Theorem ltletrd 11365

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 11297	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  lelttrdi  11367  uzwo3  12962  rpgecl  13041  fznatpl1  13602  modabs  13933  seqf1olem1  14073  expgt1  14132  leexp2a  14204  bernneq3  14263  expnbnd  14264  expmulnbnd  14267  digit1  14269  discr1  14271  hashfun  14470  seqcoll2  14498  abssubne0  15364  icodiamlt  15485  reccn2  15644  isercolllem1  15712  isumltss  15898  fprodntriv  15992  efcllem  16126  sin01bnd  16236  cos01bnd  16237  sin01gt0  16241  eirrlem  16255  rpnnen2lem11  16275  ruclem10  16290  bitsmod  16489  bitsinv1lem  16494  smuval2  16535  prmreclem5  16975  1arith  16982  2expltfac  17147  mndodconglem  19606  sylow1lem1  19663  gzrngunit  21583  nlmvscnlem1  24843  nrginvrcnlem  24848  iccpnfhmeo  25104  cnheibor  25114  evth  25118  lebnumlem1  25120  ipcnlem1  25404  lmnn  25422  ovolicc2lem2  25677  itg2monolem1  25909  itg2monolem3  25911  dvferm1lem  26143  dvcnvre  26178  dvfsumlem3  26187  dvfsumrlim  26190  plyco0  26349  aaliou2b  26504  pilem2  26615  cosq34lt1  26692  cosordlem  26695  logdivlti  26785  logdivle  26787  logcnlem3  26809  logcnlem4  26810  cxpcn3lem  26912  atanre  27050  atanlogaddlem  27078  atans2  27096  birthdaylem3  27118  cxp2lim  27141  cxploglim2  27143  jensenlem2  27152  harmonicubnd  27174  fsumharmonic  27176  lgamgulmlem2  27194  lgamgulmlem3  27195  lgamucov  27202  ftalem2  27238  ftalem5  27241  vma1  27330  chtrpcl  27339  ppiltx  27341  fsumfldivdiaglem  27353  chtub  27376  fsumvma2  27378  chpval2  27382  chpchtsum  27383  chpub  27384  bpos1  27447  bposlem1  27448  bposlem2  27449  bposlem6  27453  gausslemma2dlem0c  27522  lgsquadlem1  27544  chebbnd1lem1  27633  chebbnd1lem2  27634  chebbnd1lem3  27635  chebbnd1  27636  chtppilimlem1  27637  chtppilimlem2  27638  chtppilim  27639  chto1ub  27640  chebbnd2  27641  chto1lb  27642  chpchtlim  27643  chpo1ub  27644  rplogsumlem2  27649  dchrisumlema  27652  dchrisumlem3  27655  dchrmusumlema  27657  dchrvmasumlem2  27662  dchrvmasumiflem1  27665  dchrisum0lema  27678  mulog2sumlem1  27698  chpdifbndlem1  27717  chpdifbnd  27719  pntrsumo1  27729  pntpbnd1  27750  pntpbnd2  27751  pntibndlem2  27755  pntlemb  27761  pntlemh  27763  pntlemr  27766  pntlem3  27773  pnt2  27777  ostth2lem1  27782  ostth2lem3  27799  ostth2lem4  27800  axsegconlem7  29273  axsegconlem10  29276  axlowdimlem16  29307  axcontlem2  29315  axcontlem4  29317  axcontlem7  29320  clwlkclwwlklem2a2  30344  clwwlkext2edg  30407  smatrcl  34186  1smat1  34194  lmdvg  34343  dya2icoseg  34667  eulerpartlems  34750  reprlt  35006  reprinfz1  35009  breprexplemc  35019  hgt750lemd  35035  hgt750lem  35038  hgt750leme  35045  tgoldbachgtde  35047  subfacval3  35681  knoppndvlem1  37101  knoppndvlem2  37102  knoppndvlem7  37107  knoppndvlem14  37114  knoppndvlem18  37118  poimirlem7  38278  poimirlem24  38295  poimirlem29  38300  mblfinlem2  38309  itg2addnclem  38322  itg2addnclem3  38324  ftc1anclem5  38348  ftc1anclem7  38350  ftc1anc  38352  areacirclem5  38363  lcmineqlem23  42818  3lexlogpow5ineq2  42822  3lexlogpow5ineq4  42823  3lexlogpow5ineq3  42824  aks4d1lem1  42829  dvrelog2  42831  aks4d1p1p3  42836  aks4d1p1p2  42837  aks4d1p1p4  42838  aks4d1p1p6  42840  aks4d1p1p7  42841  aks4d1p1p5  42842  aks4d1p1  42843  aks4d1p2  42844  aks4d1p3  42845  aks4d1p5  42847  aks4d1p6  42848  aks4d1p7d1  42849  aks4d1p7  42850  aks4d1p8d2  42852  aks4d1p8  42854  aks4d1p9  42855  posbezout  42867  hashscontpow1  42888  aks6d1c3  42890  2ap1caineq  42912  sticksstones12a  42924  sticksstones22  42935  aks6d1c7lem1  42947  aks6d1c7lem2  42948  aks6d1c7  42951  aks5lem6  42959  aks5lem8  42968  flt4lem7  43391  3cubeslem1  43415  irrapxlem4  43552  irrapxlem5  43553  pellexlem2  43557  pell14qrgapw  43603  pellqrex  43606  pellfundgt1  43610  pellfundex  43613  ltrmxnn0  43676  jm2.24nn  43686  jm2.17c  43689  jm2.24  43690  jm2.23  43723  jm3.1lem1  43744  jm3.1lem2  43745  radcnvrat  45024  dstregt0  46001  monoords  46016  uzubioo  46281  fsumnncl  46288  mullimc  46332  mullimcf  46339  sumnnodd  46346  limcleqr  46358  addlimc  46362  0ellimcdiv  46363  limclner  46365  limsupgtlem  46491  dvdivbd  46637  ioodvbdlimc1lem1  46645  ioodvbdlimc1lem2  46646  ioodvbdlimc2lem  46648  dvnmul  46657  iblspltprt  46687  itgspltprt  46693  stoweidlem11  46725  stoweidlem24  46738  stoweidlem25  46739  stoweidlem26  46740  stoweidlem34  46748  stoweidlem36  46750  stoweidlem42  46756  stoweidlem44  46758  stoweidlem51  46765  stoweidlem59  46773  wallispi  46784  wallispi2lem1  46785  wallispi2  46787  stirlinglem11  46798  dirkertrigeqlem1  46812  dirkeritg  46816  fourierdlem10  46831  fourierdlem11  46832  fourierdlem12  46833  fourierdlem15  46836  fourierdlem19  46840  fourierdlem20  46841  fourierdlem30  46851  fourierdlem32  46853  fourierdlem40  46861  fourierdlem41  46862  fourierdlem44  46865  fourierdlem46  46866  fourierdlem47  46867  fourierdlem48  46868  fourierdlem49  46869  fourierdlem50  46870  fourierdlem63  46883  fourierdlem64  46884  fourierdlem65  46885  fourierdlem74  46894  fourierdlem75  46895  fourierdlem76  46896  fourierdlem78  46898  fourierdlem79  46899  fourierdlem89  46909  fourierdlem92  46912  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fouriersw  46945  etransclem4  46952  etransclem23  46971  etransclem31  46979  etransclem32  46980  etransclem35  46983  etransclem41  46989  etransclem48  46996  ioorrnopnlem  47018  sge0uzfsumgt  47158  sge0seq  47160  iundjiun  47174  carageniuncllem2  47236  hoidmvlelem3  47311  iunhoiioolem  47389  vonioolem1  47394  smfmullem1  47505  smfmullem2  47506  smfmullem3  47507  ceilhalfgt1  48070  modm2nep1  48109  modp2nep1  48110  modm1nep2  48111  modm1nem2  48112  modm1p1ne  48113  bgoldbtbndlem2  48571  gpgprismgrusgra  48823  gpg3nbgrvtx0  48841  gpg3kgrtriexlem1  48848  logbpw2m1  49347