Theorem pttoponconst 23626

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))

Assertion

Ref	Expression
pttoponconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Proof of Theorem pttoponconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
2	1	ralrimivw 3156	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4		fconstmpt 5762	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
5	4	fveq2i 6923	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
7	6	pttopon 23625	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
8	2, 7	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
9		toponmax 22953	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
10		ixpconstg 8964	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
11	9, 10	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
12	11	fveq2d 6924	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋) = (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
13	8, 12	eleqtrd 2846	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Xcixp 8955  ∏_tcpt 17498  TopOnctopon 22937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1o 8522  df-2o 8523  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-fin 9007  df-fi 9480  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  ptuniconst  23627  pt1hmeo  23835  tmdgsum  24124  efmndtmd  24130  symgtgp  24135  poimir  37613  broucube  37614