Theorem subfzo0 13908

Description: The difference between two elements in a half-open range of nonnegative integers is greater than the negation of the upper bound and less than the upper bound of the range. (Contributed by AV, 20-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subfzo0	⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

Proof of Theorem subfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzo0 13815	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁))
2		elfzo0 13815	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁))
3		nn0re 12596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℝ)
5		nnre 12323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		nn0re 12596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℝ)
7		resubcl 11603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
9	8	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
10	9	3adant3 1150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ)
11	4, 10	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ))
12		nn0ge0 12612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
13	12	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐼)
14		posdif 11790	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
15	6, 5, 14	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
16	15	biimp3a 1498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 < (𝑁 − 𝐽))
17	13, 16	anim12i 625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽)))
18		addgegt0 11784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝐽) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ 𝐼 ∧ 0 < (𝑁 − 𝐽))) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
19	11, 17, 18	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
20		nn0cn 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
21	20	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → 𝐼 ∈ ℂ)
22	21	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℂ)
23		nn0cn 12597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 𝐽 ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℂ)
25	24	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
26		nncn 12324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
28	27	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
29	22, 25, 28	subadd23d 11672	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) = (𝐼 + (𝑁 − 𝐽)))
30	19, 29	breqtrrd 5133	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁))
31	6	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐽 ∈ ℝ)
32		resubcl 11603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
33	4, 31, 32	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) ∈ ℝ)
34	5	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
35	34	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
36	33, 35	possumd 11922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 < ((𝐼 − 𝐽) + 𝑁) ↔ -𝑁 < (𝐼 − 𝐽)))
37	30, 36	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → -𝑁 < (𝐼 − 𝐽))
38	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
39	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
40		readdcl 11264	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
41	6, 5, 40	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
42	41	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
43	42	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ)
44	38, 39, 43	3jca 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐽 + 𝑁) ∈ ℝ))
45		nn0ge0 12612	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐽)
46	45	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 0 ≤ 𝐽)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 0 ≤ 𝐽)
48	5, 6	anim12i 625	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
49	48	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
50	49	3adant3 1150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
51	50	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
52		addge02 11808	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
53	51, 52	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (0 ≤ 𝐽 ↔ 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁)))
54	47, 53	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐽 + 𝑁))
55	44, 54	lelttrdi 11453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 < 𝑁 → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
56	55	impancom 457	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
57	56	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 < (𝐽 + 𝑁))
58	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐼 ∈ ℝ)
59	31	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
60	58, 59, 35	ltsubadd2d 11895	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → ((𝐼 − 𝐽) < 𝑁 ↔ 𝐼 < (𝐽 + 𝑁)))
61	57, 60	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)
62	37, 61	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) ∧ (𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))
63	62	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → ((𝐽 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 < 𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
64	2, 63	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
65	64	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
66	1, 65	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁)))
67	66	imp 412	1 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑁) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (-𝑁 < (𝐼 − 𝐽) ∧ (𝐼 − 𝐽) < 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   + caddc 11184   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11522  -cneg 11523  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ..^cfzo 13768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769

This theorem is used by:  addmodlteq  14069