Theorem eucrctshift 30224

Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrctshift.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrctshift.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrctshift.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrctshift.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eucrctshift.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
eucrctshift.e	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
eucrctshift	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem eucrctshift

Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrctshift.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrctshift.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrctshift.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		eucrctshift.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		eucrctshift.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		eucrctshift.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		eucrctshift.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 29805	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
10		eucrctshift.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
11	2	eupthf1o 30185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
14		trliswlk 29677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
15	2	wlkf 29594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 → 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16		wrdf 14536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
17		df-f1o 6538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
18		dffo3 7092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦)))
19		crctiswlk 29778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
20	2	wlkf 29594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
21		lencl 14551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
22	4	oveq2i 7416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
23	22	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
24		elfzonn0 13724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
26		elfzonn0 13724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
27		nn0sub 12551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
28	25, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
29	28	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0)
30		elfzo0 13717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
31		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
33	32	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
34		nn0re 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		nnre 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
39		elfzoelz 13676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℤ)
40	39	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
41		readdcl 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
42	37, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
43	35, 38, 42	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ))
44		elfzole1 13684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 0 ≤ 𝑆)
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 0 ≤ 𝑆)
46		addge01 11747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
47	37, 40, 46	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
48	45, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆))
49	43, 48	lelttrdi 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
50	49	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
52	51	3impia 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
53	52	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
54	53	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))
55	34	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	40	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
58		elfzoel2 13675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
59	58	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
61	56, 57, 60	ltsubaddd 11833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹) ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
62	54, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
63	62	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
64	30, 63	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
65	64	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
67		elfzo0 13717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
68	29, 33, 66, 67	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
69		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆))
70	69	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
71	39	zcnd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
73		elfzoelz 13676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
74	73	zcnd 12698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
75	72, 74	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
77		npcan 11491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
79	78	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑦 mod (♯‘𝐹)))
80		zmodidfzoimp 13918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
81	80	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
82	79, 81	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
83	70, 82	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
84	83	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
85	68, 84	rspcedeq2vd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
86		elfzo0 13717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)))
87		nn0cn 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
88	87	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
89		nn0cn 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℂ)
90	89	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
91	90	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
92		nncn 12248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
93	92	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
95	88, 91, 94	subadd23d 11616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) = (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)))
96		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
97		nn0z 12613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℤ)
98		nnz 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
99		znnsub 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
100	97, 98, 99	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
101	100	biimp3a 1471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
103	102	nnnn0d 12562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ0)
104	96, 103	nn0addcld 12566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)) ∈ ℕ0)
105	95, 104	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
107		simplr2 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
108	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
109		subcl 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
110	108, 90, 109	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
111	94, 110	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
113		addcom 11421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
115	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
116		nn0re 12510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
117	116	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
118		ltnle 11314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦))
119		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
120		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
121	119, 120	sublt0d 11863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
122	121	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
123	118, 122	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
124	115, 117, 123	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
125	124	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (𝑦 − 𝑆) < 0)
126		resubcl 11547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
127	115, 117, 126	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
128	36	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
129	128	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
130	127, 129	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
132		ltaddneg 11451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
134	125, 133	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹))
135	114, 134	eqbrtrrd 5143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))
136	106, 107, 135	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
137	136	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
138	137	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
139	86, 138	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
140	139	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
141	30, 140	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
142	141	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))))
143	142	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
144		elfzo0 13717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
145	143, 144	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
146		oveq1 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆))
147	146	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
148	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
149	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
150		nn0cn 12511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
151	150	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
152	148, 149, 151	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
153	152	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
154		simp2 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
155		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
156		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
157	154, 156, 155	nppcand 11619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = (𝑦 + (♯‘𝐹)))
158	154, 155, 157	comraddd 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
159	153, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
160	159	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)))
161	30	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
162	161	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
163		addmodid 13937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
165	160, 164	eqtrd 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
166	147, 165	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
167	166	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
168	145, 167	rspcedeq2vd 3609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
169	85, 168	pm2.61ian 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
170	22	rexeqi 3304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
171	169, 170	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
172	171	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
173	23, 172	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
174	19, 20, 21, 173	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
175	3, 5, 174	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
177	176	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
179		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
180	179	reximi 3074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
181	178, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
182	3, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
183	182	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
184		elfzoelz 13676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
185	5, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
186	185	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑆 ∈ ℤ)
187	22	eleq2i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
188	187	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
189		cshwidxmod 14821	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
190	183, 186, 188, 189	syl2an3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
191	190	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
192	191	rexbidva 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
193	181, 192	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
194	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 29800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
195	194	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
196	195	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
197		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑖 = (𝐹‘𝑦))
198	6	fveq1i 6877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
200	197, 199	eqeq12d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
201	196, 200	rexeqbidv 3326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
202	193, 201	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
203	202	rexlimdva2 3143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
204	203	ralimdva 3152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
205	204	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
206	205	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
207		dffo3 7092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
208	206, 207	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
209	208	exp31 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
210	18, 209	simplbiim 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
211	17, 210	simplbiim 504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
212	211	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
213	14, 15, 16, 212	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
214	213	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
215	13, 214	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
216	9, 215	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
217	8, 216	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
218	2	iseupth 30182	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
219	217, 218	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄)
220	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcsh 29806	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
221	219, 220	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ifcif 4500   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654  ⟶wf 6527  –1-1→wf1 6528  –onto→wfo 6529  –1-1-onto→wf1o 6530  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129   + caddc 11132   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671   mod cmo 13886  ♯chash 14348  Word cword 14531   cyclShift ccsh 14806  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  Walkscwlks 29576  Trailsctrls 29670  Circuitsccrcts 29766  EulerPathsceupth 30178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13009  df-ico 13368  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-hash 14349  df-word 14532  df-concat 14589  df-substr 14659  df-pfx 14689  df-csh 14807  df-wlks 29579  df-trls 29672  df-crcts 29768  df-eupth 30179

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30226