Theorem eucrctshift 30262

Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrctshift.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrctshift.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrctshift.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrctshift.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eucrctshift.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
eucrctshift.e	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
eucrctshift	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem eucrctshift

Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrctshift.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrctshift.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrctshift.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		eucrctshift.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		eucrctshift.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		eucrctshift.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		eucrctshift.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 29843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
9		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
10		eucrctshift.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
11	2	eupthf1o 30223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
14		trliswlk 29715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
15	2	wlkf 29632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 → 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16		wrdf 14557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
17		df-f1o 6568	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
18		dffo3 7122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦)))
19		crctiswlk 29816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
20	2	wlkf 29632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
21		lencl 14571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
22	4	oveq2i 7442	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
23	22	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
24		elfzonn0 13747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
25	24	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
26		elfzonn0 13747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
27		nn0sub 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
28	25, 26, 27	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
29	28	biimpac 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0)
30		elfzo0 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
31		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
32	30, 31	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
33	32	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
34		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℝ)
36		nnre 12273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
39		elfzoelz 13699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℤ)
40	39	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
41		readdcl 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
42	37, 40, 41	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
43	35, 38, 42	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ))
44		elfzole1 13707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 0 ≤ 𝑆)
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 0 ≤ 𝑆)
46		addge01 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
47	37, 40, 46	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
48	45, 47	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆))
49	43, 48	lelttrdi 11423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
50	49	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
51	50	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
52	51	3impia 1118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
53	52	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
54	53	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))
55	34	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	40	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
58		elfzoel2 13698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
59	58	zred 12722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
60	59	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
61	56, 57, 60	ltsubaddd 11859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹) ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
62	54, 61	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
63	62	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
64	30, 63	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
65	64	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
66	65	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
67		elfzo0 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
68	29, 33, 66, 67	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
69		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆))
70	69	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
71	39	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
72	71	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
73		elfzoelz 13699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
74	73	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
75	72, 74	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
76	75	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
77		npcan 11517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
78	76, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
79	78	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑦 mod (♯‘𝐹)))
80		zmodidfzoimp 13941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
81	80	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
82	79, 81	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
83	70, 82	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
84	83	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
85	68, 84	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
86		elfzo0 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)))
87		nn0cn 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
88	87	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
89		nn0cn 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℂ)
90	89	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
91	90	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
92		nncn 12274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
93	92	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
95	88, 91, 94	subadd23d 11642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) = (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)))
96		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
97		nn0z 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℤ)
98		nnz 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
99		znnsub 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
100	97, 98, 99	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
101	100	biimp3a 1471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
103	102	nnnn0d 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ0)
104	96, 103	nn0addcld 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)) ∈ ℕ0)
105	95, 104	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
106	105	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
107		simplr2 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
108	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
109		subcl 11507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
110	108, 90, 109	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
111	94, 110	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
113		addcom 11447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
115	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
116		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
117	116	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
118		ltnle 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦))
119		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
120		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
121	119, 120	sublt0d 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
122	121	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
123	118, 122	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
124	115, 117, 123	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
125	124	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (𝑦 − 𝑆) < 0)
126		resubcl 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
127	115, 117, 126	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
128	36	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
129	128	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
130	127, 129	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
131	130	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
132		ltaddneg 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
134	125, 133	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹))
135	114, 134	eqbrtrrd 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))
136	106, 107, 135	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
137	136	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
138	137	3adant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
139	86, 138	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
140	139	adantld 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
141	30, 140	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
142	141	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))))
143	142	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
144		elfzo0 13740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
145	143, 144	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
146		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆))
147	146	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
148	72	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
149	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
150		nn0cn 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
151	150	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
152	148, 149, 151	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
153	152	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
154		simp2 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
155		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
156		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
157	154, 156, 155	nppcand 11645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = (𝑦 + (♯‘𝐹)))
158	154, 155, 157	comraddd 11475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
159	153, 158	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
160	159	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)))
161	30	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
162	161	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
163		addmodid 13960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
164	162, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
165	160, 164	eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
166	147, 165	sylan9eqr 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
167	166	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
168	145, 167	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
169	85, 168	pm2.61ian 812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
170	22	rexeqi 3325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
171	169, 170	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
172	171	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
173	23, 172	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
174	19, 20, 21, 173	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
175	3, 5, 174	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
177	176	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
178	177	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
179		fveq2 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
180	179	reximi 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
181	178, 180	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
182	3, 19, 20	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
183	182	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
184		elfzoelz 13699	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
185	5, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
186	185	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑆 ∈ ℤ)
187	22	eleq2i 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
188	187	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
189		cshwidxmod 14841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
190	183, 186, 188, 189	syl2an3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
191	190	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
192	191	rexbidva 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
193	181, 192	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
194	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 29838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
195	194	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
196	195	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
197		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑖 = (𝐹‘𝑦))
198	6	fveq1i 6907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
200	197, 199	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
201	196, 200	rexeqbidv 3347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
202	193, 201	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
203	202	rexlimdva2 3157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
204	203	ralimdva 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
205	204	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
206	205	anim1ci 616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
207		dffo3 7122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
208	206, 207	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
209	208	exp31 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
210	18, 209	simplbiim 504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
211	17, 210	simplbiim 504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
212	211	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
213	14, 15, 16, 212	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
214	213	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
215	13, 214	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
216	9, 215	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
217	8, 216	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
218	2	iseupth 30220	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
219	217, 218	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄)
220	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcsh 29844	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
221	219, 220	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  ifcif 4525   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  –1-1→wf1 6558  –onto→wfo 6559  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  ♯chash 14369  Word cword 14552   cyclShift ccsh 14826  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Walkscwlks 29614  Trailsctrls 29708  Circuitsccrcts 29804  EulerPathsceupth 30216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-csh 14827  df-wlks 29617  df-trls 29710  df-crcts 29806  df-eupth 30217

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  30264