Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxip Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxip 24008
 Description: The inner product of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxip (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxip
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . . 4 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2 rrxbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐻)
31, 2rrxprds 24007 . . 3 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
43fveq2d 6654 . 2 (𝐼𝑉 → (·𝑖𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))))
5 eqid 2798 . . . 4 (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
6 eqid 2798 . . . 4 (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
75, 6tcphip 23843 . . 3 (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
82fvexi 6664 . . . . 5 𝐵 ∈ V
9 eqid 2798 . . . . . 6 ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)
10 eqid 2798 . . . . . 6 (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
119, 10ressip 16651 . . . . 5 (𝐵 ∈ V → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
128, 11ax-mp 5 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
13 eqid 2798 . . . . . 6 (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))
14 refld 20317 . . . . . . 7 fld ∈ Field
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ℝfld ∈ Field)
16 snex 5298 . . . . . . 7 {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V
17 xpexg 7460 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉 ∧ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V) → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
1816, 17mpan2 690 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
19 eqid 2798 . . . . . 6 (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
20 fvex 6663 . . . . . . . . 9 ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
2120snnz 4672 . . . . . . . 8 {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅
22 dmxp 5764 . . . . . . . 8 ({((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼
2423a1i 11 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
2513, 15, 18, 19, 24, 10prdsip 16733 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))))))
2613, 15, 18, 19, 24prdsbas 16729 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
27 eqidd 2799 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
28 rebase 20304 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ = (Base‘ℝfld)
2928eqimssi 3973 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
3127, 30srabase 19951 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → (Base‘ℝfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
3228a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → ℝ = (Base‘ℝfld))
3320fvconst2 6948 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → ((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
3433fveq2d 6654 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
3531, 32, 343eqtr4rd 2844 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
3635adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑥𝐼) → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
3736ixpeq2dva 8466 . . . . . . 7 (𝐼𝑉X𝑥𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = X𝑥𝐼 ℝ)
38 reex 10624 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
39 ixpconstg 8460 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉 ∧ ℝ ∈ V) → X𝑥𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
4038, 39mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐼𝑉X𝑥𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
4126, 37, 403eqtrd 2837 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (ℝ ↑m 𝐼))
42 remulr 20309 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℝfld)
4333, 30sraip 19956 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐼 → (.r‘ℝfld) = (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
4442, 43syl5req 2846 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐼 → (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = · )
4544oveqd 7157 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼 → ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥)) = ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))
4645mpteq2ia 5122 . . . . . . . 8 (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))
4746a1i 11 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))
4847oveq2d 7156 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥)))))
4941, 41, 48mpoeq123dv 7213 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔𝑥))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
5025, 49eqtrd 2833 . . . 4 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
5112, 50syl5eqr 2847 . . 3 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
527, 51syl5eqr 2847 . 2 (𝐼𝑉 → (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))))
534, 52eqtr2d 2834 1 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑔𝑥))))) = (·𝑖𝐻))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518  dom cdm 5520  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ∈ cmpo 7142   ↑m cmap 8396  Xcixp 8451  ℝcr 10532   · cmul 10538  Basecbs 16482   ↾s cress 16483  .rcmulr 16565  ·𝑖cip 16569   Σg cgsu 16713  Xscprds 16718  Fieldcfield 19504  subringAlg csra 19941  ℝfldcrefld 20302  toℂPreHilctcph 23786  ℝ^crrx 24001 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611  ax-addf 10612  ax-mulf 10613 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7882  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-0g 16714  df-prds 16720  df-pws 16722  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-subg 18276  df-cmn 18908  df-mgp 19241  df-ur 19253  df-ring 19300  df-cring 19301  df-oppr 19377  df-dvdsr 19395  df-unit 19396  df-invr 19426  df-dvr 19437  df-drng 19505  df-field 19506  df-subrg 19534  df-sra 19945  df-rgmod 19946  df-cnfld 20100  df-refld 20303  df-dsmm 20430  df-frlm 20445  df-tng 23205  df-tcph 23788  df-rrx 24003 This theorem is referenced by:  rrxnm  24009
 Copyright terms: Public domain W3C validator