Theorem subfzo0 13509

Description: The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subfzo0	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

Proof of Theorem subfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13428	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2		elfzo0 13428	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
3		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
5		nnre 11980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
7		resubcl 11285	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
9	8	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1131	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
11	4, 10	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ))
12		nn0ge0 12258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐼)
14		posdif 11468	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
15	6, 5, 14	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
16	15	biimp3a 1468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 < (𝑁 − 𝐽))
17	13, 16	anim12i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
18		addgegt0 11462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽))) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
19	11, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
20		nn0cn 12243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℂ)
23		nn0cn 12243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		nncn 11981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	subadd23d 11354	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
30	19, 29	breqtrrd 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁))
31	6	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
32		resubcl 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
33	4, 31, 32	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
34	5	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36	33, 35	possumd 11600	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝐼 − 𝐽)))
37	30, 36	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → -𝑁 < (𝐼 − 𝐽))
38	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
39	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40		readdcl 10954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
41	6, 5, 40	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	41	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
44	38, 39, 43	3jca 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ))
45		nn0ge0 12258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
46	45	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
48	5, 6	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
49	48	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
50	49	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
52		addge02 11486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
54	47, 53	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁))
55	44, 54	lelttrdi 11137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 < 𝑁 → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
56	55	impancom 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
57	56	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁))
58	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
59	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
60	58, 59, 35	ltsubadd2d 11573	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
61	57, 60	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)
62	37, 61	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
63	62	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
64	2, 63	syl5bi 241	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
65	64	3adant2 1130	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
66	1, 65	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
67	66	imp 407	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871   + caddc 10874   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  addmodlteq  13666