MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lelttrdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lelttrdi 10489
Description: If a number is less than another number, and the other number is less than or equal to a third number, the first number is less than the third number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lelttrdi.r (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
lelttrdi.l (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
lelttrdi (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem lelttrdi
StepHypRef Expression
1 lelttrdi.r . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ))
21simp1d 1173 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
41simp2d 1174 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
61simp3d 1175 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
8 simpr 478 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
9 lelttrdi.l . . . 4 (𝜑𝐵𝐶)
109adantr 473 . . 3 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐶)
113, 5, 7, 8, 10ltletrd 10487 . 2 ((𝜑𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐶)
1211ex 402 1 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108  wcel 2157   class class class wbr 4843  cr 10223   < clt 10363  cle 10364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369
This theorem is referenced by:  difgtsumgt  11635  subfzo0  12845  eucrctshift  27588
  Copyright terms: Public domain W3C validator