5 ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ∈ Top → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
12713, 126syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
128124, 127eqtrd 2776 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
1294, 120xkoptsub 23005 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) ⊆ (𝑅ko 𝒫 𝐴))
1301, 2, 129syl2an2 684 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → ((∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ↾t (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) ⊆ (𝑅ko 𝒫 𝐴))
131128, 130eqsstrrd 3983 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) ⊆ (𝑅ko 𝒫 𝐴))
132119, 131eqssd 3961 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴𝑉) → (𝑅ko 𝒫 𝐴) = (∏t‘(𝐴 × {𝑅})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  {cab 2713  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  m cmap 8765  Xcixp 8835  Fincfn 8883  ficfi 9346  t crest 17302  topGenctg 17319  tcpt 17320  Topctop 22242  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  Compccmp 22737  ko cxko 22912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-fi 9347  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cmp 22738  df-xko 22914
This theorem is referenced by:  tmdgsum  23446  tmdgsum2  23447  efmndtmd  23452  symgtgp  23457
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