Theorem pttoponconst 23322

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))

Assertion

Ref	Expression
pttoponconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Proof of Theorem pttoponconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
2	1	ralrimivw 3149	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4		fconstmpt 5738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
5	4	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
7	6	pttopon 23321	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
8	2, 7	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
9		toponmax 22649	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
10		ixpconstg 8904	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
11	9, 10	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
12	11	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋) = (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
13	8, 12	eleqtrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8824  Xcixp 8895  ∏_tcpt 17389  TopOnctopon 22633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-fin 8947  df-fi 9410  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-top 22617  df-topon 22634  df-bases 22670

This theorem is referenced by:  ptuniconst  23323  pt1hmeo  23531  tmdgsum  23820  efmndtmd  23826  symgtgp  23831  poimir  36825  broucube  36826