MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttrd 10794
Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
lttrd.5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
lttrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd
StepHypRef Expression
1 lttrd.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2 lttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐶)
3 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 lttr 10710 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 698 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2112   class class class wbr 5033  cr 10529   < clt 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-pre-lttrn 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673
This theorem is referenced by:  nnne0  11663  expgt1  13467  ltexp2a  13530  expcan  13533  ltexp2  13534  leexp2  13535  expnlbnd2  13595  expmulnbnd  13596  reccn2  14949  efgt1  15465  tanhlt1  15509  ruclem2  15581  isprm7  16046  pythagtriplem13  16158  fldivp1  16227  4sqlem12  16286  sylow1lem1  18719  telgsums  19110  chfacffsupp  21465  chfacfscmul0  21467  chfacfpmmul0  21471  nrginvrcnlem  23301  iccntr  23430  icccmplem2  23432  opnreen  23440  pjthlem1  24045  pmltpclem2  24057  ovollb2lem  24096  opnmbllem  24209  volivth  24215  lhop1lem  24620  dvcnvrelem1  24624  dvcvx  24627  ftc1lem4  24646  aaliou3lem7  24949  ulmdvlem1  24999  reeff1olem  25045  pilem2  25051  pilem3  25052  tangtx  25102  tanord1  25133  tanord  25134  rplogcl  25199  logimul  25209  logcnlem3  25239  efopnlem1  25251  cxplt  25289  cxple  25290  cxpcn3lem  25340  asinsin  25482  atanlogaddlem  25503  atanlogsublem  25505  cxp2limlem  25565  cxp2lim  25566  zetacvg  25604  lgamucov  25627  lgamcvg2  25644  ftalem1  25662  mersenne  25815  bposlem2  25873  bposlem6  25877  bposlem9  25880  lgsqrlem2  25935  lgsquadlem2  25969  chebbnd1lem2  26058  chebbnd1lem3  26059  chebbnd1  26060  chtppilimlem1  26061  chto1ub  26064  mulog2sumlem2  26123  chpdifbndlem1  26141  selberg3lem1  26145  pntrlog2bndlem2  26166  pntrlog2bndlem4  26168  pntpbnd1a  26173  pntpbnd1  26174  pntpbnd2  26175  pntibndlem1  26177  pntibndlem2  26179  pntibndlem3  26180  pntibnd  26181  pntlemb  26185  pntlemr  26190  pntlemf  26193  pnt  26202  ostth2lem1  26206  ostth2lem3  26223  ostth2lem4  26224  wwlksext2clwwlk  27846  frgrogt3nreg  28186  friendshipgt3  28187  pjhthlem1  29178  psgnfzto1stlem  30796  1smat1  31161  sqsscirc1  31265  xrge0iifiso  31292  sgnsub  31916  signslema  31946  chtvalz  32014  hgt750lemd  32033  knoppndvlem12  33976  knoppndvlem14  33978  knoppndvlem15  33979  knoppndvlem17  33981  knoppndvlem20  33984  poimirlem6  35062  poimirlem7  35063  poimirlem8  35064  poimirlem15  35071  poimirlem20  35076  poimirlem28  35084  opnmbllem0  35092  itg2gt0cn  35111  ftc1cnnclem  35127  ftc1anc  35137  cntotbnd  35233  2ap1caineq  39346  fltnlta  39612  pellexlem5  39767  pellfundex  39820  pellfundrp  39822  rmspecfund  39843  monotuz  39875  jm3.1lem2  39952  jm3.1lem3  39953  imo72b2  40871  prmunb2  41008  neglt  41908  ltadd12dd  41968  infleinflem2  41996  sqrlearg  42183  lptre2pt  42275  0ellimcdiv  42284  limsup10exlem  42407  ioodvbdlimc1lem1  42566  iblspltprt  42608  itgspltprt  42614  stoweidlem7  42642  stoweidlem11  42646  stoweidlem13  42648  stoweidlem14  42649  stoweidlem26  42661  stoweidlem42  42677  stoweidlem52  42687  stoweidlem59  42694  stoweidlem60  42695  stoweidlem62  42697  wallispilem4  42703  wallispi  42705  stirlinglem1  42709  stirlinglem3  42711  stirlinglem6  42714  stirlinglem7  42715  stirlinglem10  42718  stirlinglem11  42719  dirkercncflem1  42738  dirkercncflem2  42739  fourierdlem10  42752  fourierdlem11  42753  fourierdlem12  42754  fourierdlem42  42784  fourierdlem47  42788  fourierdlem50  42791  fourierdlem51  42792  fourierdlem73  42814  fourierdlem79  42820  fourierdlem83  42824  fourierdlem103  42844  fourierdlem104  42845  sqwvfoura  42863  sqwvfourb  42864  fouriersw  42866  hoidmvlelem1  43227  hoiqssbllem2  43255  hspmbllem1  43258  pimrecltpos  43337  pimrecltneg  43351  smfaddlem1  43389  smflimlem3  43399  smflimlem4  43400  smfmullem1  43416  fpprel2  44252  eenglngeehlnmlem2  45145
  Copyright terms: Public domain W3C validator