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Theorem eucrctshift 28895
Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit 𝐹, 𝑃 results in an Eulerian circuit 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrctshift.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrctshift.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrctshift.c (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrctshift.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
eucrctshift.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
eucrctshift.e (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eucrctshift (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem eucrctshift
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucrctshift.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eucrctshift.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eucrctshift.c . . . . 5 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 eucrctshift.n . . . . 5 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 eucrctshift.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 eucrctshift.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 eucrctshift.q . . . . 5 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 28476 . . . 4 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
9 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
10 eucrctshift.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
112eupthf1o 28856 . . . . . . . 8 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
14 trliswlk 28353 . . . . . . . . 9 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
152wlkf 28270 . . . . . . . . 9 (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16 wrdf 14322 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
18 df-f1o 6486 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
19 dffo3 7034 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦)))
20 crctiswlk 28452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
212wlkf 28270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
22 lencl 14336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
234oveq2i 7348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
2423eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
25 elfzonn0 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
27 elfzonn0 13533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28 nn0sub 12384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑦 ↔ (𝑦𝑆) ∈ ℕ0))
2926, 27, 28syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆𝑦 ↔ (𝑦𝑆) ∈ ℕ0))
3029biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) ∈ ℕ0)
31 elfzo0 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
32 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
3331, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
3433ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
35 nn0re 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℝ)
37 nnre 12081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
40 elfzoelz 13488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℤ)
4140zred 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
42 readdcl 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
4338, 41, 42syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
4436, 39, 433jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ))
45 elfzole1 13496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 0 ≤ 𝑆)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 0 ≤ 𝑆)
47 addge01 11586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
4838, 41, 47syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
4946, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆))
5044, 49lelttrdi 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
5150ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
53523impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
5453adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
5554imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))
56353ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
5841ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
59 elfzoel2 13487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
6059zred 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6160ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6257, 58, 61ltsubaddd 11672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦𝑆) < (♯‘𝐹) ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
6355, 62mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹))
6463ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹)))
6531, 64sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹)))
6665impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹))
68 elfzo0 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑦𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹)))
6930, 34, 67, 68syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
70 oveq1 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = (𝑦𝑆) → (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦𝑆) + 𝑆))
7170oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = (𝑦𝑆) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((𝑦𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
7240zcnd 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
74 elfzoelz 13488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
7574zcnd 12528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7673, 75anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
78 npcan 11331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
8079oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑦 mod (♯‘𝐹)))
81 zmodidfzoimp 13722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8281ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8380, 82eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8471, 83sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦𝑆)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8584eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦𝑆)) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
8669, 85rspcedeq2vd 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
87 elfzo0 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)))
88 nn0cn 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
8988ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
90 nn0cn 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℂ)
91903ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
93 nncn 12082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
94933ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9689, 92, 95subadd23d 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) = (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)))
97 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
98 nn0z 12444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℤ)
99 nnz 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
100 znnsub 12467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
10198, 99, 100syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
102101biimp3a 1468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
103102adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
104103nnnn0d 12394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ0)
10597, 104nn0addcld 12398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)) ∈ ℕ0)
10696, 105eqeltrd 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
108 simplr2 1215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
10988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
110 subcl 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑦𝑆) ∈ ℂ)
111109, 91, 110syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) ∈ ℂ)
11295, 111jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑆) ∈ ℂ))
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑆) ∈ ℂ))
114 addcom 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)))
11635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117 nn0re 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
119 ltnle 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑦))
120 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
121 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
122120, 121sublt0d 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
123122biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 → (𝑦𝑆) < 0))
124119, 123sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (¬ 𝑆𝑦 → (𝑦𝑆) < 0))
125116, 118, 124syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (𝑦𝑆) < 0))
126125imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → (𝑦𝑆) < 0)
127 resubcl 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦𝑆) ∈ ℝ)
128116, 118, 127syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) ∈ ℝ)
129373ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
131128, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
133 ltaddneg 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) < (♯‘𝐹)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) < (♯‘𝐹)))
135126, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) < (♯‘𝐹))
136115, 135eqbrtrrd 5116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))
137107, 108, 1363jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
138137exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
1391383adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
14087, 139biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
141140adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
14231, 141sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
143142impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))))
144143impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
145 elfzo0 13529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
146144, 145sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
147 oveq1 7344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) → (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆))
148147oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
14973adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
15075adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
151 nn0cn 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
152151ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
153149, 150, 1523jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
154153adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
155 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
156 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
157 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
158155, 157, 156nppcand 11458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = (𝑦 + (♯‘𝐹)))
159155, 156, 158comraddd 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
160154, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
161160oveq1d 7352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)))
16231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
163162ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
164 addmodid 13740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
166161, 165eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
167148, 166sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹))) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
168167eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹))) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
169146, 168rspcedeq2vd 3576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
17086, 169pm2.61ian 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
17123rexeqi 3308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
172170, 171sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
173172exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
17424, 173biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
17522, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
17620, 21, 1753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1773, 5, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
178177adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
179178imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
181 fveq2 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
182181reximi 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
183180, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
1843, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
185184ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
186 elfzoelz 13488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
1875, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
188187ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → 𝑆 ∈ ℤ)
18923eleq2i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
190189biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
191 cshwidxmod 14614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
192185, 188, 190, 191syl2an3an 1421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
193192eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
194193rexbidva 3169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
195183, 194mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
1961, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 28471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
197196oveq2d 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
198197ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
199 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → 𝑖 = (𝐹𝑦))
2006fveq1i 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐻𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (𝐻𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
202199, 201eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (𝑖 = (𝐻𝑧) ↔ (𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
203198, 202rexeqbidv 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
204195, 203mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧))
205204rexlimdva2 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) → (∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
206205ralimdva 3160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
207206impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) ∧ 𝜑) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧))
208207anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
209 dffo3 7034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
210208, 209sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
211210exp31 420 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
21219, 211simplbiim 505 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
21318, 212simplbiim 505 . . . . . . . . 9 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
214213com13 88 . . . . . . . 8 (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
21517, 214syl 17 . . . . . . 7 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
216215impcom 408 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
21713, 216mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
2189, 217jca 512 . . . 4 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
2198, 218mpdan 684 . . 3 (𝜑 → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
2202iseupth 28853 . . 3 (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
221219, 220sylibr 233 . 2 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄)
2221, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcsh 28477 . 2 (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
223221, 222jca 512 1 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3061  wrex 3070  ifcif 4473   class class class wbr 5092  cmpt 5175  dom cdm 5620  wf 6475  1-1wf1 6476  ontowfo 6477  1-1-ontowf1o 6478  cfv 6479  (class class class)co 7337  cc 10970  cr 10971  0cc0 10972   + caddc 10975   < clt 11110  cle 11111  cmin 11306  cn 12074  0cn0 12334  cz 12420  ...cfz 13340  ..^cfzo 13483   mod cmo 13690  chash 14145  Word cword 14317   cyclShift ccsh 14599  Vtxcvtx 27655  iEdgciedg 27656  Walkscwlks 28252  Trailsctrls 28346  Circuitsccrcts 28440  EulerPathsceupth 28849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-ico 13186  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-mod 13691  df-hash 14146  df-word 14318  df-concat 14374  df-substr 14452  df-pfx 14482  df-csh 14600  df-wlks 28255  df-trls 28348  df-crcts 28442  df-eupth 28850
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  28897
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