MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsbas 17440
Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsbas.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pwsbas ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem pwsbas
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsbas.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2726 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17439 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
43fveq2d 6888 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
5 eqid 2726 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
6 fvexd 6899 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
7 simpr 484 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
8 snex 5424 . . . . 5 {𝑅} ∈ V
9 xpexg 7733 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {𝑅} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
107, 8, 9sylancl 585 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) ∈ V)
11 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
12 snnzg 4773 . . . . . 6 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ {𝑅} β‰  βˆ…)
14 dmxp 5921 . . . . 5 ({𝑅} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ dom (𝐼 Γ— {𝑅}) = 𝐼)
165, 6, 10, 11, 15prdsbas 17410 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)))
17 fvconst2g 7198 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
1817fveq2d 6888 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘…))
1918ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘…))
2019adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘…))
21 ixpeq2 8904 . . . 4 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜π‘…) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
2220, 21syl 17 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
2316, 22eqtrd 2766 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…))
24 fvex 6897 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
25 ixpconstg 8899 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
267, 24, 25sylancl 585 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
27 pwsbas.f . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2827oveq1i 7414 . . 3 (𝐡 ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)
2926, 28eqtr4di 2784 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜π‘…) = (𝐡 ↑m 𝐼))
304, 23, 293eqtrrd 2771 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {csn 4623   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  Xcixp 8890  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  Xscprds 17398   ↑s cpws 17399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-prds 17400  df-pws 17402
This theorem is referenced by:  pwselbasb  17441  pwssnf1o  17451  pwsdiagmhm  18754  pwsco1rhm  20402  pwsco2rhm  20403  frlmbas  21646  frlmsubgval  21656  psrgrp  21855  evls1val  22190  evls1rhmlem  22191  evl1val  22199  repwsmet  37213  rrnequiv  37214  mhphf2  41708  pwslnmlem0  42392
  Copyright terms: Public domain W3C validator