Theorem pttoponconst 23572

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))

Assertion

Ref	Expression
pttoponconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Proof of Theorem pttoponconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
2	1	ralrimivw 3134	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4		fconstmpt 5686	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
5	4	fveq2i 6837	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2760	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
7	6	pttopon 23571	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
8	2, 7	sylan2 594	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
9		toponmax 22901	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
10		ixpconstg 8847	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
11	9, 10	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
12	11	fveq2d 6838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋) = (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
13	8, 12	eleqtrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Xcixp 8838  ∏_tcpt 17392  TopOnctopon 22885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1o 8398  df-2o 8399  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-fin 8890  df-fi 9317  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921

This theorem is referenced by:  ptuniconst  23573  pt1hmeo  23781  tmdgsum  24070  efmndtmd  24076  symgtgp  24081  poimir  37988  broucube  37989