Theorem ltletrd 10536

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 10468	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 689	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107   class class class wbr 4886  ℝcr 10271   < clt 10411   ≤ cle 10412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417

This theorem is referenced by:  lelttrdi  10538  uzwo3  12090  rpgecl  12167  fznatpl1  12712  modabs  13022  seqf1olem1  13158  expgt1  13216  leexp2a  13234  bernneq3  13311  expnbnd  13312  expmulnbnd  13315  digit1  13317  discr1  13319  hashfun  13538  seqcoll2  13563  abssubne0  14463  icodiamlt  14582  reccn2  14735  isercolllem1  14803  isumltss  14984  fprodntriv  15075  efcllem  15210  sin01bnd  15317  cos01bnd  15318  sin01gt0  15322  eirrlem  15336  rpnnen2lem11  15357  ruclem10  15372  bitsmod  15564  bitsinv1lem  15569  smuval2  15610  prmreclem5  16028  1arith  16035  2expltfac  16198  mndodconglem  18344  sylow1lem1  18397  gzrngunit  20208  nlmvscnlem1  22898  nrginvrcnlem  22903  iccpnfhmeo  23152  cnheibor  23162  evth  23166  lebnumlem1  23168  ipcnlem1  23451  lmnn  23469  ovolicc2lem2  23722  itg2monolem1  23954  itg2monolem3  23956  dvferm1lem  24184  dvcnvre  24219  dvfsumlem3  24228  dvfsumrlim  24231  plyco0  24385  aaliou2b  24533  pilem2  24643  cosordlem  24715  logdivlti  24803  logdivle  24805  logcnlem3  24827  logcnlem4  24828  cxpcn3lem  24928  atanre  25063  atanlogaddlem  25091  atans2  25109  ressatans  25112  birthdaylem3  25132  cxp2lim  25155  cxploglim2  25157  jensenlem2  25166  harmonicubnd  25188  fsumharmonic  25190  lgamgulmlem2  25208  lgamgulmlem3  25209  lgamucov  25216  ftalem2  25252  ftalem5  25255  vma1  25344  chtrpcl  25353  ppiltx  25355  fsumfldivdiaglem  25367  chtub  25389  fsumvma2  25391  chpval2  25395  chpchtsum  25396  chpub  25397  bpos1  25460  bposlem1  25461  bposlem2  25462  bposlem6  25466  gausslemma2dlem0c  25535  lgsquadlem1  25557  chebbnd1lem1  25610  chebbnd1lem2  25611  chebbnd1lem3  25612  chebbnd1  25613  chtppilimlem1  25614  chtppilimlem2  25615  chtppilim  25616  chto1ub  25617  chebbnd2  25618  chto1lb  25619  chpchtlim  25620  chpo1ub  25621  rplogsumlem2  25626  dchrisumlema  25629  dchrisumlem3  25632  dchrmusumlema  25634  dchrvmasumlem2  25639  dchrvmasumiflem1  25642  dchrisum0lema  25655  mulog2sumlem1  25675  chpdifbndlem1  25694  chpdifbnd  25696  pntrsumo1  25706  pntpbnd1  25727  pntpbnd2  25728  pntibndlem2  25732  pntlemb  25738  pntlemh  25740  pntlemr  25743  pntlem3  25750  pnt2  25754  ostth2lem1  25759  ostth2lem3  25776  ostth2lem4  25777  axsegconlem7  26272  axsegconlem10  26275  axlowdimlem16  26306  axcontlem2  26314  axcontlem4  26316  axcontlem7  26319  clwlkclwwlklem2a2  27373  clwwlkext2edg  27453  smatrcl  30460  1smat1  30468  lmdvg  30597  dya2icoseg  30937  eulerpartlems  31020  reprlt  31299  reprinfz1  31302  breprexplemc  31312  hgt750lemd  31328  hgt750lem  31331  hgt750leme  31338  tgoldbachgtde  31340  subfacval3  31770  knoppndvlem1  33085  knoppndvlem2  33086  knoppndvlem7  33091  knoppndvlem14  33098  knoppndvlem18  33102  poimirlem7  34042  poimirlem24  34059  poimirlem29  34064  mblfinlem2  34073  itg2addnclem  34086  itg2addnclem3  34088  ftc1anclem5  34114  ftc1anclem7  34116  ftc1anc  34118  areacirclem5  34129  irrapxlem4  38349  irrapxlem5  38350  pellexlem2  38354  pell14qrgapw  38400  pellqrex  38403  pellfundgt1  38407  pellfundex  38410  ltrmxnn0  38475  jm2.24nn  38485  jm2.17c  38488  jm2.24  38489  jm2.23  38522  jm3.1lem1  38543  jm3.1lem2  38544  radcnvrat  39469  dstregt0  40403  monoords  40420  uzubioo  40702  fsumnncl  40711  mullimc  40756  mullimcf  40763  sumnnodd  40770  limcleqr  40784  addlimc  40788  0ellimcdiv  40789  limclner  40791  limsupgtlem  40917  dvdivbd  41066  ioodvbdlimc1lem1  41074  ioodvbdlimc1lem2  41075  ioodvbdlimc2lem  41077  dvnmul  41086  iblspltprt  41116  itgspltprt  41122  stoweidlem11  41155  stoweidlem24  41168  stoweidlem25  41169  stoweidlem26  41170  stoweidlem34  41178  stoweidlem36  41180  stoweidlem42  41186  stoweidlem44  41188  stoweidlem51  41195  stoweidlem59  41203  wallispi  41214  wallispi2lem1  41215  wallispi2  41217  stirlinglem11  41228  dirkertrigeqlem1  41242  dirkeritg  41246  fourierdlem10  41261  fourierdlem11  41262  fourierdlem12  41263  fourierdlem15  41266  fourierdlem19  41270  fourierdlem20  41271  fourierdlem30  41281  fourierdlem32  41283  fourierdlem40  41291  fourierdlem41  41292  fourierdlem44  41295  fourierdlem46  41296  fourierdlem47  41297  fourierdlem48  41298  fourierdlem49  41299  fourierdlem50  41300  fourierdlem63  41313  fourierdlem64  41314  fourierdlem65  41315  fourierdlem74  41324  fourierdlem75  41325  fourierdlem76  41326  fourierdlem78  41328  fourierdlem79  41329  fourierdlem89  41339  fourierdlem92  41342  fourierdlem103  41353  fourierdlem104  41354  fouriersw  41375  etransclem4  41382  etransclem23  41401  etransclem31  41409  etransclem32  41410  etransclem35  41413  etransclem41  41419  etransclem48  41426  ioorrnopnlem  41448  sge0uzfsumgt  41585  sge0seq  41587  iundjiun  41601  carageniuncllem2  41663  hoidmvlelem3  41738  iunhoiioolem  41816  vonioolem1  41821  smfmullem1  41925  smfmullem2  41926  smfmullem3  41927  bgoldbtbndlem2  42719  logbpw2m1  43376