Theorem lelttrdi 11302

Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lelttrdi.r	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lelttrdi	⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lelttrdi.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
2	1	simp1d 1143	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
4	1	simp2d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	1	simp3d 1145	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9		lelttrdi.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐶)
11	3, 5, 7, 8, 10	ltletrd 11300	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
12	11	ex 412	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 < 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11031   < clt 11173   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179

This theorem is referenced by:  difgtsumgt  12484  subfzo0  13741  eucrctshift  30331  gpgusgralem  48547