Theorem lelttrdi 11367

Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lelttrdi.r	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrdi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2	1	simp1d 1160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1	simp2d 1161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		lelttrdi.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐶)
11	3, 5, 7, 8, 10	ltletrd 11365	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
12	11	ex 417	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12552  subfzo0  13817  eucrctshift  30594  gpgusgralem  48821