Theorem pwsbas 17534

Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsbas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem pwsbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17533	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4	3	fveq2d 6911	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6		fvexd 6922	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		snex 5442	. . . . 5 ⊢ {𝑅} ∈ V
9		xpexg 7769	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
11		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12		snnzg 4779	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
14		dmxp 5942	. . . . 5 ⊢ ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
16	5, 6, 10, 11, 15	prdsbas 17504	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)))
17		fvconst2g 7222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
18	17	fveq2d 6911	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
19	18	ralrimiva 3144	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
21		ixpeq2 8950	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
23	16, 22	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
24		fvex 6920	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
25		ixpconstg 8945	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
26	7, 24, 25	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
27		pwsbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
28	27	oveq1i 7441	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)
29	26, 28	eqtr4di 2793	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = (𝐵 ↑m 𝐼))
30	4, 23, 29	3eqtrrd 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  Vcvv 3478  ∅c0 4339  {csn 4631   × cxp 5687  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Xcixp 8936  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  X_scprds 17492   ↑_s cpws 17493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-pws 17496

This theorem is referenced by:  pwselbasb  17535  pwssnf1o  17545  pwsdiagmhm  18857  pwsco1rhm  20519  pwsco2rhm  20520  frlmbas  21793  frlmsubgval  21803  psrgrp  21994  evls1val  22340  evls1rhmlem  22341  evl1val  22349  repwsmet  37821  rrnequiv  37822  aks6d1c2lem4  42109  aks6d1c6lem2  42153  psrmnd  42532  mhphf2  42585  pwslnmlem0  43080