Theorem rrxip 25424

Description: The inner product of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxip	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑥,𝐵   𝑓,𝐼,𝑔,𝑥   𝑓,𝑉,𝑔,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑥,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rrxip

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2		rrxbase.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
3	1, 2	rrxprds 25423	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
4	3	fveq2d 6910	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘𝐻) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))))
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
7	5, 6	tcphip 25259	. . 3 ⊢ (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
8	2	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
9		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
11	9, 10	ressip 17389	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ V → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
12	8, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
13		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))
14		refld 21637	. . . . . . 7 ⊢ ℝfld ∈ Field
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ℝfld ∈ Field)
16		snex 5436	. . . . . . 7 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V
17		xpexg 7770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ∈ V) → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
18	16, 17	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) ∈ V)
19		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
20		fvex 6919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
21	20	snnz 4776	. . . . . . . 8 ⊢ {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅
22		dmxp 5939	. . . . . . . 8 ⊢ ({((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)} ≠ ∅ → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼
24	23	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → dom (𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}) = 𝐼)
25	13, 15, 18, 19, 24, 10	prdsip 17506	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))))
26	13, 15, 18, 19, 24	prdsbas 17502	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
27		eqidd 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
28		rebase 21624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
29	28	eqimssi 4044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
31	27, 30	srabase 21177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘ℝfld) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
32	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ℝ = (Base‘ℝfld))
33	20	fvconst2 7224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
34	33	fveq2d 6910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = (Base‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
35	31, 32, 34	3eqtr4rd 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
36	35	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = ℝ)
37	36	ixpeq2dva 8952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 (Base‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ)
38		reex 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
39		ixpconstg 8946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℝ ∈ V) → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
40	38, 39	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → X𝑥 ∈ 𝐼 ℝ = (ℝ ↑m 𝐼))
41	26, 37, 40	3eqtrd 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (ℝ ↑m 𝐼))
42		remulr 21629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (.r‘ℝfld)
43	33, 30	sraip 21187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (.r‘ℝfld) = (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)))
44	42, 43	eqtr2id 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → (·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥)) = · )
45	44	oveqd 7448	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)) = ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
46	45	mpteq2ia 5245	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))
48	47	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥)))) = (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥)))))
49	41, 41, 48	mpoeq123dv 7508	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥)(·𝑖‘((𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})‘𝑥))(𝑔‘𝑥))))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
50	25, 49	eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)}))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
51	12, 50	eqtr3id 2791	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
52	7, 51	eqtr3id 2791	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (·𝑖‘(toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))) = (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))))
53	4, 52	eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑓 ∈ (ℝ ↑m 𝐼), 𝑔 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↦ (ℝfld Σg (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑓‘𝑥) · (𝑔‘𝑥))))) = (·𝑖‘𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  dom cdm 5685  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ↑_m cmap 8866  Xcixp 8937  ℝcr 11154   · cmul 11160  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17298  ·_𝑖cip 17302   Σ_g cgsu 17485  X_scprds 17490  Fieldcfield 20730  subringAlg csra 21170  ℝ_fldcrefld 21622  toℂPreHilctcph 25201  ℝ^crrx 25417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419

This theorem is referenced by:  rrxnm  25425