Theorem lttrd 11325

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 11240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ℝcr 11059   < clt 11198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203

This theorem is referenced by:  nnne0  12196  expgt1  14016  ltexp2a  14081  expcan  14084  ltexp2  14085  leexp2  14086  expnlbnd2  14147  expmulnbnd  14148  reccn2  15491  efgt1  16009  tanhlt1  16053  ruclem2  16125  isprm7  16595  pythagtriplem13  16710  fldivp1  16780  4sqlem12  16839  sylow1lem1  19394  telgsums  19784  chfacffsupp  22242  chfacfscmul0  22244  chfacfpmmul0  22248  nrginvrcnlem  24092  iccntr  24221  icccmplem2  24223  opnreen  24231  pjthlem1  24838  pmltpclem2  24850  ovollb2lem  24889  opnmbllem  25002  volivth  25008  lhop1lem  25414  dvcnvrelem1  25418  dvcvx  25421  ftc1lem4  25440  aaliou3lem7  25746  ulmdvlem1  25796  reeff1olem  25842  pilem2  25848  pilem3  25849  tangtx  25899  tanord1  25930  tanord  25931  rplogcl  25996  logimul  26006  logcnlem3  26036  efopnlem1  26048  cxplt  26086  cxple  26087  cxpcn3lem  26137  asinsin  26279  atanlogaddlem  26300  atanlogsublem  26302  cxp2limlem  26362  cxp2lim  26363  zetacvg  26401  lgamucov  26424  lgamcvg2  26441  ftalem1  26459  mersenne  26612  bposlem2  26670  bposlem6  26674  bposlem9  26677  lgsqrlem2  26732  lgsquadlem2  26766  chebbnd1lem2  26855  chebbnd1lem3  26856  chebbnd1  26857  chtppilimlem1  26858  chto1ub  26861  mulog2sumlem2  26920  chpdifbndlem1  26938  selberg3lem1  26942  pntrlog2bndlem2  26963  pntrlog2bndlem4  26965  pntpbnd1a  26970  pntpbnd1  26971  pntpbnd2  26972  pntibndlem1  26974  pntibndlem2  26976  pntibndlem3  26977  pntibnd  26978  pntlemb  26982  pntlemr  26987  pntlemf  26990  pnt  26999  ostth2lem1  27003  ostth2lem3  27020  ostth2lem4  27021  wwlksext2clwwlk  29064  frgrogt3nreg  29404  friendshipgt3  29405  pjhthlem1  30396  psgnfzto1stlem  32019  1smat1  32474  sqsscirc1  32578  xrge0iifiso  32605  sgnsub  33233  signslema  33263  chtvalz  33331  hgt750lemd  33350  knoppndvlem12  35062  knoppndvlem14  35064  knoppndvlem15  35065  knoppndvlem17  35067  knoppndvlem20  35070  poimirlem6  36157  poimirlem7  36158  poimirlem8  36159  poimirlem15  36166  poimirlem20  36171  poimirlem28  36179  opnmbllem0  36187  itg2gt0cn  36206  ftc1cnnclem  36222  ftc1anc  36232  cntotbnd  36328  3lexlogpow5ineq3  40587  3lexlogpow2ineq2  40589  3lexlogpow5ineq5  40590  aks4d1lem1  40592  0nonelalab  40597  aks4d1p1p3  40599  aks4d1p1p2  40600  aks4d1p1p4  40601  aks4d1p1p6  40603  aks4d1p1p7  40604  aks4d1p1p5  40605  aks4d1p1  40606  aks4d1p2  40607  aks4d1p3  40608  aks4d1p6  40611  aks4d1p7d1  40612  aks4d1p7  40613  aks4d1p8d3  40616  aks4d1p8  40617  2ap1caineq  40626  sticksstones1  40627  sn-addlt0d  40973  sn-addgt0d  40974  flt4lem7  41055  fltnlta  41059  pellexlem5  41214  pellfundex  41267  pellfundrp  41269  rmspecfund  41290  monotuz  41323  jm3.1lem2  41400  jm3.1lem3  41401  imo72b2  42567  prmunb2  42713  neglt  43639  ltadd12dd  43698  infleinflem2  43726  sqrlearg  43911  lptre2pt  44001  0ellimcdiv  44010  limsup10exlem  44133  ioodvbdlimc1lem1  44292  iblspltprt  44334  itgspltprt  44340  stoweidlem7  44368  stoweidlem11  44372  stoweidlem13  44374  stoweidlem14  44375  stoweidlem26  44387  stoweidlem42  44403  stoweidlem52  44413  stoweidlem59  44420  stoweidlem60  44421  stoweidlem62  44423  wallispilem4  44429  wallispi  44431  stirlinglem1  44435  stirlinglem3  44437  stirlinglem6  44440  stirlinglem7  44441  stirlinglem10  44444  stirlinglem11  44445  dirkercncflem1  44464  dirkercncflem2  44465  fourierdlem10  44478  fourierdlem11  44479  fourierdlem12  44480  fourierdlem42  44510  fourierdlem47  44514  fourierdlem50  44517  fourierdlem51  44518  fourierdlem73  44540  fourierdlem79  44546  fourierdlem83  44550  fourierdlem103  44570  fourierdlem104  44571  sqwvfoura  44589  sqwvfourb  44590  fouriersw  44592  hoidmvlelem1  44956  hoiqssbllem2  44984  hspmbllem1  44987  pimrecltpos  45069  pimrecltneg  45085  smfaddlem1  45124  smflimlem3  45134  smflimlem4  45135  smfmullem1  45152  fpprel2  46053  eenglngeehlnmlem2  46944