Theorem lttrd 11375

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 11290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  nnne0  12246  expgt1  14066  ltexp2a  14131  expcan  14134  ltexp2  14135  leexp2  14136  expnlbnd2  14197  expmulnbnd  14198  reccn2  15541  efgt1  16059  tanhlt1  16103  ruclem2  16175  isprm7  16645  pythagtriplem13  16760  fldivp1  16830  4sqlem12  16889  sylow1lem1  19466  telgsums  19861  chfacffsupp  22358  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  nrginvrcnlem  24208  iccntr  24337  icccmplem2  24339  opnreen  24347  pjthlem1  24954  pmltpclem2  24966  ovollb2lem  25005  opnmbllem  25118  volivth  25124  lhop1lem  25530  dvcnvrelem1  25534  dvcvx  25537  ftc1lem4  25556  aaliou3lem7  25862  ulmdvlem1  25912  reeff1olem  25958  pilem2  25964  pilem3  25965  tangtx  26015  tanord1  26046  tanord  26047  rplogcl  26112  logimul  26122  logcnlem3  26152  efopnlem1  26164  cxplt  26202  cxple  26203  cxpcn3lem  26255  asinsin  26397  atanlogaddlem  26418  atanlogsublem  26420  cxp2limlem  26480  cxp2lim  26481  zetacvg  26519  lgamucov  26542  lgamcvg2  26559  ftalem1  26577  mersenne  26730  bposlem2  26788  bposlem6  26792  bposlem9  26795  lgsqrlem2  26850  lgsquadlem2  26884  chebbnd1lem2  26973  chebbnd1lem3  26974  chebbnd1  26975  chtppilimlem1  26976  chto1ub  26979  mulog2sumlem2  27038  chpdifbndlem1  27056  selberg3lem1  27060  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083  pntpbnd1a  27088  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  pntibndlem1  27092  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntibnd  27096  pntlemb  27100  pntlemr  27105  pntlemf  27108  pnt  27117  ostth2lem1  27121  ostth2lem3  27138  ostth2lem4  27139  wwlksext2clwwlk  29310  frgrogt3nreg  29650  friendshipgt3  29651  pjhthlem1  30644  psgnfzto1stlem  32259  1smat1  32784  sqsscirc1  32888  xrge0iifiso  32915  sgnsub  33543  signslema  33573  chtvalz  33641  hgt750lemd  33660  knoppndvlem12  35399  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem17  35404  knoppndvlem20  35407  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem8  36496  poimirlem15  36503  poimirlem20  36508  poimirlem28  36516  opnmbllem0  36524  itg2gt0cn  36543  ftc1cnnclem  36559  ftc1anc  36569  cntotbnd  36664  3lexlogpow5ineq3  40922  3lexlogpow2ineq2  40924  3lexlogpow5ineq5  40925  aks4d1lem1  40927  0nonelalab  40932  aks4d1p1p3  40934  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p4  40936  aks4d1p1p6  40938  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  aks4d1p1  40941  aks4d1p2  40942  aks4d1p3  40943  aks4d1p6  40946  aks4d1p7d1  40947  aks4d1p7  40948  aks4d1p8d3  40951  aks4d1p8  40952  2ap1caineq  40961  sticksstones1  40962  sn-addlt0d  41319  sn-addgt0d  41320  flt4lem7  41401  fltnlta  41405  pellexlem5  41571  pellfundex  41624  pellfundrp  41626  rmspecfund  41647  monotuz  41680  jm3.1lem2  41757  jm3.1lem3  41758  imo72b2  42924  prmunb2  43070  neglt  43994  ltadd12dd  44053  infleinflem2  44081  sqrlearg  44266  lptre2pt  44356  0ellimcdiv  44365  limsup10exlem  44488  ioodvbdlimc1lem1  44647  iblspltprt  44689  itgspltprt  44695  stoweidlem7  44723  stoweidlem11  44727  stoweidlem13  44729  stoweidlem14  44730  stoweidlem26  44742  stoweidlem42  44758  stoweidlem52  44768  stoweidlem59  44775  stoweidlem60  44776  stoweidlem62  44778  wallispilem4  44784  wallispi  44786  stirlinglem1  44790  stirlinglem3  44792  stirlinglem6  44795  stirlinglem7  44796  stirlinglem10  44799  stirlinglem11  44800  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem2  44820  fourierdlem10  44833  fourierdlem11  44834  fourierdlem12  44835  fourierdlem42  44865  fourierdlem47  44869  fourierdlem50  44872  fourierdlem51  44873  fourierdlem73  44895  fourierdlem79  44901  fourierdlem83  44905  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  sqwvfoura  44944  sqwvfourb  44945  fouriersw  44947  hoidmvlelem1  45311  hoiqssbllem2  45339  hspmbllem1  45342  pimrecltpos  45424  pimrecltneg  45440  smfaddlem1  45479  smflimlem3  45489  smflimlem4  45490  smfmullem1  45507  fpprel2  46409  eenglngeehlnmlem2  47424