Theorem pttoponconst 23484

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))

Assertion

Ref	Expression
pttoponconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Proof of Theorem pttoponconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
2	1	ralrimivw 3129	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4		fconstmpt 5700	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
5	4	fveq2i 6861	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
7	6	pttopon 23483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
8	2, 7	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
9		toponmax 22813	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
10		ixpconstg 8879	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
11	9, 10	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
12	11	fveq2d 6862	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋) = (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
13	8, 12	eleqtrd 2830	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {csn 4589   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  Xcixp 8870  ∏_tcpt 17401  TopOnctopon 22797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1o 8434  df-2o 8435  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833

This theorem is referenced by:  ptuniconst  23485  pt1hmeo  23693  tmdgsum  23982  efmndtmd  23988  symgtgp  23993  poimir  37647  broucube  37648