Theorem subfzo0 13745

Description: The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subfzo0	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

Proof of Theorem subfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13653	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2		elfzo0 13653	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
3		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
5		nnre 12179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0re 12444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
7		resubcl 11456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
9	8	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
11	4, 10	anim12i 619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ))
12		nn0ge0 12460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐼)
14		posdif 11641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
15	6, 5, 14	syl2an 602	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
16	15	biimp3a 1477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 < (𝑁 − 𝐽))
17	13, 16	anim12i 619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
18		addgegt0 11635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽))) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
19	11, 17, 18	syl2anc 590	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
20		nn0cn 12445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℂ)
23		nn0cn 12445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		nncn 12180	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	subadd23d 11525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
30	19, 29	breqtrrd 5107	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁))
31	6	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
32		resubcl 11456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
33	4, 31, 32	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
34	5	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	34	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36	33, 35	possumd 11773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝐼 − 𝐽)))
37	30, 36	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → -𝑁 < (𝐼 − 𝐽))
38	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
39	34	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40		readdcl 11119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
41	6, 5, 40	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	41	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
44	38, 39, 43	3jca 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ))
45		nn0ge0 12460	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
46	45	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
48	5, 6	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
49	48	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
50	49	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
52		addge02 11659	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
54	47, 53	mpbid 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁))
55	44, 54	lelttrdi 11306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 < 𝑁 → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
56	55	impancom 452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
57	56	imp 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁))
58	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
59	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
60	58, 59, 35	ltsubadd2d 11746	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
61	57, 60	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)
62	37, 61	jca 516	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
63	62	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
64	2, 63	biimtrid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
65	64	3adant2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
66	1, 65	sylbi 218	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
67	66	imp 407	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035  0cc0 11036   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178   − cmin 11375  -cneg 11376  ℕcn 12172  ℕ₀cn0 12435  ..^cfzo 13606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607

This theorem is referenced by:  addmodlteq  13906