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Theorem ovnlecvr2 45004
Description: Given a subset of multidimensional reals and a set of half-open intervals that covers it, the Lebesgue outer measure of the set is bounded by the generalized sum of the pre-measure of the half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ovnlecvr2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
ovnlecvr2.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
ovnlecvr2.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
ovnlecvr2.s (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
ovnlecvr2.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
Assertion
Ref Expression
ovnlecvr2 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐷,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐢(π‘₯,𝑗)   𝐷(π‘₯,𝑗)   𝐿(π‘₯,𝑗,π‘˜,π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem ovnlecvr2
Dummy variables 𝑖 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6862 . . . . . 6 (𝑋 = βˆ… β†’ (voln*β€˜π‘‹) = (voln*β€˜βˆ…))
21fveq1d 6864 . . . . 5 (𝑋 = βˆ… β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜π΄))
32adantl 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) = ((voln*β€˜βˆ…)β€˜π΄))
4 ovnlecvr2.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
54adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
6 1nn 12188 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ β„•
7 ne0i 4314 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ β„• β†’ β„• β‰  βˆ…)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 β„• β‰  βˆ…
98a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
10 iunconst 4983 . . . . . . . . 9 (β„• β‰  βˆ… β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {βˆ…} = {βˆ…})
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {βˆ…} = {βˆ…})
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {βˆ…} = {βˆ…})
13 ixpeq1 8868 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
14 ixp0x 8886 . . . . . . . . . . . 12 Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = {βˆ…}
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = {βˆ…})
1613, 15eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = {βˆ…})
1716adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑋 = βˆ… ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = {βˆ…})
1817iuneq2dv 4998 . . . . . . . 8 (𝑋 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {βˆ…})
1918adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {βˆ…})
20 reex 11166 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
21 mapdm0 8802 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…}
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m βˆ…) = {βˆ…})
2412, 19, 233eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (ℝ ↑m βˆ…))
255, 24sseqtrd 4002 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m βˆ…))
2625ovn0val 44944 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜βˆ…)β€˜π΄) = 0)
273, 26eqtrd 2771 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) = 0)
28 nfv 1917 . . . . 5 β„²π‘—πœ‘
29 nnex 12183 . . . . . 6 β„• ∈ V
3029a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
31 icossicc 13378 . . . . . 6 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
32 ovnlecvr2.l . . . . . . 7 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
33 ovnlecvr2.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
3433adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
35 ovnlecvr2.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
3635ffvelcdmda 7055 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
37 elmapi 8809 . . . . . . . 8 ((πΆβ€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
39 ovnlecvr2.d . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
4039ffvelcdmda 7055 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
41 elmapi 8809 . . . . . . . 8 ((π·β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
4240, 41syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
4332, 34, 38, 42hoidmvcl 44976 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,)+∞))
4431, 43sselid 3960 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)) ∈ (0[,]+∞))
4528, 30, 44sge0ge0mpt 44832 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
4645adantr 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
4727, 46eqbrtrd 5147 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
48 simpl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ πœ‘)
49 neqne 2947 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = βˆ… β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
5049adantl 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
5133adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
52 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
5338ffvelcdmda 7055 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5442ffvelcdmda 7055 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5554rexrd 11229 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
56 icossre 13370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) β†’ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† ℝ)
5753, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† ℝ)
5857ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† ℝ)
59 ss2ixp 8870 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† ℝ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ)
6120a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
62 ixpconstg 8866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ℝ ∈ V) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ = (ℝ ↑m 𝑋))
6333, 61, 62syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ = (ℝ ↑m 𝑋))
6463adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ℝ = (ℝ ↑m 𝑋))
6560, 64sseqtrd 4002 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
6665ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
67 iunss 5025 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
6866, 67sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
694, 68sstrd 3972 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
7069adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† (ℝ ↑m 𝑋))
71 eqid 2731 . . . . 5 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}
7251, 52, 70, 71ovnn0val 44945 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) = inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}, ℝ*, < ))
73 ssrab2 4057 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} βŠ† ℝ*
7473a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} βŠ† ℝ*)
7528, 30, 44sge0xrclmpt 44822 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
7675adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ*)
77 opelxpi 5690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ))
7853, 54, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩ ∈ (ℝ Γ— ℝ))
7978fmpttd 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
8020, 20xpex 7707 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ Γ— ℝ) ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (ℝ Γ— ℝ) ∈ V)
82 elmapg 8800 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℝ Γ— ℝ) ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ)))
8381, 34, 82syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ)))
8479, 83mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) ∈ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
8584fmpttd 7083 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)):β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋))
86 ovexd 7412 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ∈ V)
87 elmapg 8800 . . . . . . . . . . 11 ((((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↔ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)):β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋)))
8886, 30, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↔ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)):β„•βŸΆ((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋)))
8985, 88mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
9089adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•))
91 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
92 mptexg 7191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) ∈ V)
9333, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) ∈ V)
9493adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) ∈ V)
95 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
9695fvmpt2 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑗 ∈ β„• ∧ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) ∈ V) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
9791, 94, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
9897coeq2d 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—)) = ([,) ∘ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)))
9998fveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘˜))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘˜))
10179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩):π‘‹βŸΆ(ℝ Γ— ℝ))
102 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
103101, 102fvovco 43568 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘˜) = ((1st β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜))))
104 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
105 opex 5441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩ ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩ ∈ V)
107 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)
108107fvmpt2 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘˜ ∈ 𝑋 ∧ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩ ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜) = ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)
109104, 106, 108syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜) = ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)
110109fveq2d 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜)) = (1st β€˜βŸ¨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
111 fvex 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ V
112 fvex 6875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ V
113 op1stg 7953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ V ∧ ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜) ∈ V) β†’ (1st β€˜βŸ¨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
114111, 112, 113mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1st β€˜βŸ¨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜βŸ¨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
116110, 115eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1st β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜)) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
117109fveq2d 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜)) = (2nd β€˜βŸ¨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
118111, 112op2nd 7950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2nd β€˜βŸ¨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜βŸ¨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
120117, 119eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (2nd β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜)) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
121116, 120oveq12d 7395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((1st β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜))) = (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
122121adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((1st β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜))[,)(2nd β€˜((π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)β€˜π‘˜))) = (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
123100, 103, 1223eqtrrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
124123ixpeq2dva 8872 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
125124iuneq2dv 4998 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
1264, 125sseqtrd 4002 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
127126adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
128 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))))
12951adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
13052adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
13138adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
13242adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘—):π‘‹βŸΆβ„)
13332, 129, 130, 131, 132hoidmvn0val 44978 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
134133mpteq2dva 5225 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
135134fveq2d 6866 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))))
136123eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
137136fveq2d 6866 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
138137prodeq2dv 15832 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
139138mpteq2dva 5225 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))))
140139fveq2d 6866 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))))
141140adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))))
142128, 135, 1413eqtr4d 2781 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
143127, 142jca 512 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
144 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗𝑖
145 nfmpt1 5233 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
146144, 145nfeq 2915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑗 𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
147 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜π‘–
148 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜β„•
149 nfmpt1 5233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜(π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)
150148, 149nfmpt 5232 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
151147, 150nfeq 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 β„²π‘˜ 𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))
152 fveq1 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ (π‘–β€˜π‘—) = ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))
153152coeq2d 5838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ ([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—)) = ([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—)))
154153fveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
156151, 155ixpeq2d 43431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
157156adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
158146, 157iuneq2df 43409 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))
159158sseq2d 3994 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ↔ 𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
160 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘˜ 𝑗 ∈ β„•
161151, 160nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘˜(𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∧ 𝑗 ∈ β„•)
162154fveq2d 6866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
163162a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 β†’ (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
165161, 164ralrimi 3251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
166165prodeq2d 15831 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))
167146, 166mpteq2da 5223 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))
168167fveq2d 6866 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))
169168eqeq2d 2742 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
170159, 169anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
171170rspcev 3595 . . . . . . . 8 (((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩)) ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ⟨((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜), ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)⟩))β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
17290, 143, 171syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
17376, 172jca 512 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
174 eqeq1 2735 . . . . . . . . 9 (𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) β†’ (𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))) ↔ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))))
175174anbi2d 629 . . . . . . . 8 (𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) β†’ ((𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ (𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
176175rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜))))) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
177176elrab 3663 . . . . . 6 ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} ↔ ((Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) ∈ ℝ* ∧ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))))
178173, 177sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))})
179 infxrlb 13278 . . . . 5 (({𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))} βŠ† ℝ* ∧ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))) ∈ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}) β†’ inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}, ℝ*, < ) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
18074, 178, 179syl2anc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ inf({𝑧 ∈ ℝ* ∣ βˆƒπ‘– ∈ (((ℝ Γ— ℝ) ↑m 𝑋) ↑m β„•)(𝐴 βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜) ∧ 𝑧 = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜(([,) ∘ (π‘–β€˜π‘—))β€˜π‘˜)))))}, ℝ*, < ) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
18172, 180eqbrtrd 5147 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
18248, 50, 181syl2anc 584 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑋 = βˆ…) β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
18347, 182pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ ((voln*β€˜π‘‹)β€˜π΄) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3418  Vcvv 3459   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302  ifcif 4506  {csn 4606  βŸ¨cop 4612  βˆͺ ciun 4974   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208   Γ— cxp 5651   ∘ ccom 5657  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ∈ cmpo 7379  1st c1st 7939  2nd c2nd 7940   ↑m cmap 8787  Xcixp 8857  Fincfn 8905  infcinf 9401  β„cr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  +∞cpnf 11210  β„*cxr 11212   < clt 11213   ≀ cle 11214  β„•cn 12177  [,)cico 13291  [,]cicc 13292  βˆcprod 15814  volcvol 24879  Ξ£^csumge0 44756  voln*covoln 44930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-ixp 8858  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-fi 9371  df-sup 9402  df-inf 9403  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-q 12898  df-rp 12940  df-xneg 13057  df-xadd 13058  df-xmul 13059  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-fl 13722  df-seq 13932  df-exp 13993  df-hash 14256  df-cj 15011  df-re 15012  df-im 15013  df-sqrt 15147  df-abs 15148  df-clim 15397  df-rlim 15398  df-sum 15598  df-prod 15815  df-rest 17333  df-topgen 17354  df-psmet 20840  df-xmet 20841  df-met 20842  df-bl 20843  df-mopn 20844  df-top 22295  df-topon 22312  df-bases 22348  df-cmp 22790  df-ovol 24880  df-vol 24881  df-sumge0 44757  df-ovoln 44931
This theorem is referenced by:  hspmbllem2  45021
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