MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subfzo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subfzo0 13147
Description: The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
subfzo0 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))

Proof of Theorem subfzo0
StepHypRef Expression
1 elfzo0 13066 . . 3 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2 elfzo0 13066 . . . . 5 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
3 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
5 nnre 11633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0re 11894 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℝ)
7 resubcl 10938 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
85, 6, 7syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
98ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
1093adant3 1124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁𝐽) ∈ ℝ)
114, 10anim12i 612 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐽) ∈ ℝ))
12 nn0ge0 11910 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐼)
14 posdif 11121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝐽)))
156, 5, 14syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁𝐽)))
1615biimp3a 1460 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 < (𝑁𝐽))
1713, 16anim12i 612 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁𝐽)))
18 addgegt0 11115 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝐽) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁𝐽))) → 0 < (𝐼 + (𝑁𝐽)))
1911, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < (𝐼 + (𝑁𝐽)))
20 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
2120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
2221adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℂ)
23 nn0cn 11895 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ ℕ0𝐽 ∈ ℂ)
24233ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
2524adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26 nncn 11634 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
27263ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . 11 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2827adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2922, 25, 28subadd23d 11007 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼𝐽) + 𝑁) = (𝐼 + (𝑁𝐽)))
3019, 29breqtrrd 5085 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < ((𝐼𝐽) + 𝑁))
3163ad2ant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
32 resubcl 10938 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
334, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼𝐽) ∈ ℝ)
3453ad2ant2 1126 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
3534adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
3633, 35possumd 11253 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 < ((𝐼𝐽) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝐼𝐽)))
3730, 36mpbid 233 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → -𝑁 < (𝐼𝐽))
383adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
3934adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40 readdcl 10608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
416, 5, 40syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
42413adant3 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
4342adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
4438, 39, 433jca 1120 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ))
45 nn0ge0 11910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
46453ad2ant1 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
4746adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
485, 6anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
4948ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
50493adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
52 addge02 11139 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
5447, 53mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁))
5544, 54lelttrdi 10790 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 < 𝑁𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
5655impancom 452 . . . . . . . . 9 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
5756imp 407 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁))
584adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
5931adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
6058, 59, 35ltsubadd2d 11226 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼𝐽) < 𝑁𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
6157, 60mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼𝐽) < 𝑁)
6237, 61jca 512 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
6362ex 413 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
642, 63syl5bi 243 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
65643adant2 1123 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
661, 65sylbi 218 . 2 (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁)))
6766imp 407 1 ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼𝐽) ∧ (𝐼𝐽) < 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859  cn 11626  0cn0 11885  ..^cfzo 13021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022
This theorem is referenced by:  addmodlteq  13302
  Copyright terms: Public domain W3C validator