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Theorem eucrctshift 29764
Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© results in an Eulerian circuit ⟨𝐻, π‘„βŸ©. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrctshift.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eucrctshift.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eucrctshift.c (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrctshift.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
eucrctshift.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
eucrctshift.e (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eucrctshift (πœ‘ β†’ (𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem eucrctshift
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucrctshift.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eucrctshift.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eucrctshift.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eucrctshift.n . . . . 5 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
5 eucrctshift.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 eucrctshift.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 eucrctshift.q . . . . 5 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 29345 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄)
9 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄)
10 eucrctshift.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
112eupthf1o 29725 . . . . . . . 8 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
14 trliswlk 29222 . . . . . . . . 9 (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 β†’ 𝐻(Walksβ€˜πΊ)𝑄)
152wlkf 29139 . . . . . . . . 9 (𝐻(Walksβ€˜πΊ)𝑄 β†’ 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16 wrdf 14474 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼)
18 df-f1o 6550 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1β†’dom 𝐼 ∧ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼))
19 dffo3 7103 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))⟢dom 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)))
20 crctiswlk 29321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
212wlkf 29139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
22 lencl 14488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
234oveq2i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0..^𝑁) = (0..^(β™―β€˜πΉ))
2423eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
25 elfzonn0 13682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
27 elfzonn0 13682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
28 nn0sub 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 ≀ 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0))
2926, 27, 28syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑆 ≀ 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0))
3029biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0)
31 elfzo0 13678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)))
32 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
3331, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
3433ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
35 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
37 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
40 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
4140zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
42 readdcl 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆) ∈ ℝ)
4338, 41, 42syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆) ∈ ℝ)
4436, 39, 433jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆) ∈ ℝ))
45 elfzole1 13645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 0 ≀ 𝑆)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 0 ≀ 𝑆)
47 addge01 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝑆 ↔ (β™―β€˜πΉ) ≀ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
4838, 41, 47syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0 ≀ 𝑆 ↔ (β™―β€˜πΉ) ≀ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
4946, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))
5044, 49lelttrdi 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 < (β™―β€˜πΉ) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
5150ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 < (β™―β€˜πΉ) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (𝑦 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))))
53523impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
5453adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
5554imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))
56353ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5841ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
59 elfzoel2 13636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
6059zred 12671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6160ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6257, 58, 61ltsubaddd 11815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ) ↔ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
6355, 62mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ))
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ)))
6531, 64sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ)))
6665impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ))
68 elfzo0 13678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ)))
6930, 34, 67, 68syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
70 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆) β†’ (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆))
7170oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
7240zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
74 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
7574zcnd 12672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7673, 75anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚))
78 npcan 11474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
8079oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = (𝑦 mod (β™―β€˜πΉ)))
81 zmodidfzoimp 13871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8281ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8380, 82eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8471, 83sylan9eqr 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆)) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8584eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆)) β†’ 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
8669, 85rspcedeq2vd 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
87 elfzo0 13678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)))
88 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
8988ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
90 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
91903ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
93 nncn 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
94933ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
9689, 92, 95subadd23d 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) = (𝑦 + ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆)))
97 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
98 nn0z 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ β„€)
99 nnz 12584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
100 znnsub 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑆 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€) β†’ (𝑆 < (β™―β€˜πΉ) ↔ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•))
10198, 99, 100syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (β™―β€˜πΉ) ↔ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•))
102101biimp3a 1468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•)
103102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•)
104103nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0)
10597, 104nn0addcld 12541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 + ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆)) ∈ β„•0)
10696, 105eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0)
108 simplr2 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
10988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
110 subcl 11464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚)
111109, 91, 110syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚)
11295, 111jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚))
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚))
114 addcom 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)))
11635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
117 nn0re 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
119 ltnle 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦))
120 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
121 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
122120, 121sublt0d 11845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
123122biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 < 𝑆 β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0))
124119, 123sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0))
125116, 118, 124syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0))
126125imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0)
127 resubcl 11529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ)
128116, 118, 127syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ)
129373ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
131128, 130jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ))
133 ltaddneg 11434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0 ↔ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) < (β™―β€˜πΉ)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0 ↔ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) < (β™―β€˜πΉ)))
135126, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) < (β™―β€˜πΉ))
136115, 135eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ))
137107, 108, 1363jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))
138137exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
1391383adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
14087, 139biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
141140adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
14231, 141sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
143142impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ))))
144143impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))
145 elfzo0 13678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))
146144, 145sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
147 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆))
148147oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = ((((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
14973adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
15075adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
151 nn0cn 12487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
152151ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
153149, 150, 1523jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚))
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚))
155 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
156 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
157 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
158155, 157, 156nppcand 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) = (𝑦 + (β™―β€˜πΉ)))
159155, 156, 158comraddd 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) = ((β™―β€˜πΉ) + 𝑦))
160154, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) = ((β™―β€˜πΉ) + 𝑦))
161160oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = (((β™―β€˜πΉ) + 𝑦) mod (β™―β€˜πΉ)))
16231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)))
163162ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)))
164 addmodid 13889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 𝑦) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 𝑦) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
166161, 165eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
167148, 166sylan9eqr 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
168167eqcomd 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
169146, 168rspcedeq2vd 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
17086, 169pm2.61ian 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
17123rexeqi 3323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
172170, 171sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
173172exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
17424, 173biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
17522, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
17620, 21, 1753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
1773, 5, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
178177adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
179178imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
181 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
182181reximi 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
183180, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
1843, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
185184ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
186 elfzoelz 13637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
1875, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„€)
188187ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
18923eleq2i 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
190189biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑧 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
191 cshwidxmod 14758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
192185, 188, 190, 191syl2an3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
193192eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
194193rexbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
195183, 194mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§))
1961, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 29340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») = 𝑁)
197196oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^𝑁))
198197ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^𝑁))
199 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦))
2006fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π»β€˜π‘§) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π»β€˜π‘§) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§))
202199, 201eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (𝑖 = (π»β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§)))
203198, 202rexeqbidv 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§)))
204195, 203mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§))
205204rexlimdva2 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
206205ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
207206impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ πœ‘) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§))
208207anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ πœ‘) ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼) β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
209 dffo3 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
210208, 209sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ πœ‘) ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼) β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)
211210exp31 419 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
21219, 211simplbiim 504 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
21318, 212simplbiim 504 . . . . . . . . 9 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
214213com13 88 . . . . . . . 8 (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
21517, 214syl 17 . . . . . . 7 (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
216215impcom 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
21713, 216mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)
2189, 217jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
2198, 218mpdan 684 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
2202iseupth 29722 . . 3 (𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄 ↔ (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
221219, 220sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄)
2221, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcsh 29346 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄)
223221, 222jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€“ontoβ†’wfo 6541  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6542  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  β„‚cc 11112  β„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632   mod cmo 13839  β™―chash 14295  Word cword 14469   cyclShift ccsh 14743  Vtxcvtx 28524  iEdgciedg 28525  Walkscwlks 29121  Trailsctrls 29215  Circuitsccrcts 29309  EulerPathsceupth 29718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-csh 14744  df-wlks 29124  df-trls 29217  df-crcts 29311  df-eupth 29719
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  29766
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