Theorem ltletrd 10789

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 10721	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670

This theorem is referenced by:  lelttrdi  10791  uzwo3  12331  rpgecl  12405  fznatpl1  12956  modabs  13267  seqf1olem1  13405  expgt1  13463  leexp2a  13532  bernneq3  13588  expnbnd  13589  expmulnbnd  13592  digit1  13594  discr1  13596  hashfun  13794  seqcoll2  13819  abssubne0  14668  icodiamlt  14787  reccn2  14945  isercolllem1  15013  isumltss  15195  fprodntriv  15288  efcllem  15423  sin01bnd  15530  cos01bnd  15531  sin01gt0  15535  eirrlem  15549  rpnnen2lem11  15569  ruclem10  15584  bitsmod  15775  bitsinv1lem  15780  smuval2  15821  prmreclem5  16246  1arith  16253  2expltfac  16418  mndodconglem  18661  sylow1lem1  18715  gzrngunit  20157  nlmvscnlem1  23292  nrginvrcnlem  23297  iccpnfhmeo  23550  cnheibor  23560  evth  23564  lebnumlem1  23566  ipcnlem1  23849  lmnn  23867  ovolicc2lem2  24122  itg2monolem1  24354  itg2monolem3  24356  dvferm1lem  24587  dvcnvre  24622  dvfsumlem3  24631  dvfsumrlim  24634  plyco0  24789  aaliou2b  24937  pilem2  25047  cosq34lt1  25119  cosordlem  25122  logdivlti  25211  logdivle  25213  logcnlem3  25235  logcnlem4  25236  cxpcn3lem  25336  atanre  25471  atanlogaddlem  25499  atans2  25517  birthdaylem3  25539  cxp2lim  25562  cxploglim2  25564  jensenlem2  25573  harmonicubnd  25595  fsumharmonic  25597  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  lgamucov  25623  ftalem2  25659  ftalem5  25662  vma1  25751  chtrpcl  25760  ppiltx  25762  fsumfldivdiaglem  25774  chtub  25796  fsumvma2  25798  chpval2  25802  chpchtsum  25803  chpub  25804  bpos1  25867  bposlem1  25868  bposlem2  25869  bposlem6  25873  gausslemma2dlem0c  25942  lgsquadlem1  25964  chebbnd1lem1  26053  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  chebbnd1  26056  chtppilimlem1  26057  chtppilimlem2  26058  chtppilim  26059  chto1ub  26060  chebbnd2  26061  chto1lb  26062  chpchtlim  26063  chpo1ub  26064  rplogsumlem2  26069  dchrisumlema  26072  dchrisumlem3  26075  dchrmusumlema  26077  dchrvmasumlem2  26082  dchrvmasumiflem1  26085  dchrisum0lema  26098  mulog2sumlem1  26118  chpdifbndlem1  26137  chpdifbnd  26139  pntrsumo1  26149  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntlemb  26181  pntlemh  26183  pntlemr  26186  pntlem3  26193  pnt2  26197  ostth2lem1  26202  ostth2lem3  26219  ostth2lem4  26220  axsegconlem7  26717  axsegconlem10  26720  axlowdimlem16  26751  axcontlem2  26759  axcontlem4  26761  axcontlem7  26764  clwlkclwwlklem2a2  27778  clwwlkext2edg  27841  smatrcl  31149  1smat1  31157  lmdvg  31306  dya2icoseg  31645  eulerpartlems  31728  reprlt  32000  reprinfz1  32003  breprexplemc  32013  hgt750lemd  32029  hgt750lem  32032  hgt750leme  32039  tgoldbachgtde  32041  subfacval3  32549  knoppndvlem1  33964  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem7  33970  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem18  33981  poimirlem7  35064  poimirlem24  35081  poimirlem29  35086  mblfinlem2  35095  itg2addnclem  35108  itg2addnclem3  35110  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem7  35136  ftc1anc  35138  areacirclem5  35149  lcmineqlem23  39339  3lexlogpow5ineq2  39342  3lexlogpow5ineq3  39343  2ap1caineq  39349  metakunt6  39355  metakunt11  39360  metakunt27  39376  metakunt28  39377  3cubeslem1  39625  irrapxlem4  39766  irrapxlem5  39767  pellexlem2  39771  pell14qrgapw  39817  pellqrex  39820  pellfundgt1  39824  pellfundex  39827  ltrmxnn0  39890  jm2.24nn  39900  jm2.17c  39903  jm2.24  39904  jm2.23  39937  jm3.1lem1  39958  jm3.1lem2  39959  radcnvrat  41018  dstregt0  41912  monoords  41929  uzubioo  42204  fsumnncl  42213  mullimc  42258  mullimcf  42265  sumnnodd  42272  limcleqr  42286  addlimc  42290  0ellimcdiv  42291  limclner  42293  limsupgtlem  42419  dvdivbd  42565  ioodvbdlimc1lem1  42573  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnmul  42585  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  stoweidlem11  42653  stoweidlem24  42666  stoweidlem25  42667  stoweidlem26  42668  stoweidlem34  42676  stoweidlem36  42678  stoweidlem42  42684  stoweidlem44  42686  stoweidlem51  42693  stoweidlem59  42701  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  wallispi2  42715  stirlinglem11  42726  dirkertrigeqlem1  42740  dirkeritg  42744  fourierdlem10  42759  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem15  42764  fourierdlem19  42768  fourierdlem20  42769  fourierdlem30  42779  fourierdlem32  42781  fourierdlem40  42789  fourierdlem41  42790  fourierdlem44  42793  fourierdlem46  42794  fourierdlem47  42795  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem50  42798  fourierdlem63  42811  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem78  42826  fourierdlem79  42827  fourierdlem89  42837  fourierdlem92  42840  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fouriersw  42873  etransclem4  42880  etransclem23  42899  etransclem31  42907  etransclem32  42908  etransclem35  42911  etransclem41  42917  etransclem48  42924  ioorrnopnlem  42946  sge0uzfsumgt  43083  sge0seq  43085  iundjiun  43099  carageniuncllem2  43161  hoidmvlelem3  43236  iunhoiioolem  43314  vonioolem1  43319  smfmullem1  43423  smfmullem2  43424  smfmullem3  43425  bgoldbtbndlem2  44324  logbpw2m1  44981