Theorem lttrd 11145

Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
lttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
lttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
lttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem lttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		lttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		lttr 11060	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 696	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  ℝcr 10879   < clt 11018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-pre-lttrn 10955

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023

This theorem is referenced by:  nnne0  12016  expgt1  13830  ltexp2a  13893  expcan  13896  ltexp2  13897  leexp2  13898  expnlbnd2  13958  expmulnbnd  13959  reccn2  15315  efgt1  15834  tanhlt1  15878  ruclem2  15950  isprm7  16422  pythagtriplem13  16537  fldivp1  16607  4sqlem12  16666  sylow1lem1  19212  telgsums  19603  chfacffsupp  22014  chfacfscmul0  22016  chfacfpmmul0  22020  nrginvrcnlem  23864  iccntr  23993  icccmplem2  23995  opnreen  24003  pjthlem1  24610  pmltpclem2  24622  ovollb2lem  24661  opnmbllem  24774  volivth  24780  lhop1lem  25186  dvcnvrelem1  25190  dvcvx  25193  ftc1lem4  25212  aaliou3lem7  25518  ulmdvlem1  25568  reeff1olem  25614  pilem2  25620  pilem3  25621  tangtx  25671  tanord1  25702  tanord  25703  rplogcl  25768  logimul  25778  logcnlem3  25808  efopnlem1  25820  cxplt  25858  cxple  25859  cxpcn3lem  25909  asinsin  26051  atanlogaddlem  26072  atanlogsublem  26074  cxp2limlem  26134  cxp2lim  26135  zetacvg  26173  lgamucov  26196  lgamcvg2  26213  ftalem1  26231  mersenne  26384  bposlem2  26442  bposlem6  26446  bposlem9  26449  lgsqrlem2  26504  lgsquadlem2  26538  chebbnd1lem2  26627  chebbnd1lem3  26628  chebbnd1  26629  chtppilimlem1  26630  chto1ub  26633  mulog2sumlem2  26692  chpdifbndlem1  26710  selberg3lem1  26714  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem4  26737  pntpbnd1a  26742  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  pntibndlem1  26746  pntibndlem2  26748  pntibndlem3  26749  pntibnd  26750  pntlemb  26754  pntlemr  26759  pntlemf  26762  pnt  26771  ostth2lem1  26775  ostth2lem3  26792  ostth2lem4  26793  wwlksext2clwwlk  28430  frgrogt3nreg  28770  friendshipgt3  28771  pjhthlem1  29762  psgnfzto1stlem  31376  1smat1  31763  sqsscirc1  31867  xrge0iifiso  31894  sgnsub  32520  signslema  32550  chtvalz  32618  hgt750lemd  32637  knoppndvlem12  34712  knoppndvlem14  34714  knoppndvlem15  34715  knoppndvlem17  34717  knoppndvlem20  34720  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem8  35794  poimirlem15  35801  poimirlem20  35806  poimirlem28  35814  opnmbllem0  35822  itg2gt0cn  35841  ftc1cnnclem  35857  ftc1anc  35867  cntotbnd  35963  3lexlogpow5ineq3  40072  3lexlogpow2ineq2  40074  3lexlogpow5ineq5  40075  aks4d1lem1  40077  0nonelalab  40082  aks4d1p1p3  40084  aks4d1p1p2  40085  aks4d1p1p4  40086  aks4d1p1p6  40088  aks4d1p1p7  40089  aks4d1p1p5  40090  aks4d1p1  40091  aks4d1p2  40092  aks4d1p3  40093  aks4d1p6  40096  aks4d1p7d1  40097  aks4d1p7  40098  aks4d1p8d3  40101  aks4d1p8  40102  2ap1caineq  40108  sticksstones1  40109  flt4lem7  40503  fltnlta  40507  pellexlem5  40662  pellfundex  40715  pellfundrp  40717  rmspecfund  40738  monotuz  40770  jm3.1lem2  40847  jm3.1lem3  40848  imo72b2  41790  prmunb2  41936  neglt  42830  ltadd12dd  42889  infleinflem2  42917  sqrlearg  43098  lptre2pt  43188  0ellimcdiv  43197  limsup10exlem  43320  ioodvbdlimc1lem1  43479  iblspltprt  43521  itgspltprt  43527  stoweidlem7  43555  stoweidlem11  43559  stoweidlem13  43561  stoweidlem14  43562  stoweidlem26  43574  stoweidlem42  43590  stoweidlem52  43600  stoweidlem59  43607  stoweidlem60  43608  stoweidlem62  43610  wallispilem4  43616  wallispi  43618  stirlinglem1  43622  stirlinglem3  43624  stirlinglem6  43627  stirlinglem7  43628  stirlinglem10  43631  stirlinglem11  43632  dirkercncflem1  43651  dirkercncflem2  43652  fourierdlem10  43665  fourierdlem11  43666  fourierdlem12  43667  fourierdlem42  43697  fourierdlem47  43701  fourierdlem50  43704  fourierdlem51  43705  fourierdlem73  43727  fourierdlem79  43733  fourierdlem83  43737  fourierdlem103  43757  fourierdlem104  43758  sqwvfoura  43776  sqwvfourb  43777  fouriersw  43779  hoidmvlelem1  44140  hoiqssbllem2  44168  hspmbllem1  44171  pimrecltpos  44253  pimrecltneg  44269  smfaddlem1  44308  smflimlem3  44318  smflimlem4  44319  smfmullem1  44336  fpprel2  45204  eenglngeehlnmlem2  46095