MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfzo0 13839
Description: The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
subfzo0 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))

Proof of Theorem subfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13757 . . 3 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2 elfzo0 13757 . . . . 5 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
3 nn0re 12562 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
43adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
5 nnre 12300 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0re 12562 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℝ)
7 resubcl 11600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
98ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
1093adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
114, 10anim12i 612 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐽) ∈ ℝ))
12 nn0ge0 12578 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐼)
14 posdif 11783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝐽)))
156, 5, 14syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝐽)))
1615biimp3a 1469 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝐽))
1713, 16anim12i 612 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁𝐽)))
18 addgegt0 11777 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐽) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁𝐽))) → 0 < (𝐼 + (𝑁𝐽)))
1911, 17, 18syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < (𝐼 + (𝑁𝐽)))
20 nn0cn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
2120adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
2221adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℂ)
23 nn0cn 12563 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
2524adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26 nncn 12301 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
27263ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2827adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2922, 25, 28subadd23d 11669 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼𝐽) + 𝑁) = (𝐼 + (𝑁𝐽)))
3019, 29breqtrrd 5194 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < ((𝐼𝐽) + 𝑁))
3163ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
32 resubcl 11600 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
334, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
3453ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3534adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3633, 35possumd 11915 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 < ((𝐼𝐽) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝐼𝐽)))
3730, 36mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → -𝑁 < (𝐼𝐽))
383adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
3934adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40 readdcl 11267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
416, 5, 40syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
42413adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
4438, 39, 433jca 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ))
45 nn0ge0 12578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
46453ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
485, 6anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
4948ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
50493adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
52 addge02 11801 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
5447, 53mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁))
5544, 54lelttrdi 11452 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 < 𝑁𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
5655impancom 451 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
5756imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁))
584adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
5931adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
6058, 59, 35ltsubadd2d 11888 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼𝐽) < 𝑁𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
6157, 60mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼𝐽) < 𝑁)
6237, 61jca 511 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
6362ex 412 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
642, 63biimtrid 242 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
65643adant2 1131 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
661, 65sylbi 217 . 2 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
6766imp 406 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  0cc0 11184   + caddc 11187   < clt 11324  cle 11325  cmin 11520  -cneg 11521  cn 12293  0cn0 12553  ..^cfzo 13711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712
This theorem is referenced by:  addmodlteq  13997
  Copyright terms: Public domain W3C validator