MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmip 21137
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmphl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
frlmip ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯   𝑓,𝐼,𝑔,π‘₯   𝑅,𝑓,𝑔,π‘₯   𝑓,𝑉,𝑔,π‘₯   𝑓,π‘Š,𝑔,π‘₯
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑓,𝑔)   π‘Œ(π‘₯,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem frlmip
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
42, 3frlmpws 21109 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
54ancoms 459 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
6 frlmphl.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
76ressid 17085 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
8 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
96eqimssi 4000 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
118, 10srasca 20599 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
127, 11eqtr3d 2779 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
1312oveq1d 7366 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
1413adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
15 fvex 6852 . . . . . . . . 9 ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ V
16 rlmval 20613 . . . . . . . . . . . 12 (ringLModβ€˜π‘…) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜(Baseβ€˜π‘…))
176fveq2i 6842 . . . . . . . . . . . 12 ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜(Baseβ€˜π‘…))
1816, 17eqtr4i 2768 . . . . . . . . . . 11 (ringLModβ€˜π‘…) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)
1918oveq1i 7361 . . . . . . . . . 10 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = (((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ↑s 𝐼)
20 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
2119, 20pwsval 17328 . . . . . . . . 9 ((((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2215, 21mpan 688 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2414, 23eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
251fveq2i 6842 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2724, 26oveq12d 7369 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
285, 27eqtr4d 2780 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
291, 28eqtrid 2789 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
3029fveq2d 6843 . 2 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Œ) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))))
31 fvex 6852 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
32 eqid 2737 . . . . 5 ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)) = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))
33 eqid 2737 . . . . 5 (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
3432, 33ressip 17186 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))))
3531, 34ax-mp 5 . . 3 (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
36 eqid 2737 . . . . 5 (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))
37 simpr 485 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
38 snex 5386 . . . . . . 7 {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} ∈ V
39 xpexg 7676 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
4038, 39mpan2 689 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
4140adantr 481 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
42 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
4315snnz 4735 . . . . . 6 {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} β‰  βˆ…
44 dmxp 5882 . . . . . 6 ({((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) = 𝐼)
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ dom (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) = 𝐼)
4636, 37, 41, 42, 45, 33prdsip 17303 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))))
4736, 37, 41, 42, 45prdsbas 17299 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)))
48 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
499a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5048, 49srabase 20593 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
516a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5215fvconst2 7149 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
5352fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
5450, 51, 533eqtr4rd 2788 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = 𝐡)
5554adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = 𝐡)
5655ixpeq2dva 8808 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡)
576fvexi 6853 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
58 ixpconstg 8802 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
5957, 58mpan2 689 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
6059adantr 481 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
6147, 56, 603eqtrd 2781 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝐡 ↑m 𝐼))
62 frlmphl.t . . . . . . . . . 10 Β· = (.rβ€˜π‘…)
6352, 49sraip 20603 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)))
6462, 63eqtr2id 2790 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = Β· )
6564oveqd 7368 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
6665mpteq2ia 5206 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
6766oveq2i 7362 . . . . . 6 (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))))
6961, 61, 68mpoeq123dv 7426 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7046, 69eqtrd 2777 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7135, 70eqtr3id 2791 . 2 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7230, 71eqtr2d 2778 1 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  Vcvv 3443   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7351   ∈ cmpo 7353   ↑m cmap 8723  Xcixp 8793  Basecbs 17043   β†Ύs cress 17072  .rcmulr 17094  Scalarcsca 17096  Β·π‘–cip 17098   Ξ£g cgsu 17282  Xscprds 17287   ↑s cpws 17288  subringAlg csra 20582  ringLModcrglmod 20583   freeLMod cfrlm 21105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-hom 17117  df-cco 17118  df-prds 17289  df-pws 17291  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-dsmm 21091  df-frlm 21106
This theorem is referenced by:  frlmipval  21138  frlmphl  21140
  Copyright terms: Public domain W3C validator