Theorem ltletrd 11293

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 11225	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  lelttrdi  11295  uzwo3  12856  rpgecl  12935  fznatpl1  13494  modabs  13824  seqf1olem1  13964  expgt1  14023  leexp2a  14095  bernneq3  14154  expnbnd  14155  expmulnbnd  14158  digit1  14160  discr1  14162  hashfun  14360  seqcoll2  14388  abssubne0  15240  icodiamlt  15361  reccn2  15520  isercolllem1  15588  isumltss  15771  fprodntriv  15865  efcllem  16000  sin01bnd  16110  cos01bnd  16111  sin01gt0  16115  eirrlem  16129  rpnnen2lem11  16149  ruclem10  16164  bitsmod  16363  bitsinv1lem  16368  smuval2  16409  prmreclem5  16848  1arith  16855  2expltfac  17020  mndodconglem  19470  sylow1lem1  19527  gzrngunit  21388  nlmvscnlem1  24630  nrginvrcnlem  24635  iccpnfhmeo  24899  cnheibor  24910  evth  24914  lebnumlem1  24916  ipcnlem1  25201  lmnn  25219  ovolicc2lem2  25475  itg2monolem1  25707  itg2monolem3  25709  dvferm1lem  25944  dvcnvre  25980  dvfsumlem3  25991  dvfsumrlim  25994  plyco0  26153  aaliou2b  26305  pilem2  26418  cosq34lt1  26492  cosordlem  26495  logdivlti  26585  logdivle  26587  logcnlem3  26609  logcnlem4  26610  cxpcn3lem  26713  atanre  26851  atanlogaddlem  26879  atans2  26897  birthdaylem3  26919  cxp2lim  26943  cxploglim2  26945  jensenlem2  26954  harmonicubnd  26976  fsumharmonic  26978  lgamgulmlem2  26996  lgamgulmlem3  26997  lgamucov  27004  ftalem2  27040  ftalem5  27043  vma1  27132  chtrpcl  27141  ppiltx  27143  fsumfldivdiaglem  27155  chtub  27179  fsumvma2  27181  chpval2  27185  chpchtsum  27186  chpub  27187  bpos1  27250  bposlem1  27251  bposlem2  27252  bposlem6  27256  gausslemma2dlem0c  27325  lgsquadlem1  27347  chebbnd1lem1  27436  chebbnd1lem2  27437  chebbnd1lem3  27438  chebbnd1  27439  chtppilimlem1  27440  chtppilimlem2  27441  chtppilim  27442  chto1ub  27443  chebbnd2  27444  chto1lb  27445  chpchtlim  27446  chpo1ub  27447  rplogsumlem2  27452  dchrisumlema  27455  dchrisumlem3  27458  dchrmusumlema  27460  dchrvmasumlem2  27465  dchrvmasumiflem1  27468  dchrisum0lema  27481  mulog2sumlem1  27501  chpdifbndlem1  27520  chpdifbnd  27522  pntrsumo1  27532  pntpbnd1  27553  pntpbnd2  27554  pntibndlem2  27558  pntlemb  27564  pntlemh  27566  pntlemr  27569  pntlem3  27576  pnt2  27580  ostth2lem1  27585  ostth2lem3  27602  ostth2lem4  27603  axsegconlem7  28996  axsegconlem10  28999  axlowdimlem16  29030  axcontlem2  29038  axcontlem4  29040  axcontlem7  29043  clwlkclwwlklem2a2  30068  clwwlkext2edg  30131  smatrcl  33953  1smat1  33961  lmdvg  34110  dya2icoseg  34434  eulerpartlems  34517  reprlt  34776  reprinfz1  34779  breprexplemc  34789  hgt750lemd  34805  hgt750lem  34808  hgt750leme  34815  tgoldbachgtde  34817  subfacval3  35383  knoppndvlem1  36712  knoppndvlem2  36713  knoppndvlem7  36718  knoppndvlem14  36725  knoppndvlem18  36729  poimirlem7  37828  poimirlem24  37845  poimirlem29  37850  mblfinlem2  37859  itg2addnclem  37872  itg2addnclem3  37874  ftc1anclem5  37898  ftc1anclem7  37900  ftc1anc  37902  areacirclem5  37913  lcmineqlem23  42305  3lexlogpow5ineq2  42309  3lexlogpow5ineq4  42310  3lexlogpow5ineq3  42311  aks4d1lem1  42316  dvrelog2  42318  aks4d1p1p3  42323  aks4d1p1p2  42324  aks4d1p1p4  42325  aks4d1p1p6  42327  aks4d1p1p7  42328  aks4d1p1p5  42329  aks4d1p1  42330  aks4d1p2  42331  aks4d1p3  42332  aks4d1p5  42334  aks4d1p6  42335  aks4d1p7d1  42336  aks4d1p7  42337  aks4d1p8d2  42339  aks4d1p8  42341  aks4d1p9  42342  posbezout  42354  hashscontpow1  42375  aks6d1c3  42377  2ap1caineq  42399  sticksstones12a  42411  sticksstones22  42422  aks6d1c7lem1  42434  aks6d1c7lem2  42435  aks6d1c7  42438  aks5lem6  42446  aks5lem8  42455  flt4lem7  42902  3cubeslem1  42926  irrapxlem4  43067  irrapxlem5  43068  pellexlem2  43072  pell14qrgapw  43118  pellqrex  43121  pellfundgt1  43125  pellfundex  43128  ltrmxnn0  43191  jm2.24nn  43201  jm2.17c  43204  jm2.24  43205  jm2.23  43238  jm3.1lem1  43259  jm3.1lem2  43260  radcnvrat  44555  dstregt0  45530  monoords  45545  uzubioo  45811  fsumnncl  45818  mullimc  45862  mullimcf  45869  sumnnodd  45876  limcleqr  45888  addlimc  45892  0ellimcdiv  45893  limclner  45895  limsupgtlem  46021  dvdivbd  46167  ioodvbdlimc1lem1  46175  ioodvbdlimc1lem2  46176  ioodvbdlimc2lem  46178  dvnmul  46187  iblspltprt  46217  itgspltprt  46223  stoweidlem11  46255  stoweidlem24  46268  stoweidlem25  46269  stoweidlem26  46270  stoweidlem34  46278  stoweidlem36  46280  stoweidlem42  46286  stoweidlem44  46288  stoweidlem51  46295  stoweidlem59  46303  wallispi  46314  wallispi2lem1  46315  wallispi2  46317  stirlinglem11  46328  dirkertrigeqlem1  46342  dirkeritg  46346  fourierdlem10  46361  fourierdlem11  46362  fourierdlem12  46363  fourierdlem15  46366  fourierdlem19  46370  fourierdlem20  46371  fourierdlem30  46381  fourierdlem32  46383  fourierdlem40  46391  fourierdlem41  46392  fourierdlem44  46395  fourierdlem46  46396  fourierdlem47  46397  fourierdlem48  46398  fourierdlem49  46399  fourierdlem50  46400  fourierdlem63  46413  fourierdlem64  46414  fourierdlem65  46415  fourierdlem74  46424  fourierdlem75  46425  fourierdlem76  46426  fourierdlem78  46428  fourierdlem79  46429  fourierdlem89  46439  fourierdlem92  46442  fourierdlem103  46453  fourierdlem104  46454  fouriersw  46475  etransclem4  46482  etransclem23  46501  etransclem31  46509  etransclem32  46510  etransclem35  46513  etransclem41  46519  etransclem48  46526  ioorrnopnlem  46548  sge0uzfsumgt  46688  sge0seq  46690  iundjiun  46704  carageniuncllem2  46766  hoidmvlelem3  46841  iunhoiioolem  46919  vonioolem1  46924  smfmullem1  47035  smfmullem2  47036  smfmullem3  47037  ceilhalfgt1  47575  modm2nep1  47612  modp2nep1  47613  modm1nep2  47614  modm1nem2  47615  modm1p1ne  47616  bgoldbtbndlem2  48052  gpgprismgrusgra  48304  gpg3nbgrvtx0  48322  gpg3kgrtriexlem1  48329  logbpw2m1  48813