MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frlmip Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem frlmip 21325
Description: The inner product of a free module. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmphl.y π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmphl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
frlmphl.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
frlmip ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑔,π‘₯   𝑓,𝐼,𝑔,π‘₯   𝑅,𝑓,𝑔,π‘₯   𝑓,𝑉,𝑔,π‘₯   𝑓,π‘Š,𝑔,π‘₯
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯,𝑓,𝑔)   π‘Œ(π‘₯,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem frlmip
StepHypRef Expression
1 frlmphl.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 freeLMod 𝐼)
2 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
42, 3frlmpws 21297 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
54ancoms 460 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
6 frlmphl.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
76ressid 17186 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = 𝑅)
8 eqidd 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
96eqimssi 4042 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)
109a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
118, 10srasca 20791 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅 β†Ύs 𝐡) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
127, 11eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
1312oveq1d 7421 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
1413adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
15 fvex 6902 . . . . . . . . 9 ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ V
16 rlmval 20806 . . . . . . . . . . . 12 (ringLModβ€˜π‘…) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜(Baseβ€˜π‘…))
176fveq2i 6892 . . . . . . . . . . . 12 ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜(Baseβ€˜π‘…))
1816, 17eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . 11 (ringLModβ€˜π‘…) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)
1918oveq1i 7416 . . . . . . . . . 10 ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = (((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ↑s 𝐼)
20 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
2119, 20pwsval 17429 . . . . . . . . 9 ((((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2215, 21mpan 689 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
2414, 23eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = ((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼))
251fveq2i 6892 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
2625a1i 11 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2724, 26oveq12d 7424 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)) = (((ringLModβ€˜π‘…) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
285, 27eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
291, 28eqtrid 2785 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
3029fveq2d 6893 . 2 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜π‘Œ) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))))
31 fvex 6902 . . . 4 (Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V
32 eqid 2733 . . . . 5 ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)) = ((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))
33 eqid 2733 . . . . 5 (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
3432, 33ressip 17287 . . . 4 ((Baseβ€˜π‘Œ) ∈ V β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))))
3531, 34ax-mp 5 . . 3 (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ)))
36 eqid 2733 . . . . 5 (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) = (𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))
37 simpr 486 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
38 snex 5431 . . . . . . 7 {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} ∈ V
39 xpexg 7734 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} ∈ V) β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
4038, 39mpan2 690 . . . . . 6 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
4140adantr 482 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) ∈ V)
42 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})))
4315snnz 4780 . . . . . 6 {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} β‰  βˆ…
44 dmxp 5927 . . . . . 6 ({((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)} β‰  βˆ… β†’ dom (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) = 𝐼)
4543, 44mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ dom (𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}) = 𝐼)
4636, 37, 41, 42, 45, 33prdsip 17404 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))))
4736, 37, 41, 42, 45prdsbas 17400 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)))
48 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
499a1i 11 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐡 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
5048, 49srabase 20785 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
516a1i 11 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…))
5215fvconst2 7202 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯) = ((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅))
5352fveq2d 6893 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = (Baseβ€˜((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)))
5450, 51, 533eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = 𝐡)
5554adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = 𝐡)
5655ixpeq2dva 8903 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 (Baseβ€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡)
576fvexi 6903 . . . . . . . 8 𝐡 ∈ V
58 ixpconstg 8897 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝐡 ∈ V) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
5957, 58mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
6059adantr 482 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ Xπ‘₯ ∈ 𝐼 𝐡 = (𝐡 ↑m 𝐼))
6147, 56, 603eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝐡 ↑m 𝐼))
62 frlmphl.t . . . . . . . . . 10 Β· = (.rβ€˜π‘…)
6352, 49sraip 20795 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)))
6462, 63eqtr2id 2786 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ (Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯)) = Β· )
6564oveqd 7423 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝐼 β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
6665mpteq2ia 5251 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))
6766oveq2i 7417 . . . . . 6 (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))
6867a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯)))) = (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯)))))
6961, 61, 68mpoeq123dv 7481 . . . 4 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯)(Β·π‘–β€˜((𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})β€˜π‘₯))(π‘”β€˜π‘₯))))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7046, 69eqtrd 2773 . . 3 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜(𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)}))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7135, 70eqtr3id 2787 . 2 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (Β·π‘–β€˜((𝑅Xs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜π‘…)β€˜π΅)})) β†Ύs (Baseβ€˜π‘Œ))) = (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))))
7230, 71eqtr2d 2774 1 ((𝐼 ∈ π‘Š ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (𝐡 ↑m 𝐼) ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘”β€˜π‘₯))))) = (Β·π‘–β€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ∈ cmpo 7408   ↑m cmap 8817  Xcixp 8888  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  .rcmulr 17195  Scalarcsca 17197  Β·π‘–cip 17199   Ξ£g cgsu 17383  Xscprds 17388   ↑s cpws 17389  subringAlg csra 20774  ringLModcrglmod 20775   freeLMod cfrlm 21293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-hom 17218  df-cco 17219  df-prds 17390  df-pws 17392  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-dsmm 21279  df-frlm 21294
This theorem is referenced by:  frlmipval  21326  frlmphl  21328
  Copyright terms: Public domain W3C validator