Theorem pttoponconst 23824

Description: The base set for a product topology when all factors are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ptuniconst.2	⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))

Assertion

Ref	Expression
pttoponconst	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

Proof of Theorem pttoponconst

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
2	1	ralrimivw 3158	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		ptuniconst.2	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝐴 × {𝑅}))
4		fconstmpt 5717	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
5	4	fveq2i 6882	. . . . 5 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝑅})) = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
6	3, 5	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (∏t‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅))
7	6	pttopon 23823	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
8	2, 7	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋))
9		toponmax 23152	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑅)
10		ixpconstg 8914	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑅) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
11	9, 10	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋 = (𝑋 ↑m 𝐴))
12	11	fveq2d 6883	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → (TopOn‘X𝑥 ∈ 𝐴 𝑋) = (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))
13	8, 12	eleqtrd 2862	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ (TopOn‘𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 ↑m 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  Xcixp 8905  ∏_tcpt 17524  TopOnctopon 23136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1o 8456  df-2o 8457  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-fin 8957  df-fi 9382  df-topgen 17529  df-pt 17530  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172

This theorem is used by:  ptuniconst  23825  pt1hmeo  24033  tmdgsum  24322  efmndtmd  24328  symgtgp  24333  poimir  38403  broucube  38404