Theorem ltletrd 11393

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 11325	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11126   < clt 11267   ≤ cle 11268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is referenced by:  lelttrdi  11395  uzwo3  12957  rpgecl  13035  fznatpl1  13593  modabs  13919  seqf1olem1  14057  expgt1  14116  leexp2a  14188  bernneq3  14247  expnbnd  14248  expmulnbnd  14251  digit1  14253  discr1  14255  hashfun  14453  seqcoll2  14481  abssubne0  15333  icodiamlt  15452  reccn2  15611  isercolllem1  15679  isumltss  15862  fprodntriv  15956  efcllem  16091  sin01bnd  16201  cos01bnd  16202  sin01gt0  16206  eirrlem  16220  rpnnen2lem11  16240  ruclem10  16255  bitsmod  16453  bitsinv1lem  16458  smuval2  16499  prmreclem5  16938  1arith  16945  2expltfac  17110  mndodconglem  19520  sylow1lem1  19577  gzrngunit  21399  nlmvscnlem1  24623  nrginvrcnlem  24628  iccpnfhmeo  24892  cnheibor  24903  evth  24907  lebnumlem1  24909  ipcnlem1  25195  lmnn  25213  ovolicc2lem2  25469  itg2monolem1  25701  itg2monolem3  25703  dvferm1lem  25938  dvcnvre  25974  dvfsumlem3  25985  dvfsumrlim  25988  plyco0  26147  aaliou2b  26299  pilem2  26412  cosq34lt1  26486  cosordlem  26489  logdivlti  26579  logdivle  26581  logcnlem3  26603  logcnlem4  26604  cxpcn3lem  26707  atanre  26845  atanlogaddlem  26873  atans2  26891  birthdaylem3  26913  cxp2lim  26937  cxploglim2  26939  jensenlem2  26948  harmonicubnd  26970  fsumharmonic  26972  lgamgulmlem2  26990  lgamgulmlem3  26991  lgamucov  26998  ftalem2  27034  ftalem5  27037  vma1  27126  chtrpcl  27135  ppiltx  27137  fsumfldivdiaglem  27149  chtub  27173  fsumvma2  27175  chpval2  27179  chpchtsum  27180  chpub  27181  bpos1  27244  bposlem1  27245  bposlem2  27246  bposlem6  27250  gausslemma2dlem0c  27319  lgsquadlem1  27341  chebbnd1lem1  27430  chebbnd1lem2  27431  chebbnd1lem3  27432  chebbnd1  27433  chtppilimlem1  27434  chtppilimlem2  27435  chtppilim  27436  chto1ub  27437  chebbnd2  27438  chto1lb  27439  chpchtlim  27440  chpo1ub  27441  rplogsumlem2  27446  dchrisumlema  27449  dchrisumlem3  27452  dchrmusumlema  27454  dchrvmasumlem2  27459  dchrvmasumiflem1  27462  dchrisum0lema  27475  mulog2sumlem1  27495  chpdifbndlem1  27514  chpdifbnd  27516  pntrsumo1  27526  pntpbnd1  27547  pntpbnd2  27548  pntibndlem2  27552  pntlemb  27558  pntlemh  27560  pntlemr  27563  pntlem3  27570  pnt2  27574  ostth2lem1  27579  ostth2lem3  27596  ostth2lem4  27597  axsegconlem7  28848  axsegconlem10  28851  axlowdimlem16  28882  axcontlem2  28890  axcontlem4  28892  axcontlem7  28895  clwlkclwwlklem2a2  29920  clwwlkext2edg  29983  smatrcl  33773  1smat1  33781  lmdvg  33930  dya2icoseg  34255  eulerpartlems  34338  reprlt  34597  reprinfz1  34600  breprexplemc  34610  hgt750lemd  34626  hgt750lem  34629  hgt750leme  34636  tgoldbachgtde  34638  subfacval3  35157  knoppndvlem1  36476  knoppndvlem2  36477  knoppndvlem7  36482  knoppndvlem14  36489  knoppndvlem18  36493  poimirlem7  37597  poimirlem24  37614  poimirlem29  37619  mblfinlem2  37628  itg2addnclem  37641  itg2addnclem3  37643  ftc1anclem5  37667  ftc1anclem7  37669  ftc1anc  37671  areacirclem5  37682  lcmineqlem23  42010  3lexlogpow5ineq2  42014  3lexlogpow5ineq4  42015  3lexlogpow5ineq3  42016  aks4d1lem1  42021  dvrelog2  42023  aks4d1p1p3  42028  aks4d1p1p2  42029  aks4d1p1p4  42030  aks4d1p1p6  42032  aks4d1p1p7  42033  aks4d1p1p5  42034  aks4d1p1  42035  aks4d1p2  42036  aks4d1p3  42037  aks4d1p5  42039  aks4d1p6  42040  aks4d1p7d1  42041  aks4d1p7  42042  aks4d1p8d2  42044  aks4d1p8  42046  aks4d1p9  42047  posbezout  42059  hashscontpow1  42080  aks6d1c3  42082  2ap1caineq  42104  sticksstones12a  42116  sticksstones22  42127  aks6d1c7lem1  42139  aks6d1c7lem2  42140  aks6d1c7  42143  aks5lem6  42151  aks5lem8  42160  metakunt6  42169  metakunt11  42174  metakunt27  42190  metakunt28  42191  flt4lem7  42629  3cubeslem1  42654  irrapxlem4  42795  irrapxlem5  42796  pellexlem2  42800  pell14qrgapw  42846  pellqrex  42849  pellfundgt1  42853  pellfundex  42856  ltrmxnn0  42920  jm2.24nn  42930  jm2.17c  42933  jm2.24  42934  jm2.23  42967  jm3.1lem1  42988  jm3.1lem2  42989  radcnvrat  44286  dstregt0  45258  monoords  45274  uzubioo  45542  fsumnncl  45549  mullimc  45593  mullimcf  45600  sumnnodd  45607  limcleqr  45621  addlimc  45625  0ellimcdiv  45626  limclner  45628  limsupgtlem  45754  dvdivbd  45900  ioodvbdlimc1lem1  45908  ioodvbdlimc1lem2  45909  ioodvbdlimc2lem  45911  dvnmul  45920  iblspltprt  45950  itgspltprt  45956  stoweidlem11  45988  stoweidlem24  46001  stoweidlem25  46002  stoweidlem26  46003  stoweidlem34  46011  stoweidlem36  46013  stoweidlem42  46019  stoweidlem44  46021  stoweidlem51  46028  stoweidlem59  46036  wallispi  46047  wallispi2lem1  46048  wallispi2  46050  stirlinglem11  46061  dirkertrigeqlem1  46075  dirkeritg  46079  fourierdlem10  46094  fourierdlem11  46095  fourierdlem12  46096  fourierdlem15  46099  fourierdlem19  46103  fourierdlem20  46104  fourierdlem30  46114  fourierdlem32  46116  fourierdlem40  46124  fourierdlem41  46125  fourierdlem44  46128  fourierdlem46  46129  fourierdlem47  46130  fourierdlem48  46131  fourierdlem49  46132  fourierdlem50  46133  fourierdlem63  46146  fourierdlem64  46147  fourierdlem65  46148  fourierdlem74  46157  fourierdlem75  46158  fourierdlem76  46159  fourierdlem78  46161  fourierdlem79  46162  fourierdlem89  46172  fourierdlem92  46175  fourierdlem103  46186  fourierdlem104  46187  fouriersw  46208  etransclem4  46215  etransclem23  46234  etransclem31  46242  etransclem32  46243  etransclem35  46246  etransclem41  46252  etransclem48  46259  ioorrnopnlem  46281  sge0uzfsumgt  46421  sge0seq  46423  iundjiun  46437  carageniuncllem2  46499  hoidmvlelem3  46574  iunhoiioolem  46652  vonioolem1  46657  smfmullem1  46768  smfmullem2  46769  smfmullem3  46770  ceilhalfgt1  47306  bgoldbtbndlem2  47768  gpgprismgrusgra  48010  gpg3nbgrvtx0  48026  gpg3kgrtriexlem1  48033  logbpw2m1  48495