Theorem lttrd 11475

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 11390	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝcr 11203   < clt 11347

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352

This theorem is used by:  mulgt1  12182  nnne0  12376  neglt  13144  expgt1  14247  ltexp2a  14313  expcan  14316  ltexp2  14317  leexp2  14318  expnlbnd2  14382  expmulnbnd  14383  sgnsub  15265  reccn2  15770  efgt1  16290  tanhlt1  16334  ruclem2  16406  isprm7  16890  pythagtriplem13  17011  fldivp1  17081  4sqlem12  17140  chnub  18802  chnccat  18806  sylow1lem1  19818  telgsums  20213  chfacffsupp  23180  chfacfscmul0  23182  chfacfpmmul0  23186  nrginvrcnlem  25016  iccntr  25147  icccmplem2  25149  opnreen  25157  pjthlem1  25764  pmltpclem2  25776  ovollb2lem  25815  opnmbllem  25928  volivth  25934  lhop1lem  26339  dvcnvrelem1  26343  dvcvx  26346  ftc1lem4  26365  aaliou3lem7  26682  ulmdvlem1  26733  reeff1olem  26779  pilem2  26785  pilem3  26786  tangtx  26840  tanord1  26871  tanord  26872  rplogcl  26938  logimul  26948  logcnlem3  26978  efopnlem1  26990  cxplt  27028  cxple  27029  cxpcn3lem  27081  asinsin  27226  atanlogaddlem  27247  atanlogsublem  27249  cxp2limlem  27309  cxp2lim  27310  zetacvg  27348  lgamucov  27371  lgamcvg2  27388  ftalem1  27406  mersenne  27560  bposlem2  27618  bposlem6  27622  bposlem9  27625  lgsqrlem2  27680  lgsquadlem2  27714  chebbnd1lem2  27803  chebbnd1lem3  27804  chebbnd1  27805  chtppilimlem1  27806  chto1ub  27809  mulog2sumlem2  27868  chpdifbndlem1  27886  selberg3lem1  27890  pntrlog2bndlem2  27911  pntrlog2bndlem4  27913  pntpbnd1a  27918  pntpbnd1  27919  pntpbnd2  27920  pntibndlem1  27922  pntibndlem2  27924  pntibndlem3  27925  pntibnd  27926  pntlemb  27930  pntlemr  27935  pntlemf  27938  pnt  27947  ostth2lem1  27951  ostth2lem3  27968  ostth2lem4  27969  flt4lem7  27995  wwlksext2clwwlk  30654  frgrogt3nreg  31004  friendshipgt3  31005  pjhthlem1  31999  psgnfzto1stlem  33708  1smat1  34483  sqsscirc1  34587  xrge0iifiso  34614  signslema  35238  chtvalz  35305  hgt750lemd  35324  knoppndvlem12  37482  knoppndvlem14  37484  knoppndvlem15  37485  knoppndvlem17  37487  knoppndvlem20  37490  poimirlem6  38638  poimirlem7  38639  poimirlem8  38640  poimirlem15  38647  poimirlem20  38652  poimirlem28  38660  opnmbllem0  38668  itg2gt0cn  38687  ftc1cnnclem  38703  ftc1anc  38713  cntotbnd  38824  3lexlogpow5ineq3  43201  3lexlogpow2ineq2  43203  3lexlogpow5ineq5  43204  aks4d1lem1  43206  0nonelalab  43211  aks4d1p1p3  43213  aks4d1p1p2  43214  aks4d1p1p4  43215  aks4d1p1p6  43217  aks4d1p1p7  43218  aks4d1p1p5  43219  aks4d1p1  43220  aks4d1p2  43221  aks4d1p3  43222  aks4d1p6  43225  aks4d1p7d1  43226  aks4d1p7  43227  aks4d1p8d3  43230  aks4d1p8  43231  2ap1caineq  43289  sticksstones1  43290  sn-addlt0d  43616  sn-addgt0d  43617  sn-mulgt1d  43637  fimgmcyc  43692  fltnlta  43768  pellexlem5  43934  pellfundex  43987  pellfundrp  43989  rmspecfund  44010  monotuz  44042  jm3.1lem2  44119  jm3.1lem3  44120  imo72b2  45266  prmunb2  45389  ltadd12dd  46449  infleinflem2  46476  sqrlearg  46659  lptre2pt  46744  0ellimcdiv  46753  limsup10exlem  46876  ioodvbdlimc1lem1  47035  iblspltprt  47077  itgspltprt  47083  stoweidlem7  47111  stoweidlem11  47115  stoweidlem13  47117  stoweidlem14  47118  stoweidlem26  47130  stoweidlem42  47146  stoweidlem52  47156  stoweidlem59  47163  stoweidlem60  47164  stoweidlem62  47166  wallispilem4  47172  wallispi  47174  stirlinglem1  47178  stirlinglem3  47180  stirlinglem6  47183  stirlinglem7  47184  stirlinglem10  47187  stirlinglem11  47188  dirkercncflem1  47207  dirkercncflem2  47208  fourierdlem10  47221  fourierdlem11  47222  fourierdlem12  47223  fourierdlem42  47253  fourierdlem47  47257  fourierdlem50  47260  fourierdlem51  47261  fourierdlem73  47283  fourierdlem79  47289  fourierdlem83  47293  fourierdlem103  47313  fourierdlem104  47314  sqwvfoura  47332  sqwvfourb  47333  fouriersw  47335  hoidmvlelem1  47699  hoiqssbllem2  47727  hspmbllem1  47730  pimrecltpos  47812  pimrecltneg  47828  smfaddlem1  47867  smflimlem3  47877  smflimlem4  47878  smfmullem1  47895  ormkglobd  47981  chnsubseq  47984  difmodm1lt  48529  2timesltsqm1  48543  fpprel2  48933  gpgedgvtx0  49253  gpgedgvtx1  49254  eenglngeehlnmlem2  49945