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Theorem xkopt 22958
Description: The compact-open topology on a discrete set coincides with the product topology where all the factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
xkopt ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))

Proof of Theorem xkopt
Dummy variables 𝑓 π‘˜ 𝑣 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 distop 22297 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑉 β†’ 𝒫 𝐴 ∈ Top)
2 simpl 483 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ Top)
3 unipw 5405 . . . . . 6 βˆͺ 𝒫 𝐴 = 𝐴
43eqcomi 2746 . . . . 5 𝐴 = βˆͺ 𝒫 𝐴
5 eqid 2737 . . . . 5 {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}
6 eqid 2737 . . . . 5 (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
74, 5, 6xkoval 22890 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
81, 2, 7syl2an2 684 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))))
9 simpr 485 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
10 fconst6g 6728 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Top β†’ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top)
12 pttop 22885 . . . . 5 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top)
139, 11, 12syl2anc 584 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top)
14 elpwi 4565 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
15 restdis 22481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) = 𝒫 π‘₯)
1614, 15sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) = 𝒫 π‘₯)
1716adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) = 𝒫 π‘₯)
1817eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp ↔ 𝒫 π‘₯ ∈ Comp))
19 discmp 22701 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ Fin ↔ 𝒫 π‘₯ ∈ Comp)
2018, 19bitr4di 288 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴) β†’ ((𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp ↔ π‘₯ ∈ Fin))
2120rabbidva 3412 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ Fin})
22 dfin5 3916 . . . . . . . . 9 (𝒫 𝐴 ∩ Fin) = {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ π‘₯ ∈ Fin}
2321, 22eqtr4di 2795 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp} = (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
24 eqidd 2738 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 = 𝑅)
25 toptopon2 22219 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Top ↔ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅))
26 cndis 22594 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅)) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
2726ancoms 459 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝑅) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
2825, 27sylanb 581 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
2928rabeqdv 3420 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
3023, 24, 29mpoeq123dv 7426 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
3130rneqd 5891 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = ran (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
3332rnmpo 7483 . . . . . 6 ran (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin), 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}}
3431, 33eqtrdi 2793 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}})
35 elmapi 8745 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) β†’ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅)
36 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
3736imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))))
3837bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))))
39 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
4039imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))))
4140bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))))
42 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4342elin1d 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ ∈ 𝒫 𝐴)
4443elpwid 4567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ π‘˜ βŠ† 𝐴)
4645sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
47 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ π‘˜)
4846, 472thd 264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↔ π‘₯ ∈ π‘˜))
4948imbi1d 341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)))
50 ffvelcdm 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅)
5150ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅))
5352adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅))
54 pm2.21 123 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
5554adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
5653, 552thd 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ βˆͺ 𝑅) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)))
5738, 41, 49, 56ifbothda 4522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) ↔ (π‘₯ ∈ π‘˜ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣)))
5857ralbidv2 3168 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
59 ffn 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ 𝑓 Fn 𝐴)
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ 𝑓 Fn 𝐴)
61 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑓 ∈ V
6261elixp 8800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ (𝑓 Fn 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
6362baib 536 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 Fn 𝐴 β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
6460, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)))
65 ffun 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ Fun 𝑓)
66 fdm 6674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅 β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ dom 𝑓 = 𝐴)
6845, 67sseqtrrd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ π‘˜ βŠ† dom 𝑓)
69 funimass4 6904 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Fun 𝑓 ∧ π‘˜ βŠ† dom 𝑓) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
7065, 68, 69syl2an2 684 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ ((𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ π‘˜ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝑣))
7158, 64, 703bitr4d 310 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓:𝐴⟢βˆͺ 𝑅) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
7235, 71sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ 𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴)) β†’ (𝑓 ∈ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ↔ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣))
7372rabbi2dva 4175 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ ((βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∩ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣})
74 elssuni 4896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ∈ 𝑅 β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅)
7574ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅)
76 ssid 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15 βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑅
77 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅 ↔ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅))
78 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆͺ 𝑅 = if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) β†’ (βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑅 ↔ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅))
7977, 78ifboth 4523 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑣 βŠ† βˆͺ 𝑅 ∧ βˆͺ 𝑅 βŠ† βˆͺ 𝑅) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅)
8075, 76, 79sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅)
8180ralrimivw 3145 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅)
82 ss2ixp 8806 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† βˆͺ 𝑅 β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅)
84 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
85 uniexg 7669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ V)
8685ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ V)
87 ixpconstg 8802 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ βˆͺ 𝑅 ∈ V) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅 = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
8884, 86, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 βˆͺ 𝑅 = (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
8983, 88sseqtrd 3982 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴))
90 sseqin2 4173 . . . . . . . . . . 11 (Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) βŠ† (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ↔ ((βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∩ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))
9189, 90sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ ((βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∩ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))
9273, 91eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} = Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅))
9310ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ (𝐴 Γ— {𝑅}):𝐴⟢Top)
9442elin2d 4157 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ π‘˜ ∈ Fin)
95 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑣 ∈ 𝑅)
96 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ 𝑅 = βˆͺ 𝑅
9796topopn 22207 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Top β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ 𝑅)
9897ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆͺ 𝑅 ∈ 𝑅)
9995, 98ifcld 4530 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ∈ 𝑅)
100 fvconst2g 7147 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Top ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
101100ad4ant14 750 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
10299, 101eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ∈ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))
103 eldifn 4085 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ π‘˜)
104103iffalsed 4495 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) = βˆͺ 𝑅)
105104adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) = βˆͺ 𝑅)
106 eldifi 4084 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ 𝐴)
107106, 101sylan2 593 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
108107unieqd 4877 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = βˆͺ 𝑅)
109105, 108eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 βˆ– π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) = βˆͺ ((𝐴 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))
11084, 93, 94, 102, 109ptopn 22886 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐴 if(π‘₯ ∈ π‘˜, 𝑣, βˆͺ 𝑅) ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
11192, 110eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
112 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ (π‘₯ ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ↔ {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
113111, 112syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin) ∧ 𝑣 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ π‘₯ ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
114113rexlimdvva 3203 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣} β†’ π‘₯ ∈ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
115114abssdv 4023 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin)βˆƒπ‘£ ∈ 𝑅 π‘₯ = {𝑓 ∈ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}} βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
11634, 115eqsstrd 3980 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
117 tgfiss 22293 . . . 4 (((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top ∧ ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
11813, 116, 117syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (topGenβ€˜(fiβ€˜ran (π‘˜ ∈ {π‘₯ ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝒫 𝐴 β†Ύt π‘₯) ∈ Comp}, 𝑣 ∈ 𝑅 ↦ {𝑓 ∈ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) ∣ (𝑓 β€œ π‘˜) βŠ† 𝑣}))) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
1198, 118eqsstrd 3980 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) βŠ† (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
120 eqid 2737 . . . . . . . 8 (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))
121120, 96ptuniconst 22901 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
122121ancoms 459 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (βˆͺ 𝑅 ↑m 𝐴) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
12328, 122eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝒫 𝐴 Cn 𝑅) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
124123oveq2d 7367 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))))
125 eqid 2737 . . . . . 6 βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) = βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))
126125restid 17275 . . . . 5 ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) ∈ Top β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
12713, 126syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt βˆͺ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅}))) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
128124, 127eqtrd 2777 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
1294, 120xkoptsub 22957 . . . 4 ((𝒫 𝐴 ∈ Top ∧ 𝑅 ∈ Top) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) βŠ† (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴))
1301, 2, 129syl2an2 684 . . 3 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ ((∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) β†Ύt (𝒫 𝐴 Cn 𝑅)) βŠ† (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴))
131128, 130eqsstrrd 3981 . 2 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})) βŠ† (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴))
132119, 131eqssd 3959 1 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 ↑ko 𝒫 𝐴) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝑅})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2714  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3405  Vcvv 3443   βˆ– cdif 3905   ∩ cin 3907   βŠ† wss 3908  ifcif 4484  π’« cpw 4558  {csn 4584  βˆͺ cuni 4863   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  ran crn 5632   β€œ cima 5634  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  βŸΆwf 6489  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   ↑m cmap 8723  Xcixp 8793  Fincfn 8841  ficfi 9304   β†Ύt crest 17262  topGenctg 17279  βˆtcpt 17280  Topctop 22194  TopOnctopon 22211   Cn ccn 22527  Compccmp 22689   ↑ko cxko 22864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-fin 8845  df-fi 9305  df-rest 17264  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-top 22195  df-topon 22212  df-bases 22248  df-cn 22530  df-cmp 22690  df-xko 22866
This theorem is referenced by:  tmdgsum  23398  tmdgsum2  23399  efmndtmd  23404  symgtgp  23409
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