MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmip Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmip 21643
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmphl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
frlmip ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯   𝑓,𝐼,𝑔,π‘₯   𝑅,𝑓,𝑔,π‘₯   𝑓,𝑉,𝑔,π‘₯   𝑓,π‘Š,𝑔,π‘₯
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑓,𝑔)   π‘Œ(π‘₯,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem frlmip
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2731 . . . . . . 7 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 eqid 2731 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
42, 3frlmpws 21615 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
54ancoms 458 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
6 frlmphl.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
76ressid 17196 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
8 eqidd 2732 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
96eqimssi 4042 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
118, 10srasca 21032 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
127, 11eqtr3d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
1312oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
1413adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
15 fvex 6904 . . . . . . . . 9 ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ V
16 rlmval 21047 . . . . . . . . . . . 12 (ringLModβ€˜π‘…) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜(Baseβ€˜π‘…))
176fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜(Baseβ€˜π‘…))
1816, 17eqtr4i 2762 . . . . . . . . . . 11 (ringLModβ€˜π‘…) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)
1918oveq1i 7422 . . . . . . . . . 10 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = (((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ↑s 𝐼)
20 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
2119, 20pwsval 17439 . . . . . . . . 9 ((((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2215, 21mpan 687 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2322adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2414, 23eqtr4d 2774 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
251fveq2i 6894 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2724, 26oveq12d 7430 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
285, 27eqtr4d 2774 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
291, 28eqtrid 2783 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
3029fveq2d 6895 . 2 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Œ) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))))
31 fvex 6904 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
32 eqid 2731 . . . . 5 ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)) = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))
33 eqid 2731 . . . . 5 (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
3432, 33ressip 17297 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))))
3531, 34ax-mp 5 . . 3 (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
36 eqid 2731 . . . . 5 (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))
37 simpr 484 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
38 snex 5431 . . . . . . 7 {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} ∈ V
39 xpexg 7741 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
4038, 39mpan2 688 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
42 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
4315snnz 4780 . . . . . 6 {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} β‰  βˆ…
44 dmxp 5928 . . . . . 6 ({((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) = 𝐼)
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ dom (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) = 𝐼)
4636, 37, 41, 42, 45, 33prdsip 17414 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))))
4736, 37, 41, 42, 45prdsbas 17410 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)))
48 eqidd 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
499a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5048, 49srabase 21026 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
516a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5215fvconst2 7207 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
5352fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
5450, 51, 533eqtr4rd 2782 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = 𝐡)
5554adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = 𝐡)
5655ixpeq2dva 8912 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡)
576fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
58 ixpconstg 8906 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
5957, 58mpan2 688 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
6059adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
6147, 56, 603eqtrd 2775 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝐡 ↑m 𝐼))
62 frlmphl.t . . . . . . . . . 10 Β· = (.rβ€˜π‘…)
6352, 49sraip 21036 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)))
6462, 63eqtr2id 2784 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = Β· )
6564oveqd 7429 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
6665mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
6766oveq2i 7423 . . . . . 6 (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))))
6961, 61, 68mpoeq123dv 7487 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7046, 69eqtrd 2771 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7135, 70eqtr3id 2785 . 2 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7230, 71eqtr2d 2772 1 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   ↑m cmap 8826  Xcixp 8897  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207  Β·π‘–cip 17209   Ξ£g cgsu 17393  Xscprds 17398   ↑s cpws 17399  subringAlg csra 21015  ringLModcrglmod 21016   freeLMod cfrlm 21611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-prds 17400  df-pws 17402  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-dsmm 21597  df-frlm 21612
This theorem is referenced by:  frlmipval  21644  frlmphl  21646
  Copyright terms: Public domain W3C validator