Theorem difgtsumgt 12563

Description: If the difference of a real number and a nonnegative integer is greater than another real number, the sum of the real number and the nonnegative integer is also greater than the other real number. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
difgtsumgt	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))

Proof of Theorem difgtsumgt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		nn0cn 12520	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	anim12i 624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
4	3	3adant3 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
5		negsub 11512	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
7	6	eqcomd 2768	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴 + -𝐵))
8	7	breq2d 5120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) ↔ 𝐶 < (𝐴 + -𝐵)))
9		simp3 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
10		simp1 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
11		nn0re 12519	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	renegcld 11647	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵 ∈ ℝ)
14	10, 13	readdcld 11244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ)
15	11	3ad2ant2 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
16	10, 15	readdcld 11244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
17	9, 14, 16	3jca 1145	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + -𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ))
18		nn0negleid 12562	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → -𝐵 ≤ 𝐵)
19	18	3ad2ant2 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ 𝐵)
20	13, 15, 10, 19	leadd2dd 11835	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐵) ≤ (𝐴 + 𝐵))
21	17, 20	lelttrdi 11378	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + -𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
22	8, 21	sylbid 243	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 − 𝐵) → 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109   < clt 11249   ≤ cle 11250   − cmin 11447  -cneg 11448  ℕ₀cn0 12510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-n0 12511

This theorem is used by:  difsqpwdvds  16953