Theorem pwsbas 17388

Description: Base set of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsbas.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsbas.f	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsbas	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))

Proof of Theorem pwsbas

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsbas.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17387	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4	3	fveq2d 6826	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
8		snex 5374	. . . . 5 ⊢ {𝑅} ∈ V
9		xpexg 7683	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ {𝑅} ∈ V) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) ∈ V)
11		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12		snnzg 4727	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → {𝑅} ≠ ∅)
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → {𝑅} ≠ ∅)
14		dmxp 5869	. . . . 5 ⊢ ({𝑅} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → dom (𝐼 × {𝑅}) = 𝐼)
16	5, 6, 10, 11, 15	prdsbas 17358	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)))
17		fvconst2g 7136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
18	17	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
19	18	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
20	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
21		ixpeq2 8835	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (Base‘𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
22	20, 21	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
23	16, 22	eqtrd 2766	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅))
24		fvex 6835	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
25		ixpconstg 8830	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑊 ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
26	7, 24, 25	sylancl 586	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
27		pwsbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
28	27	oveq1i 7356	. . 3 ⊢ (𝐵 ↑m 𝐼) = ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)
29	26, 28	eqtr4di 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘𝑅) = (𝐵 ↑m 𝐼))
30	4, 23, 29	3eqtrrd 2771	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436  ∅c0 4283  {csn 4576   × cxp 5614  dom cdm 5616  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Xcixp 8821  Basecbs 17117  Scalarcsca 17161  X_scprds 17346   ↑_s cpws 17347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-prds 17348  df-pws 17350

This theorem is referenced by:  pwselbasb  17389  pwssnf1o  17399  pwsdiagmhm  18736  pwsco1rhm  20415  pwsco2rhm  20416  frlmbas  21690  frlmsubgval  21700  psrgrp  21891  evls1val  22233  evls1rhmlem  22234  evl1val  22242  repwsmet  37873  rrnequiv  37874  aks6d1c2lem4  42159  aks6d1c6lem2  42203  psrmnd  42577  mhphf2  42630  pwslnmlem0  43123