Theorem lttrd 11510

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 11425	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   < clt 11382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  mulgt1  12218  nnne0  12412  neglt  13180  expgt1  14283  ltexp2a  14349  expcan  14352  ltexp2  14353  leexp2  14354  expnlbnd2  14419  expmulnbnd  14420  sgnsub  15302  reccn2  15808  efgt1  16328  tanhlt1  16372  ruclem2  16444  isprm7  16928  pythagtriplem13  17049  fldivp1  17119  4sqlem12  17178  chnub  18846  chnccat  18850  sylow1lem1  19863  telgsums  20258  chfacffsupp  23229  chfacfscmul0  23231  chfacfpmmul0  23235  nrginvrcnlem  25065  iccntr  25196  icccmplem2  25198  opnreen  25206  pjthlem1  25813  pmltpclem2  25825  ovollb2lem  25864  opnmbllem  25977  volivth  25983  lhop1lem  26388  dvcnvrelem1  26392  dvcvx  26395  ftc1lem4  26414  aaliou3lem7  26733  ulmdvlem1  26784  reeff1olem  26830  pilem2  26836  pilem3  26837  tangtx  26891  tanord1  26922  tanord  26923  rplogcl  26989  logimul  26999  logcnlem3  27029  efopnlem1  27041  cxplt  27079  cxple  27080  cxpcn3lem  27132  asinsin  27277  atanlogaddlem  27298  atanlogsublem  27300  cxp2limlem  27360  cxp2lim  27361  zetacvg  27399  lgamucov  27422  lgamcvg2  27439  ftalem1  27457  mersenne  27611  bposlem2  27669  bposlem6  27673  bposlem9  27676  lgsqrlem2  27731  lgsquadlem2  27765  chebbnd1lem2  27854  chebbnd1lem3  27855  chebbnd1  27856  chtppilimlem1  27857  chto1ub  27860  mulog2sumlem2  27919  chpdifbndlem1  27937  selberg3lem1  27941  pntrlog2bndlem2  27962  pntrlog2bndlem4  27964  pntpbnd1a  27969  pntpbnd1  27970  pntpbnd2  27971  pntibndlem1  27973  pntibndlem2  27975  pntibndlem3  27976  pntibnd  27977  pntlemb  27981  pntlemr  27986  pntlemf  27989  pnt  27998  ostth2lem1  28002  ostth2lem3  28019  ostth2lem4  28020  flt4lem7  28046  wwlksext2clwwlk  30705  frgrogt3nreg  31055  friendshipgt3  31056  pjhthlem1  32050  psgnfzto1stlem  33760  1smat1  34547  sqsscirc1  34651  xrge0iifiso  34678  signslema  35302  chtvalz  35369  hgt750lemd  35388  knoppndvlem12  37604  knoppndvlem14  37606  knoppndvlem15  37607  knoppndvlem17  37609  knoppndvlem20  37612  poimirlem6  38812  poimirlem7  38813  poimirlem8  38814  poimirlem15  38821  poimirlem20  38826  poimirlem28  38834  opnmbllem0  38842  itg2gt0cn  38861  ftc1cnnclem  38877  ftc1anc  38887  cntotbnd  38996  3lexlogpow5ineq3  43373  3lexlogpow2ineq2  43375  3lexlogpow5ineq5  43376  aks4d1lem1  43378  0nonelalab  43383  aks4d1p1p3  43385  aks4d1p1p2  43386  aks4d1p1p4  43387  aks4d1p1p6  43389  aks4d1p1p7  43390  aks4d1p1p5  43391  aks4d1p1  43392  aks4d1p2  43393  aks4d1p3  43394  aks4d1p6  43397  aks4d1p7d1  43398  aks4d1p7  43399  aks4d1p8d3  43402  aks4d1p8  43403  2ap1caineq  43461  sticksstones1  43462  sn-addlt0d  43788  sn-addgt0d  43789  sn-mulgt1d  43809  fimgmcyc  43864  fltnlta  43940  pellexlem5  44106  pellfundex  44159  pellfundrp  44161  rmspecfund  44182  monotuz  44214  jm3.1lem2  44291  jm3.1lem3  44292  imo72b2  45433  prmunb2  45556  ltadd12dd  46628  infleinflem2  46655  sqrlearg  46838  lptre2pt  46923  0ellimcdiv  46932  limsup10exlem  47055  ioodvbdlimc1lem1  47214  iblspltprt  47256  itgspltprt  47262  stoweidlem7  47290  stoweidlem11  47294  stoweidlem13  47296  stoweidlem14  47297  stoweidlem26  47309  stoweidlem42  47325  stoweidlem52  47335  stoweidlem59  47342  stoweidlem60  47343  stoweidlem62  47345  wallispilem4  47351  wallispi  47353  stirlinglem1  47357  stirlinglem3  47359  stirlinglem6  47362  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  stirlinglem11  47367  dirkercncflem1  47386  dirkercncflem2  47387  fourierdlem10  47400  fourierdlem11  47401  fourierdlem12  47402  fourierdlem42  47432  fourierdlem47  47436  fourierdlem50  47439  fourierdlem51  47440  fourierdlem73  47462  fourierdlem79  47468  fourierdlem83  47472  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  sqwvfoura  47511  sqwvfourb  47512  fouriersw  47514  hoidmvlelem1  47878  hoiqssbllem2  47906  hspmbllem1  47909  pimrecltpos  47991  pimrecltneg  48007  smfaddlem1  48046  smflimlem3  48056  smflimlem4  48057  smfmullem1  48074  ormkglobd  48160  chnsubseq  48163  difmodm1lt  48708  2timesltsqm1  48722  fpprel2  49112  gpgedgvtx0  49432  gpgedgvtx1  49433  eenglngeehlnmlem2  50182