Theorem ltletrd 11369

Description: Transitive law deduction for 'less than', 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltletrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ltletrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
ltletrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem ltletrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltletrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltletrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		ltletr 11301	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 < 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ℝcr 11098   < clt 11242   ≤ cle 11243

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248

This theorem is referenced by:  lelttrdi  11371  uzwo3  12966  rpgecl  13045  fznatpl1  13605  modabs  13936  seqf1olem1  14076  expgt1  14135  leexp2a  14207  bernneq3  14266  expnbnd  14267  expmulnbnd  14270  digit1  14272  discr1  14274  hashfun  14473  seqcoll2  14501  abssubne0  15367  icodiamlt  15488  reccn2  15647  isercolllem1  15715  isumltss  15901  fprodntriv  15995  efcllem  16130  sin01bnd  16240  cos01bnd  16241  sin01gt0  16245  eirrlem  16259  rpnnen2lem11  16279  ruclem10  16294  bitsmod  16493  bitsinv1lem  16498  smuval2  16539  prmreclem5  16979  1arith  16986  2expltfac  17151  mndodconglem  19610  sylow1lem1  19667  gzrngunit  21551  nlmvscnlem1  24811  nrginvrcnlem  24816  iccpnfhmeo  25072  cnheibor  25082  evth  25086  lebnumlem1  25088  ipcnlem1  25372  lmnn  25390  ovolicc2lem2  25645  itg2monolem1  25877  itg2monolem3  25879  dvferm1lem  26111  dvcnvre  26146  dvfsumlem3  26155  dvfsumrlim  26158  plyco0  26317  aaliou2b  26470  pilem2  26580  cosq34lt1  26657  cosordlem  26660  logdivlti  26750  logdivle  26752  logcnlem3  26774  logcnlem4  26775  cxpcn3lem  26877  atanre  27015  atanlogaddlem  27043  atans2  27061  birthdaylem3  27083  cxp2lim  27106  cxploglim2  27108  jensenlem2  27117  harmonicubnd  27139  fsumharmonic  27141  lgamgulmlem2  27159  lgamgulmlem3  27160  lgamucov  27167  ftalem2  27203  ftalem5  27206  vma1  27295  chtrpcl  27304  ppiltx  27306  fsumfldivdiaglem  27318  chtub  27341  fsumvma2  27343  chpval2  27347  chpchtsum  27348  chpub  27349  bpos1  27412  bposlem1  27413  bposlem2  27414  bposlem6  27418  gausslemma2dlem0c  27487  lgsquadlem1  27509  chebbnd1lem1  27598  chebbnd1lem2  27599  chebbnd1lem3  27600  chebbnd1  27601  chtppilimlem1  27602  chtppilimlem2  27603  chtppilim  27604  chto1ub  27605  chebbnd2  27606  chto1lb  27607  chpchtlim  27608  chpo1ub  27609  rplogsumlem2  27614  dchrisumlema  27617  dchrisumlem3  27620  dchrmusumlema  27622  dchrvmasumlem2  27627  dchrvmasumiflem1  27630  dchrisum0lema  27643  mulog2sumlem1  27663  chpdifbndlem1  27682  chpdifbnd  27684  pntrsumo1  27694  pntpbnd1  27715  pntpbnd2  27716  pntibndlem2  27720  pntlemb  27726  pntlemh  27728  pntlemr  27731  pntlem3  27738  pnt2  27742  ostth2lem1  27747  ostth2lem3  27764  ostth2lem4  27765  axsegconlem7  29213  axsegconlem10  29216  axlowdimlem16  29247  axcontlem2  29255  axcontlem4  29257  axcontlem7  29260  clwlkclwwlklem2a2  30284  clwwlkext2edg  30347  smatrcl  34130  1smat1  34138  lmdvg  34287  dya2icoseg  34611  eulerpartlems  34694  reprlt  34950  reprinfz1  34953  breprexplemc  34963  hgt750lemd  34979  hgt750lem  34982  hgt750leme  34989  tgoldbachgtde  34991  subfacval3  35579  knoppndvlem1  36989  knoppndvlem2  36990  knoppndvlem7  36995  knoppndvlem14  37002  knoppndvlem18  37006  poimirlem7  38165  poimirlem24  38182  poimirlem29  38187  mblfinlem2  38196  itg2addnclem  38209  itg2addnclem3  38211  ftc1anclem5  38235  ftc1anclem7  38237  ftc1anc  38239  areacirclem5  38250  lcmineqlem23  42707  3lexlogpow5ineq2  42711  3lexlogpow5ineq4  42712  3lexlogpow5ineq3  42713  aks4d1lem1  42718  dvrelog2  42720  aks4d1p1p3  42725  aks4d1p1p2  42726  aks4d1p1p4  42727  aks4d1p1p6  42729  aks4d1p1p7  42730  aks4d1p1p5  42731  aks4d1p1  42732  aks4d1p2  42733  aks4d1p3  42734  aks4d1p5  42736  aks4d1p6  42737  aks4d1p7d1  42738  aks4d1p7  42739  aks4d1p8d2  42741  aks4d1p8  42743  aks4d1p9  42744  posbezout  42756  hashscontpow1  42777  aks6d1c3  42779  2ap1caineq  42801  sticksstones12a  42813  sticksstones22  42824  aks6d1c7lem1  42836  aks6d1c7lem2  42837  aks6d1c7  42840  aks5lem6  42848  aks5lem8  42857  flt4lem7  43282  3cubeslem1  43306  irrapxlem4  43443  irrapxlem5  43444  pellexlem2  43448  pell14qrgapw  43494  pellqrex  43497  pellfundgt1  43501  pellfundex  43504  ltrmxnn0  43567  jm2.24nn  43577  jm2.17c  43580  jm2.24  43581  jm2.23  43614  jm3.1lem1  43635  jm3.1lem2  43636  radcnvrat  44915  dstregt0  45892  monoords  45907  uzubioo  46172  fsumnncl  46179  mullimc  46223  mullimcf  46230  sumnnodd  46237  limcleqr  46249  addlimc  46253  0ellimcdiv  46254  limclner  46256  limsupgtlem  46382  dvdivbd  46528  ioodvbdlimc1lem1  46536  ioodvbdlimc1lem2  46537  ioodvbdlimc2lem  46539  dvnmul  46548  iblspltprt  46578  itgspltprt  46584  stoweidlem11  46616  stoweidlem24  46629  stoweidlem25  46630  stoweidlem26  46631  stoweidlem34  46639  stoweidlem36  46641  stoweidlem42  46647  stoweidlem44  46649  stoweidlem51  46656  stoweidlem59  46664  wallispi  46675  wallispi2lem1  46676  wallispi2  46678  stirlinglem11  46689  dirkertrigeqlem1  46703  dirkeritg  46707  fourierdlem10  46722  fourierdlem11  46723  fourierdlem12  46724  fourierdlem15  46727  fourierdlem19  46731  fourierdlem20  46732  fourierdlem30  46742  fourierdlem32  46744  fourierdlem40  46752  fourierdlem41  46753  fourierdlem44  46756  fourierdlem46  46757  fourierdlem47  46758  fourierdlem48  46759  fourierdlem49  46760  fourierdlem50  46761  fourierdlem63  46774  fourierdlem64  46775  fourierdlem65  46776  fourierdlem74  46785  fourierdlem75  46786  fourierdlem76  46787  fourierdlem78  46789  fourierdlem79  46790  fourierdlem89  46800  fourierdlem92  46803  fourierdlem103  46814  fourierdlem104  46815  fouriersw  46836  etransclem4  46843  etransclem23  46862  etransclem31  46870  etransclem32  46871  etransclem35  46874  etransclem41  46880  etransclem48  46887  ioorrnopnlem  46909  sge0uzfsumgt  47049  sge0seq  47051  iundjiun  47065  carageniuncllem2  47127  hoidmvlelem3  47202  iunhoiioolem  47280  vonioolem1  47285  smfmullem1  47396  smfmullem2  47397  smfmullem3  47398  ceilhalfgt1  47958  modm2nep1  47997  modp2nep1  47998  modm1nep2  47999  modm1nem2  48000  modm1p1ne  48001  bgoldbtbndlem2  48459  gpgprismgrusgra  48711  gpg3nbgrvtx0  48729  gpg3kgrtriexlem1  48736  logbpw2m1  49231