Theorem lttrd 11342

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 11257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ℝcr 11074   < clt 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220

This theorem is referenced by:  mulgt1  12051  nnne0  12227  neglt  12978  expgt1  14072  ltexp2a  14138  expcan  14141  ltexp2  14142  leexp2  14143  expnlbnd2  14206  expmulnbnd  14207  reccn2  15570  efgt1  16091  tanhlt1  16135  ruclem2  16207  isprm7  16685  pythagtriplem13  16805  fldivp1  16875  4sqlem12  16934  sylow1lem1  19535  telgsums  19930  chfacffsupp  22750  chfacfscmul0  22752  chfacfpmmul0  22756  nrginvrcnlem  24586  iccntr  24717  icccmplem2  24719  opnreen  24727  pjthlem1  25344  pmltpclem2  25357  ovollb2lem  25396  opnmbllem  25509  volivth  25515  lhop1lem  25925  dvcnvrelem1  25929  dvcvx  25932  ftc1lem4  25953  aaliou3lem7  26264  ulmdvlem1  26316  reeff1olem  26363  pilem2  26369  pilem3  26370  tangtx  26421  tanord1  26453  tanord  26454  rplogcl  26520  logimul  26530  logcnlem3  26560  efopnlem1  26572  cxplt  26610  cxple  26611  cxpcn3lem  26664  asinsin  26809  atanlogaddlem  26830  atanlogsublem  26832  cxp2limlem  26893  cxp2lim  26894  zetacvg  26932  lgamucov  26955  lgamcvg2  26972  ftalem1  26990  mersenne  27145  bposlem2  27203  bposlem6  27207  bposlem9  27210  lgsqrlem2  27265  lgsquadlem2  27299  chebbnd1lem2  27388  chebbnd1lem3  27389  chebbnd1  27390  chtppilimlem1  27391  chto1ub  27394  mulog2sumlem2  27453  chpdifbndlem1  27471  selberg3lem1  27475  pntrlog2bndlem2  27496  pntrlog2bndlem4  27498  pntpbnd1a  27503  pntpbnd1  27504  pntpbnd2  27505  pntibndlem1  27507  pntibndlem2  27509  pntibndlem3  27510  pntibnd  27511  pntlemb  27515  pntlemr  27520  pntlemf  27523  pnt  27532  ostth2lem1  27536  ostth2lem3  27553  ostth2lem4  27554  wwlksext2clwwlk  29993  frgrogt3nreg  30333  friendshipgt3  30334  pjhthlem1  31327  sgnsub  32769  chnub  32945  psgnfzto1stlem  33064  1smat1  33801  sqsscirc1  33905  xrge0iifiso  33932  signslema  34560  chtvalz  34627  hgt750lemd  34646  knoppndvlem12  36518  knoppndvlem14  36520  knoppndvlem15  36521  knoppndvlem17  36523  knoppndvlem20  36526  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem8  37629  poimirlem15  37636  poimirlem20  37641  poimirlem28  37649  opnmbllem0  37657  itg2gt0cn  37676  ftc1cnnclem  37692  ftc1anc  37702  cntotbnd  37797  3lexlogpow5ineq3  42052  3lexlogpow2ineq2  42054  3lexlogpow5ineq5  42055  aks4d1lem1  42057  0nonelalab  42062  aks4d1p1p3  42064  aks4d1p1p2  42065  aks4d1p1p4  42066  aks4d1p1p6  42068  aks4d1p1p7  42069  aks4d1p1p5  42070  aks4d1p1  42071  aks4d1p2  42072  aks4d1p3  42073  aks4d1p6  42076  aks4d1p7d1  42077  aks4d1p7  42078  aks4d1p8d3  42081  aks4d1p8  42082  2ap1caineq  42140  sticksstones1  42141  sn-addlt0d  42453  sn-addgt0d  42454  sn-mulgt1d  42474  fimgmcyc  42529  flt4lem7  42654  fltnlta  42658  pellexlem5  42828  pellfundex  42881  pellfundrp  42883  rmspecfund  42904  monotuz  42937  jm3.1lem2  43014  jm3.1lem3  43015  imo72b2  44168  prmunb2  44307  ltadd12dd  45346  infleinflem2  45374  sqrlearg  45558  lptre2pt  45645  0ellimcdiv  45654  limsup10exlem  45777  ioodvbdlimc1lem1  45936  iblspltprt  45978  itgspltprt  45984  stoweidlem7  46012  stoweidlem11  46016  stoweidlem13  46018  stoweidlem14  46019  stoweidlem26  46031  stoweidlem42  46047  stoweidlem52  46057  stoweidlem59  46064  stoweidlem60  46065  stoweidlem62  46067  wallispilem4  46073  wallispi  46075  stirlinglem1  46079  stirlinglem3  46081  stirlinglem6  46084  stirlinglem7  46085  stirlinglem10  46088  stirlinglem11  46089  dirkercncflem1  46108  dirkercncflem2  46109  fourierdlem10  46122  fourierdlem11  46123  fourierdlem12  46124  fourierdlem42  46154  fourierdlem47  46158  fourierdlem50  46161  fourierdlem51  46162  fourierdlem73  46184  fourierdlem79  46190  fourierdlem83  46194  fourierdlem103  46214  fourierdlem104  46215  sqwvfoura  46233  sqwvfourb  46234  fouriersw  46236  hoidmvlelem1  46600  hoiqssbllem2  46628  hspmbllem1  46631  pimrecltpos  46713  pimrecltneg  46729  smfaddlem1  46768  smflimlem3  46778  smflimlem4  46779  smfmullem1  46796  ormkglobd  46880  difmodm1lt  47364  fpprel2  47746  gpgedgvtx0  48056  gpgedgvtx1  48057  eenglngeehlnmlem2  48731