Theorem eucrctshift 28028

Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eucrctshift.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrctshift.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrctshift.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrctshift.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eucrctshift.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
eucrctshift.e	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
eucrctshift	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem eucrctshift

Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrctshift.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrctshift.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrctshift.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		eucrctshift.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		eucrctshift.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		eucrctshift.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		eucrctshift.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 27609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
9		simpr 488	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
10		eucrctshift.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
11	2	eupthf1o 27989	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
13	12	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
14		trliswlk 27487	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
15	2	wlkf 27404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 → 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16		wrdf 13862	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
18		df-f1o 6331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
19		dffo3 6845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦)))
20		crctiswlk 27585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
21	2	wlkf 27404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
22		lencl 13876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
23	4	oveq2i 7146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
24	23	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
25		elfzonn0 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
27		elfzonn0 13077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28		nn0sub 11935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
29	26, 27, 28	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0))
30	29	biimpac 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0)
31		elfzo0 13073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
32		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
33	31, 32	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
34	33	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
35		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℝ)
37		nnre 11632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
39	38	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℤ)
41	40	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
42		readdcl 10609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
43	38, 41, 42	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
44	36, 39, 43	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ))
45		elfzole1 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 0 ≤ 𝑆)
46	45	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 0 ≤ 𝑆)
47		addge01 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
48	38, 41, 47	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
49	46, 48	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆))
50	44, 49	lelttrdi 10791	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
51	50	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
52	51	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
53	52	3impia 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
54	53	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
55	54	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))
56	35	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	41	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
59		elfzoel2 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
60	59	zred 12075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
61	60	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
62	57, 58, 61	ltsubaddd 11225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹) ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
63	55, 62	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
64	63	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
65	31, 64	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
66	65	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
67	66	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
68		elfzo0 13073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
69	30, 34, 67, 68	syl3anbrc 1340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
70		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆))
71	70	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
72	40	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
73	72	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
74		elfzoelz 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
76	73, 75	anim12ci 616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
77	76	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
78		npcan 10884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
80	79	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑦 mod (♯‘𝐹)))
81		zmodidfzoimp 13264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
82	81	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
83	80, 82	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
84	71, 83	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
85	84	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
86	69, 85	rspcedeq2vd 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
87		elfzo0 13073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)))
88		nn0cn 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
89	88	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
90		nn0cn 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℂ)
91	90	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
92	91	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
93		nncn 11633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
94	93	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
95	94	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
96	89, 92, 95	subadd23d 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) = (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)))
97		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
98		nn0z 11993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℤ)
99		nnz 11992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
100		znnsub 12016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
101	98, 99, 100	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
102	101	biimp3a 1466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
103	102	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
104	103	nnnn0d 11943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ0)
105	97, 104	nn0addcld 11947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)) ∈ ℕ0)
106	96, 105	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
107	106	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
108		simplr2 1213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
109	88	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
110		subcl 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
111	109, 91, 110	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
112	95, 111	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
113	112	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
114		addcom 10815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
116	35	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ0 → 𝑆 ∈ ℝ)
118	117	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
119		ltnle 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦))
120		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
121		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
122	120, 121	sublt0d 11255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
123	122	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
124	119, 123	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
125	116, 118, 124	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
126	125	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (𝑦 − 𝑆) < 0)
127		resubcl 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
128	116, 118, 127	syl2an 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
129	37	3ad2ant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
130	129	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
131	128, 130	jca 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
133		ltaddneg 10844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
135	126, 134	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹))
136	115, 135	eqbrtrrd 5054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))
137	107, 108, 136	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
138	137	exp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
139	138	3adant2 1128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
140	87, 139	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
141	140	adantld 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
142	31, 141	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
143	142	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))))
144	143	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
145		elfzo0 13073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
146	144, 145	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
147		oveq1 7142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆))
148	147	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
149	73	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
150	75	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
151		nn0cn 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
152	151	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
153	149, 150, 152	3jca 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
154	153	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
155		simp2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
156		simp3 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
157		simp1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
158	155, 157, 156	nppcand 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = (𝑦 + (♯‘𝐹)))
159	155, 156, 158	comraddd 10843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
160	154, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
161	160	oveq1d 7150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)))
162	31	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
163	162	ad2antll 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
164		addmodid 13282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
166	161, 165	eqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
167	148, 166	sylan9eqr 2855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
168	167	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
169	146, 168	rspcedeq2vd 3578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
170	86, 169	pm2.61ian 811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
171	23	rexeqi 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
172	170, 171	sylibr 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
173	172	exp31 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
174	24, 173	syl5bi 245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
175	22, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
176	20, 21, 175	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
177	3, 5, 176	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
178	177	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
179	178	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
180	179	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
181		fveq2 6645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
182	181	reximi 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
183	180, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
184	3, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
185	184	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
186		elfzoelz 13033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
187	5, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
188	187	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑆 ∈ ℤ)
189	23	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
190	189	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
191		cshwidxmod 14156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
192	185, 188, 190, 191	syl2an3an 1419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
193	192	eqeq2d 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
194	193	rexbidva 3255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
195	183, 194	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
196	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 27604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
197	196	oveq2d 7151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
198	197	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
199		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑖 = (𝐹‘𝑦))
200	6	fveq1i 6646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
202	199, 201	eqeq12d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
203	198, 202	rexeqbidv 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
204	195, 203	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
205	204	rexlimdva2 3246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
206	205	ralimdva 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
207	206	impcom 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
208	207	anim1ci 618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
209		dffo3 6845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
210	208, 209	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
211	210	exp31 423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
212	19, 211	simplbiim 508	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
213	18, 212	simplbiim 508	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
214	213	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
215	17, 214	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
216	215	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
217	13, 216	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
218	9, 217	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
219	8, 218	mpdan 686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
220	2	iseupth 27986	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
221	219, 220	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄)
222	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcsh 27610	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
223	221, 222	jca 515	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107  ifcif 4425   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  dom cdm 5519  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232  ♯chash 13686  Word cword 13857   cyclShift ccsh 14141  Vtxcvtx 26789  iEdgciedg 26790  Walkscwlks 27386  Trailsctrls 27480  Circuitsccrcts 27573  EulerPathsceupth 27982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142  df-wlks 27389  df-trls 27482  df-crcts 27575  df-eupth 27983

This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  28030