Theorem ltletrd 11297

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 11229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  lelttrdi  11299  uzwo3  12884  rpgecl  12963  fznatpl1  13523  modabs  13854  seqf1olem1  13994  expgt1  14053  leexp2a  14125  bernneq3  14184  expnbnd  14185  expmulnbnd  14188  digit1  14190  discr1  14192  hashfun  14390  seqcoll2  14418  abssubne0  15270  icodiamlt  15391  reccn2  15550  isercolllem1  15618  isumltss  15804  fprodntriv  15898  efcllem  16033  sin01bnd  16143  cos01bnd  16144  sin01gt0  16148  eirrlem  16162  rpnnen2lem11  16182  ruclem10  16197  bitsmod  16396  bitsinv1lem  16401  smuval2  16442  prmreclem5  16882  1arith  16889  2expltfac  17054  mndodconglem  19507  sylow1lem1  19564  gzrngunit  21408  nlmvscnlem1  24669  nrginvrcnlem  24674  iccpnfhmeo  24930  cnheibor  24940  evth  24944  lebnumlem1  24946  ipcnlem1  25230  lmnn  25248  ovolicc2lem2  25503  itg2monolem1  25735  itg2monolem3  25737  dvferm1lem  25969  dvcnvre  26004  dvfsumlem3  26013  dvfsumrlim  26016  plyco0  26175  aaliou2b  26325  pilem2  26435  cosq34lt1  26509  cosordlem  26512  logdivlti  26602  logdivle  26604  logcnlem3  26626  logcnlem4  26627  cxpcn3lem  26729  atanre  26867  atanlogaddlem  26895  atans2  26913  birthdaylem3  26935  cxp2lim  26958  cxploglim2  26960  jensenlem2  26969  harmonicubnd  26991  fsumharmonic  26993  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  lgamucov  27019  ftalem2  27055  ftalem5  27058  vma1  27147  chtrpcl  27156  ppiltx  27158  fsumfldivdiaglem  27170  chtub  27193  fsumvma2  27195  chpval2  27199  chpchtsum  27200  chpub  27201  bpos1  27264  bposlem1  27265  bposlem2  27266  bposlem6  27270  gausslemma2dlem0c  27339  lgsquadlem1  27361  chebbnd1lem1  27450  chebbnd1lem2  27451  chebbnd1lem3  27452  chebbnd1  27453  chtppilimlem1  27454  chtppilimlem2  27455  chtppilim  27456  chto1ub  27457  chebbnd2  27458  chto1lb  27459  chpchtlim  27460  chpo1ub  27461  rplogsumlem2  27466  dchrisumlema  27469  dchrisumlem3  27472  dchrmusumlema  27474  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumiflem1  27482  dchrisum0lema  27495  mulog2sumlem1  27515  chpdifbndlem1  27534  chpdifbnd  27536  pntrsumo1  27546  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntlemb  27578  pntlemh  27580  pntlemr  27583  pntlem3  27590  pnt2  27594  ostth2lem1  27599  ostth2lem3  27616  ostth2lem4  27617  axsegconlem7  29010  axsegconlem10  29013  axlowdimlem16  29044  axcontlem2  29052  axcontlem4  29054  axcontlem7  29057  clwlkclwwlklem2a2  30081  clwwlkext2edg  30144  smatrcl  33980  1smat1  33988  lmdvg  34137  dya2icoseg  34461  eulerpartlems  34544  reprlt  34803  reprinfz1  34806  breprexplemc  34816  hgt750lemd  34832  hgt750lem  34835  hgt750leme  34842  tgoldbachgtde  34844  subfacval3  35417  knoppndvlem1  36818  knoppndvlem2  36819  knoppndvlem7  36824  knoppndvlem14  36831  knoppndvlem18  36835  poimirlem7  37994  poimirlem24  38011  poimirlem29  38016  mblfinlem2  38025  itg2addnclem  38038  itg2addnclem3  38040  ftc1anclem5  38064  ftc1anclem7  38066  ftc1anc  38068  areacirclem5  38079  lcmineqlem23  42536  3lexlogpow5ineq2  42540  3lexlogpow5ineq4  42541  3lexlogpow5ineq3  42542  aks4d1lem1  42547  dvrelog2  42549  aks4d1p1p3  42554  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p1p6  42558  aks4d1p1p7  42559  aks4d1p1p5  42560  aks4d1p1  42561  aks4d1p2  42562  aks4d1p3  42563  aks4d1p5  42565  aks4d1p6  42566  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p7  42568  aks4d1p8d2  42570  aks4d1p8  42572  aks4d1p9  42573  posbezout  42585  hashscontpow1  42606  aks6d1c3  42608  2ap1caineq  42630  sticksstones12a  42642  sticksstones22  42653  aks6d1c7lem1  42665  aks6d1c7lem2  42666  aks6d1c7  42669  aks5lem6  42677  aks5lem8  42686  flt4lem7  43109  3cubeslem1  43133  irrapxlem4  43270  irrapxlem5  43271  pellexlem2  43275  pell14qrgapw  43321  pellqrex  43324  pellfundgt1  43328  pellfundex  43331  ltrmxnn0  43394  jm2.24nn  43404  jm2.17c  43407  jm2.24  43408  jm2.23  43441  jm3.1lem1  43462  jm3.1lem2  43463  radcnvrat  44758  dstregt0  45730  monoords  45745  uzubioo  46010  fsumnncl  46017  mullimc  46061  mullimcf  46068  sumnnodd  46075  limcleqr  46087  addlimc  46091  0ellimcdiv  46092  limclner  46094  limsupgtlem  46220  dvdivbd  46366  ioodvbdlimc1lem1  46374  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  dvnmul  46386  iblspltprt  46416  itgspltprt  46422  stoweidlem11  46454  stoweidlem24  46467  stoweidlem25  46468  stoweidlem26  46469  stoweidlem34  46477  stoweidlem36  46479  stoweidlem42  46485  stoweidlem44  46487  stoweidlem51  46494  stoweidlem59  46502  wallispi  46513  wallispi2lem1  46514  wallispi2  46516  stirlinglem11  46527  dirkertrigeqlem1  46541  dirkeritg  46545  fourierdlem10  46560  fourierdlem11  46561  fourierdlem12  46562  fourierdlem15  46565  fourierdlem19  46569  fourierdlem20  46570  fourierdlem30  46580  fourierdlem32  46582  fourierdlem40  46590  fourierdlem41  46591  fourierdlem44  46594  fourierdlem46  46595  fourierdlem47  46596  fourierdlem48  46597  fourierdlem49  46598  fourierdlem50  46599  fourierdlem63  46612  fourierdlem64  46613  fourierdlem65  46614  fourierdlem74  46623  fourierdlem75  46624  fourierdlem76  46625  fourierdlem78  46627  fourierdlem79  46628  fourierdlem89  46638  fourierdlem92  46641  fourierdlem103  46652  fourierdlem104  46653  fouriersw  46674  etransclem4  46681  etransclem23  46700  etransclem31  46708  etransclem32  46709  etransclem35  46712  etransclem41  46718  etransclem48  46725  ioorrnopnlem  46747  sge0uzfsumgt  46887  sge0seq  46889  iundjiun  46903  carageniuncllem2  46965  hoidmvlelem3  47040  iunhoiioolem  47118  vonioolem1  47123  smfmullem1  47234  smfmullem2  47235  smfmullem3  47236  ceilhalfgt1  47796  modm2nep1  47835  modp2nep1  47836  modm1nep2  47837  modm1nem2  47838  modm1p1ne  47839  bgoldbtbndlem2  48297  gpgprismgrusgra  48549  gpg3nbgrvtx0  48567  gpg3kgrtriexlem1  48574  logbpw2m1  49058