Theorem lttrd 11451

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 11366	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  mulgt1  12156  nnne0  12327  expgt1  14151  ltexp2a  14216  expcan  14219  ltexp2  14220  leexp2  14221  expnlbnd2  14283  expmulnbnd  14284  reccn2  15643  efgt1  16164  tanhlt1  16208  ruclem2  16280  isprm7  16755  pythagtriplem13  16874  fldivp1  16944  4sqlem12  17003  sylow1lem1  19640  telgsums  20035  chfacffsupp  22883  chfacfscmul0  22885  chfacfpmmul0  22889  nrginvrcnlem  24733  iccntr  24862  icccmplem2  24864  opnreen  24872  pjthlem1  25490  pmltpclem2  25503  ovollb2lem  25542  opnmbllem  25655  volivth  25661  lhop1lem  26072  dvcnvrelem1  26076  dvcvx  26079  ftc1lem4  26100  aaliou3lem7  26409  ulmdvlem1  26461  reeff1olem  26508  pilem2  26514  pilem3  26515  tangtx  26565  tanord1  26597  tanord  26598  rplogcl  26664  logimul  26674  logcnlem3  26704  efopnlem1  26716  cxplt  26754  cxple  26755  cxpcn3lem  26808  asinsin  26953  atanlogaddlem  26974  atanlogsublem  26976  cxp2limlem  27037  cxp2lim  27038  zetacvg  27076  lgamucov  27099  lgamcvg2  27116  ftalem1  27134  mersenne  27289  bposlem2  27347  bposlem6  27351  bposlem9  27354  lgsqrlem2  27409  lgsquadlem2  27443  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1lem3  27533  chebbnd1  27534  chtppilimlem1  27535  chto1ub  27538  mulog2sumlem2  27597  chpdifbndlem1  27615  selberg3lem1  27619  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntibndlem1  27651  pntibndlem2  27653  pntibndlem3  27654  pntibnd  27655  pntlemb  27659  pntlemr  27664  pntlemf  27667  pnt  27676  ostth2lem1  27680  ostth2lem3  27697  ostth2lem4  27698  wwlksext2clwwlk  30089  frgrogt3nreg  30429  friendshipgt3  30430  pjhthlem1  31423  chnub  32984  psgnfzto1stlem  33093  1smat1  33750  sqsscirc1  33854  xrge0iifiso  33881  sgnsub  34509  signslema  34539  chtvalz  34606  hgt750lemd  34625  knoppndvlem12  36489  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem15  36492  knoppndvlem17  36494  knoppndvlem20  36497  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem15  37595  poimirlem20  37600  poimirlem28  37608  opnmbllem0  37616  itg2gt0cn  37635  ftc1cnnclem  37651  ftc1anc  37661  cntotbnd  37756  3lexlogpow5ineq3  42014  3lexlogpow2ineq2  42016  3lexlogpow5ineq5  42017  aks4d1lem1  42019  0nonelalab  42024  aks4d1p1p3  42026  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  aks4d1p2  42034  aks4d1p3  42035  aks4d1p6  42038  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p7  42040  aks4d1p8d3  42043  aks4d1p8  42044  2ap1caineq  42102  sticksstones1  42103  sn-addlt0d  42422  sn-addgt0d  42423  sn-mulgt1d  42441  fimgmcyc  42489  flt4lem7  42614  fltnlta  42618  pellexlem5  42789  pellfundex  42842  pellfundrp  42844  rmspecfund  42865  monotuz  42898  jm3.1lem2  42975  jm3.1lem3  42976  imo72b2  44134  prmunb2  44280  neglt  45199  ltadd12dd  45258  infleinflem2  45286  sqrlearg  45471  lptre2pt  45561  0ellimcdiv  45570  limsup10exlem  45693  ioodvbdlimc1lem1  45852  iblspltprt  45894  itgspltprt  45900  stoweidlem7  45928  stoweidlem11  45932  stoweidlem13  45934  stoweidlem14  45935  stoweidlem26  45947  stoweidlem42  45963  stoweidlem52  45973  stoweidlem59  45980  stoweidlem60  45981  stoweidlem62  45983  wallispilem4  45989  wallispi  45991  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem11  46005  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem2  46025  fourierdlem10  46038  fourierdlem11  46039  fourierdlem12  46040  fourierdlem42  46070  fourierdlem47  46074  fourierdlem50  46077  fourierdlem51  46078  fourierdlem73  46100  fourierdlem79  46106  fourierdlem83  46110  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  sqwvfoura  46149  sqwvfourb  46150  fouriersw  46152  hoidmvlelem1  46516  hoiqssbllem2  46544  hspmbllem1  46547  pimrecltpos  46629  pimrecltneg  46645  smfaddlem1  46684  smflimlem3  46694  smflimlem4  46695  smfmullem1  46712  fpprel2  47615  eenglngeehlnmlem2  48472