Theorem rrxip 23996

Description: The inner product of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxip	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	rrxprds 23995	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
4	3	fveq2d 6677	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))))
5		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
6		eqid 2824	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
7	5, 6	tcphip 23831	. . 3 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
8	2	fvexi 6687	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
9		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)
10		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
11	9, 10	ressip 16655	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
13		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))
14		refld 20766	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝfld ∈ Field)
16		snex 5335	. . . . . . 7 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V
17		xpexg 7476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V) → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
18	16, 17	mpan2 689	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
19		eqid 2824	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
20		fvex 6686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
21	20	snnz 4714	. . . . . . . 8 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅
22		dmxp 5802	. . . . . . . 8 ⊢ ({((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
25	13, 15, 18, 19, 24, 10	prdsip 16737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))))
26	13, 15, 18, 19, 24	prdsbas 16733	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
27		eqidd 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
28		rebase 20753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
29	28	eqimssi 4028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
31	27, 30	srabase 19953	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘ℝfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
32	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ = (Base‘ℝfld))
33	20	fvconst2 6969	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
34	33	fveq2d 6677	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
35	31, 32, 34	3eqtr4rd 2870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
36	35	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
37	36	ixpeq2dva 8479	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ)
38		reex 10631	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
39		ixpconstg 8473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℝ ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
40	38, 39	mpan2 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
41	26, 37, 40	3eqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (ℝ ↑m 𝐼))
42		remulr 20758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
43	33, 30	sraip 19958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (.r‘ℝfld) = (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
44	42, 43	syl5req 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = · )
45	44	oveqd 7176	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
46	45	mpteq2ia 5160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
48	47	oveq2d 7175	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
49	41, 41, 48	mpoeq123dv 7232	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
50	25, 49	eqtrd 2859	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
51	12, 50	syl5eqr 2873	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
52	7, 51	syl5eqr 2873	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
53	4, 52	eqtr2d 2860	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  ∅c0 4294  {csn 4570   ↦ cmpt 5149   × cxp 5556  dom cdm 5558  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∈ cmpo 7161   ↑_m cmap 8409  Xcixp 8464  ℝcr 10539   · cmul 10545  Basecbs 16486   ↾_s cress 16487  ._rcmulr 16569  ·_𝑖cip 16573   Σ_g cgsu 16717  X_scprds 16722  Fieldcfield 19506  subringAlg csra 19943  ℝ_fldcrefld 20751  toℂPreHilctcph 23774  ℝ^crrx 23989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618  ax-addf 10619  ax-mulf 10620

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-tpos 7895  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-rp 12393  df-fz 12896  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-prds 16724  df-pws 16726  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-subg 18279  df-cmn 18911  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19507  df-field 19508  df-subrg 19536  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-cnfld 20549  df-refld 20752  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-tng 23197  df-tcph 23776  df-rrx 23991

This theorem is referenced by:  rrxnm  23997