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Theorem eucrctshift 29187
Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit 𝐹, 𝑃 results in an Eulerian circuit 𝐻, 𝑄. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
eucrctshift.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrctshift.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrctshift.c (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrctshift.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
eucrctshift.s (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
eucrctshift.e (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
eucrctshift (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐻   𝑥,𝐼   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem eucrctshift
Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eucrctshift.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eucrctshift.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3 eucrctshift.c . . . . 5 (𝜑𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4 eucrctshift.n . . . . 5 𝑁 = (♯‘𝐹)
5 eucrctshift.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6 eucrctshift.h . . . . 5 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7 eucrctshift.q . . . . 5 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcshtrl 28768 . . . 4 (𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
9 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
10 eucrctshift.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
112eupthf1o 29148 . . . . . . . 8 (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
1210, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
14 trliswlk 28645 . . . . . . . . 9 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
152wlkf 28562 . . . . . . . . 9 (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16 wrdf 14407 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ Word dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . . 8 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
18 df-f1o 6503 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
19 dffo3 7052 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦)))
20 crctiswlk 28744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
212wlkf 28562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
22 lencl 14421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
234oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
2423eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
25 elfzonn0 13617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℕ0)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
27 elfzonn0 13617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
28 nn0sub 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑦 ↔ (𝑦𝑆) ∈ ℕ0))
2926, 27, 28syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆𝑦 ↔ (𝑦𝑆) ∈ ℕ0))
3029biimpac 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) ∈ ℕ0)
31 elfzo0 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
32 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
3331, 32sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
3433ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
35 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℝ)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℝ)
37 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
3837adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
3938adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
40 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℤ)
4140zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
42 readdcl 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
4338, 41, 42syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
4436, 39, 433jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ))
45 elfzole1 13580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 0 ≤ 𝑆)
4645adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 0 ≤ 𝑆)
47 addge01 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
4838, 41, 47syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
4946, 48mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆))
5044, 49lelttrdi 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
5150ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
53523impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
5453adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
5554imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))
56353ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
5841ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
59 elfzoel2 13571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
6059zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6160ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
6257, 58, 61ltsubaddd 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦𝑆) < (♯‘𝐹) ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
6355, 62mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹))
6463ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹)))
6531, 64sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹)))
6665impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹))
68 elfzo0 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑦𝑆) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ (𝑦𝑆) < (♯‘𝐹)))
6930, 34, 67, 68syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
70 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = (𝑦𝑆) → (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦𝑆) + 𝑆))
7170oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = (𝑦𝑆) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((𝑦𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
7240zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
7372adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
74 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
7574zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
7673, 75anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
78 npcan 11410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑦𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
8079oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑦 mod (♯‘𝐹)))
81 zmodidfzoimp 13806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8281ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8380, 82eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8471, 83sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦𝑆)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
8584eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦𝑆)) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
8669, 85rspcedeq2vd 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
87 elfzo0 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)))
88 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℂ)
8988ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
90 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℂ)
91903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
9291adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
93 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
94933ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9594adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
9689, 92, 95subadd23d 11534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) = (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)))
97 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
98 nn0z 12524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℤ)
99 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
100 znnsub 12549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
10198, 99, 100syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
102101biimp3a 1469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
103102adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
104103nnnn0d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ0)
10597, 104nn0addcld 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)) ∈ ℕ0)
10696, 105eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
107106adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0)
108 simplr2 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
10988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
110 subcl 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑦𝑆) ∈ ℂ)
111109, 91, 110syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) ∈ ℂ)
11295, 111jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑆) ∈ ℂ))
113112adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑆) ∈ ℂ))
114 addcom 11341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)))
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)))
11635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117 nn0re 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (𝑆 ∈ ℕ0𝑆 ∈ ℝ)
1181173ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
119 ltnle 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆𝑦))
120 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
121 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
122120, 121sublt0d 11781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
123122biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 → (𝑦𝑆) < 0))
124119, 123sylbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (¬ 𝑆𝑦 → (𝑦𝑆) < 0))
125116, 118, 124syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (𝑦𝑆) < 0))
126125imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → (𝑦𝑆) < 0)
127 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦𝑆) ∈ ℝ)
128116, 118, 127syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦𝑆) ∈ ℝ)
129373ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
130129adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
131128, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
133 ltaddneg 11370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑦𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) < (♯‘𝐹)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) < (♯‘𝐹)))
135126, 134mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦𝑆)) < (♯‘𝐹))
136115, 135eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))
137107, 108, 1363jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆𝑦) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
138137exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑦 ∈ ℕ0𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
1391383adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
14087, 139biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
141140adantld 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
14231, 141sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
143142impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆𝑦 → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))))
144143impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
145 elfzo0 13613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
146144, 145sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
147 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) → (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆))
148147oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
14973adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
15075adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
151 nn0cn 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
152151ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
153149, 150, 1523jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
154153adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
155 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
156 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
157 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
158155, 157, 156nppcand 11537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = (𝑦 + (♯‘𝐹)))
159155, 156, 158comraddd 11369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
160154, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
161160oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)))
16231biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
163162ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
164 addmodid 13824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
166161, 165eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
167148, 166sylan9eqr 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹))) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
168167eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦𝑆) + (♯‘𝐹))) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
169146, 168rspcedeq2vd 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((¬ 𝑆𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
17086, 169pm2.61ian 810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
17123rexeqi 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
172170, 171sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
173172exp31 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
17424, 173biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
17522, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
17620, 21, 1753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
1773, 5, 176sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
178177adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
179178imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
180179adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
181 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
182181reximi 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
183180, 182syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
1843, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
185184ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
186 elfzoelz 13572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
1875, 186syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
188187ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → 𝑆 ∈ ℤ)
18923eleq2i 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
190189biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
191 cshwidxmod 14691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
192185, 188, 190, 191syl2an3an 1422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
193192eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ (𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
194193rexbidva 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
195183, 194mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
1961, 2, 3, 4, 5, 6crctcshlem2 28763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
197196oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
198197ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
199 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → 𝑖 = (𝐹𝑦))
2006fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐻𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)
201200a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (𝐻𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
202199, 201eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (𝑖 = (𝐻𝑧) ↔ (𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
203198, 202rexeqbidv 3320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
204195, 203mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧))
205204rexlimdva2 3154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ dom 𝐼) → (∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
206205ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
207206impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) ∧ 𝜑) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧))
208207anim1ci 616 . . . . . . . . . . . . 13 (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
209 dffo3 7052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻𝑧)))
210208, 209sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
211210exp31 420 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑖 ∈ dom 𝐼𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹𝑦) → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
21219, 211simplbiim 505 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
21318, 212simplbiim 505 . . . . . . . . 9 (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
214213com13 88 . . . . . . . 8 (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
21517, 214syl 17 . . . . . . 7 (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
216215impcom 408 . . . . . 6 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
21713, 216mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
2189, 217jca 512 . . . 4 ((𝜑𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
2198, 218mpdan 685 . . 3 (𝜑 → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
2202iseupth 29145 . . 3 (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
221219, 220sylibr 233 . 2 (𝜑𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄)
2221, 2, 3, 4, 5, 6, 7crctcsh 28769 . 2 (𝜑𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
223221, 222jca 512 1 (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  1-1wf1 6493  ontowfo 6494  1-1-ontowf1o 6495  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  0cn0 12413  cz 12499  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567   mod cmo 13774  chash 14230  Word cword 14402   cyclShift ccsh 14676  Vtxcvtx 27947  iEdgciedg 27948  Walkscwlks 28544  Trailsctrls 28638  Circuitsccrcts 28732  EulerPathsceupth 29141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677  df-wlks 28547  df-trls 28640  df-crcts 28734  df-eupth 29142
This theorem is referenced by:  eucrct2eupth  29189
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