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Theorem eucrctshift 30040
Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© results in an Eulerian circuit ⟨𝐻, π‘„βŸ©. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrctshift.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
eucrctshift.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
eucrctshift.c (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
eucrctshift.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
eucrctshift.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
eucrctshift.e (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eucrctshift (πœ‘ β†’ (𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑁   π‘₯,𝑃   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑉   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑄(π‘₯)   𝐺(π‘₯)

Proof of Theorem eucrctshift
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucrctshift.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eucrctshift.i . . . . 5 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 eucrctshift.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃)
4 eucrctshift.n . . . . 5 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
5 eucrctshift.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 eucrctshift.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 eucrctshift.q . . . . 5 𝑄 = (π‘₯ ∈ (0...𝑁) ↦ if(π‘₯ ≀ (𝑁 βˆ’ 𝑆), (π‘ƒβ€˜(π‘₯ + 𝑆)), (π‘ƒβ€˜((π‘₯ + 𝑆) βˆ’ 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 29621 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄)
9 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄)
10 eucrctshift.e . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃)
112eupthf1o 30001 . . . . . . . 8 (𝐹(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼)
14 trliswlk 29498 . . . . . . . . 9 (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 β†’ 𝐻(Walksβ€˜πΊ)𝑄)
152wlkf 29415 . . . . . . . . 9 (𝐻(Walksβ€˜πΊ)𝑄 β†’ 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16 wrdf 14493 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼)
18 df-f1o 6549 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1β†’dom 𝐼 ∧ 𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼))
19 dffo3 7106 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))⟢dom 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)))
20 crctiswlk 29597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
212wlkf 29415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
22 lencl 14507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
234oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0..^𝑁) = (0..^(β™―β€˜πΉ))
2423eleq2i 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
25 elfzonn0 13701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„•0)
27 elfzonn0 13701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
28 nn0sub 12544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 ∈ β„•0) β†’ (𝑆 ≀ 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0))
2926, 27, 28syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑆 ≀ 𝑦 ↔ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0))
3029biimpac 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0)
31 elfzo0 13697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)))
32 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
3331, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
3433ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
35 nn0re 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
37 nnre 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
40 elfzoelz 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
4140zred 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
42 readdcl 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆) ∈ ℝ)
4338, 41, 42syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆) ∈ ℝ)
4436, 39, 433jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆) ∈ ℝ))
45 elfzole1 13664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 0 ≀ 𝑆)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 0 ≀ 𝑆)
47 addge01 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ 𝑆 ↔ (β™―β€˜πΉ) ≀ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
4838, 41, 47syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (0 ≀ 𝑆 ↔ (β™―β€˜πΉ) ≀ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
4946, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ≀ ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))
5044, 49lelttrdi 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 < (β™―β€˜πΉ) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
5150ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 < (β™―β€˜πΉ) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (𝑦 < (β™―β€˜πΉ) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))))
53523impia 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
5453adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
5554imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆))
56353ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5841ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
59 elfzoel2 13655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
6059zred 12688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6160ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
6257, 58, 61ltsubaddd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ) ↔ 𝑦 < ((β™―β€˜πΉ) + 𝑆)))
6355, 62mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ))
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ)))
6531, 64sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ)))
6665impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ))
6766adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ))
68 elfzo0 13697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < (β™―β€˜πΉ)))
6930, 34, 67, 68syl3anbrc 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
70 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆) β†’ (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆))
7170oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
7240zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
74 elfzoelz 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„€)
7574zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
7673, 75anim12ci 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚))
78 npcan 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
8079oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = (𝑦 mod (β™―β€˜πΉ)))
81 zmodidfzoimp 13890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8281ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8380, 82eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8471, 83sylan9eqr 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆)) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
8584eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 βˆ’ 𝑆)) β†’ 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
8669, 85rspcedeq2vd 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
87 elfzo0 13697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)))
88 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 ∈ β„•0 β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
8988ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
90 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
91903ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
93 nncn 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
94933ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
9594adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
9689, 92, 95subadd23d 11615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) = (𝑦 + ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆)))
97 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
98 nn0z 12605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ β„€)
99 nnz 12601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„• β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€)
100 znnsub 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑆 ∈ β„€ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„€) β†’ (𝑆 < (β™―β€˜πΉ) ↔ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•))
10198, 99, 100syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•) β†’ (𝑆 < (β™―β€˜πΉ) ↔ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•))
102101biimp3a 1466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•)
103102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•)
104103nnnn0d 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆) ∈ β„•0)
10597, 104nn0addcld 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 + ((β™―β€˜πΉ) βˆ’ 𝑆)) ∈ β„•0)
10696, 105eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0)
108 simplr2 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•)
10988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
110 subcl 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑆 ∈ β„‚) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚)
111109, 91, 110syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚)
11295, 111jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚))
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚))
114 addcom 11422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚ ∧ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ β„‚) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)))
11635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
117 nn0re 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ β„•0 β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
119 ltnle 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 < 𝑆 ↔ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦))
120 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
121 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
122120, 121sublt0d 11862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
123122biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 < 𝑆 β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0))
124119, 123sylbird 260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0))
125116, 118, 124syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0))
126125imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0)
127 resubcl 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ)
128116, 118, 127syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ)
129373ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ)
131128, 130jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ))
133 ltaddneg 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 βˆ’ 𝑆) ∈ ℝ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0 ↔ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) < (β™―β€˜πΉ)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) < 0 ↔ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) < (β™―β€˜πΉ)))
135126, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((β™―β€˜πΉ) + (𝑦 βˆ’ 𝑆)) < (β™―β€˜πΉ))
136115, 135eqbrtrrd 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ))
137107, 108, 1363jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) ∧ (𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ))) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))
138137exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
1391383adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝑆 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑆 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
14087, 139biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
141140adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
14231, 141sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))))
143142impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ))))
144143impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))
145 elfzo0 13697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) ↔ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) < (β™―β€˜πΉ)))
146144, 145sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
147 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆))
148147oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = ((((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
14973adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
15075adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
151 nn0cn 12504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
152151ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
153149, 150, 1523jca 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ (𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚))
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚))
155 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
156 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚)
157 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
158155, 157, 156nppcand 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) = (𝑦 + (β™―β€˜πΉ)))
159155, 156, 158comraddd 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆 ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„‚) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) = ((β™―β€˜πΉ) + 𝑦))
160154, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) = ((β™―β€˜πΉ) + 𝑦))
161160oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = (((β™―β€˜πΉ) + 𝑦) mod (β™―β€˜πΉ)))
16231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)))
163162ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)))
164 addmodid 13908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ β„•0 ∧ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„• ∧ 𝑦 < (β™―β€˜πΉ)) β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 𝑦) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ (((β™―β€˜πΉ) + 𝑦) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
166161, 165eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ ((((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ)) + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
167148, 166sylan9eqr 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) = 𝑦)
168167eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 βˆ’ 𝑆) + (β™―β€˜πΉ))) β†’ 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
169146, 168rspcedeq2vd 3615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((Β¬ 𝑆 ≀ 𝑦 ∧ (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
17086, 169pm2.61ian 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
17123rexeqi 3319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
172170, 171sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
173172exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (𝑆 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
17424, 173biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
17522, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 β†’ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
17620, 21, 1753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹(Circuitsβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
1773, 5, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
178177adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
179178imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
180179adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))
181 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
182181reximi 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
183180, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
1843, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
185184ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
186 elfzoelz 13656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
1875, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ β„€)
188187ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑆 ∈ β„€)
18923eleq2i 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
190189biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝑧 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
191 cshwidxmod 14777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ β„€ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) β†’ ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
192185, 188, 190, 191syl2an3an 1420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ))))
193192eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
194193rexbidva 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜((𝑧 + 𝑆) mod (β™―β€˜πΉ)))))
195183, 194mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§))
1961, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 29616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜π») = 𝑁)
197196oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^𝑁))
198197ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (0..^(β™―β€˜π»)) = (0..^𝑁))
199 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦))
2006fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π»β€˜π‘§) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (π»β€˜π‘§) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§))
202199, 201eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (𝑖 = (π»β€˜π‘§) ↔ (πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§)))
203198, 202rexeqbidv 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^𝑁)(πΉβ€˜π‘¦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)β€˜π‘§)))
204195, 203mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))) ∧ 𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§))
205204rexlimdva2 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
206205ralimdva 3162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
207206impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ πœ‘) β†’ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§))
208207anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . 13 (((βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ πœ‘) ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼) β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
209 dffo3 7106 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘§ ∈ (0..^(β™―β€˜π»))𝑖 = (π»β€˜π‘§)))
210208, 209sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) ∧ πœ‘) ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼) β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)
211210exp31 419 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘– ∈ dom πΌβˆƒπ‘¦ ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ))𝑖 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
21219, 211simplbiim 504 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–ontoβ†’dom 𝐼 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
21318, 212simplbiim 504 . . . . . . . . 9 (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
214213com13 88 . . . . . . . 8 (𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))⟢dom 𝐼 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
21517, 214syl 17 . . . . . . 7 (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 β†’ (πœ‘ β†’ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)))
216215impcom 407 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ (𝐹:(0..^(β™―β€˜πΉ))–1-1-ontoβ†’dom 𝐼 β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
21713, 216mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼)
2189, 217jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄) β†’ (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
2198, 218mpdan 686 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
2202iseupth 29998 . . 3 (𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄 ↔ (𝐻(Trailsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(β™―β€˜π»))–ontoβ†’dom 𝐼))
221219, 220sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄)
2221, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcsh 29622 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄)
223221, 222jca 511 1 (πœ‘ β†’ (𝐻(EulerPathsβ€˜πΊ)𝑄 ∧ 𝐻(Circuitsβ€˜πΊ)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  ifcif 4524   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€“1-1β†’wf1 6539  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466  β„•cn 12234  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651   mod cmo 13858  β™―chash 14313  Word cword 14488   cyclShift ccsh 14762  Vtxcvtx 28796  iEdgciedg 28797  Walkscwlks 29397  Trailsctrls 29491  Circuitsccrcts 29585  EulerPathsceupth 29994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-hash 14314  df-word 14489  df-concat 14545  df-substr 14615  df-pfx 14645  df-csh 14763  df-wlks 29400  df-trls 29493  df-crcts 29587  df-eupth 29995
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30042
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