Theorem rrxip 24754

Description: The inner product of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxip	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	rrxprds 24753	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
4	3	fveq2d 6846	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))))
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
7	5, 6	tcphip 24589	. . 3 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
8	2	fvexi 6856	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
9		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)
10		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
11	9, 10	ressip 17226	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
13		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))
14		refld 21023	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝfld ∈ Field)
16		snex 5388	. . . . . . 7 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V
17		xpexg 7684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V) → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
18	16, 17	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
20		fvex 6855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
21	20	snnz 4737	. . . . . . . 8 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅
22		dmxp 5884	. . . . . . . 8 ⊢ ({((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
25	13, 15, 18, 19, 24, 10	prdsip 17343	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))))
26	13, 15, 18, 19, 24	prdsbas 17339	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
27		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
28		rebase 21010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
29	28	eqimssi 4002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
31	27, 30	srabase 20640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘ℝfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
32	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ = (Base‘ℝfld))
33	20	fvconst2 7153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
34	33	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
35	31, 32, 34	3eqtr4rd 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
36	35	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
37	36	ixpeq2dva 8850	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ)
38		reex 11142	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
39		ixpconstg 8844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℝ ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
40	38, 39	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
41	26, 37, 40	3eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (ℝ ↑m 𝐼))
42		remulr 21015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
43	33, 30	sraip 20650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (.r‘ℝfld) = (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
44	42, 43	eqtr2id 2789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = · )
45	44	oveqd 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
46	45	mpteq2ia 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
48	47	oveq2d 7373	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
49	41, 41, 48	mpoeq123dv 7432	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
50	25, 49	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
51	12, 50	eqtr3id 2790	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
52	7, 51	eqtr3id 2790	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
53	4, 52	eqtr2d 2777	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765  Xcixp 8835  ℝcr 11050   · cmul 11056  Basecbs 17083   ↾_s cress 17112  ._rcmulr 17134  ·_𝑖cip 17138   Σ_g cgsu 17322  X_scprds 17327  Fieldcfield 20186  subringAlg csra 20629  ℝ_fldcrefld 21008  toℂPreHilctcph 24531  ℝ^crrx 24747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749

This theorem is referenced by:  rrxnm  24755