eucrctshift - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > eucrctshift		Structured version Visualization version GIF version

Theorem eucrctshift 28022

Description: Cyclically shifting the indices of an Eulerian circuit ⟨𝐹, 𝑃⟩ results in an Eulerian circuit ⟨𝐻, 𝑄⟩. (Contributed by AV, 15-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
eucrctshift.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
eucrctshift.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
eucrctshift.c	⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
eucrctshift.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
eucrctshift.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
eucrctshift.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
eucrctshift.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
eucrctshift.e	⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)

**Assertion**
Ref	Expression
eucrctshift	⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐹 𝑥,𝐻 𝑥,𝐼 𝑥,𝑁 𝑥,𝑃 𝑥,𝑆 𝑥,𝑉 𝜑,𝑥 Allowed substitution hints: 𝑄(𝑥) 𝐺(𝑥)

Proof of Theorem eucrctshift Dummy variables 𝑖 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eucrctshift.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eucrctshift.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
3		eucrctshift.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃)
4		eucrctshift.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		eucrctshift.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (0..^𝑁))
6		eucrctshift.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
7		eucrctshift.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcshtrl 27601	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
9		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄)
10		eucrctshift.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃)
11	2	eupthf1o 27983	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(EulerPaths‘𝐺)𝑃 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
13	12	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼)
14		trliswlk 27479	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → 𝐻(Walks‘𝐺)𝑄)
15	2	wlkf 27396	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻(Walks‘𝐺)𝑄 → 𝐻 ∈ Word dom 𝐼)
16		wrdf 13867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
17	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼)
18		df-f1o 6362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1→dom 𝐼 ∧ 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼))
19		dffo3 6868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦)))
20		crctiswlk 27577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
21	2	wlkf 27396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
22		lencl 13883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ₀)
23	4	oveq2i 7167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
24	23	eleq2i 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
25		elfzonn0 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
26	25	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℕ₀)
27		elfzonn0 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℕ₀)
28		nn0sub 11948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 ∈ ℕ₀) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
29	26, 27, 28	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ≤ 𝑦 ↔ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ₀))
30	29	biimpac 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ₀)
31		elfzo0 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
32		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
33	31, 32	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
34	33	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
35		nn0re 11907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ → 𝑦 ∈ ℝ)
36	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℝ)
37		nnre 11645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
38	37	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
39	38	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
40		elfzoelz 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℤ)
41	40	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
42		readdcl 10620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
43	38, 41, 42	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ)
44	36, 39, 43	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ ((♯‘𝐹) + 𝑆) ∈ ℝ))
45		elfzole1 13047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 0 ≤ 𝑆)
46	45	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 0 ≤ 𝑆)
47		addge01 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
48	38, 41, 47	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (0 ≤ 𝑆 ↔ (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
49	46, 48	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ≤ ((♯‘𝐹) + 𝑆))
50	44, 49	lelttrdi 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
51	50	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
52	51	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑦 < (♯‘𝐹) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))))
53	52	3impia 1113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
54	53	adantld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
55	54	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆))
56	35	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
57	56	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
58	41	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → 𝑆 ∈ ℝ)
59		elfzoel2 13038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
60	59	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
61	60	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
62	57, 58, 61	ltsubaddd 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹) ↔ 𝑦 < ((♯‘𝐹) + 𝑆)))
63	55, 62	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
64	63	ex 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
65	31, 64	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
66	65	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
67	66	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹))
68		elfzo0 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ (𝑦 − 𝑆) < (♯‘𝐹)))
69	30, 34, 67, 68	syl3anbrc 1339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
70		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → (𝑧 + 𝑆) = ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆))
71	70	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 𝑆) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
72	40	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
73	72	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
74		elfzoelz 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
76	73, 75	anim12ci 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
77	76	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ))
78		npcan 10895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) = 𝑦)
80	79	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (𝑦 mod (♯‘𝐹)))
81		zmodidfzoimp 13270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
82	81	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
83	80, 82	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
84	71, 83	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
85	84	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 𝑆)) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
86	69, 85	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
87		elfzo0 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)))
88		nn0cn 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ₀ → 𝑦 ∈ ℂ)
89	88	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
90		nn0cn 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ₀ → 𝑆 ∈ ℂ)
91	90	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℂ)
92	91	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
93		nncn 11646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
94	93	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
95	94	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
96	89, 92, 95	subadd23d 11019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) = (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)))
97		simpll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℕ₀)
98		nn0z 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ₀ → 𝑆 ∈ ℤ)
99		nnz 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
100		znnsub 12029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑆 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℤ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
101	98, 99, 100	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ) → (𝑆 < (♯‘𝐹) ↔ ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ))
102	101	biimp3a 1465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
103	102	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ)
104	103	nnnn0d 11956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 𝑆) ∈ ℕ₀)
105	97, 104	nn0addcld 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 + ((♯‘𝐹) − 𝑆)) ∈ ℕ₀)
106	96, 105	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀)
107	106	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀)
108		simplr2 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ)
109	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℂ)
110		subcl 10885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
111	109, 91, 110	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ)
112	95, 111	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
113	112	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ))
114		addcom 10826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℂ ∧ (𝑦 − 𝑆) ∈ ℂ) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
115	113, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)))
116	35	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → 𝑦 ∈ ℝ)
117		nn0re 11907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ₀ → 𝑆 ∈ ℝ)
118	117	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → 𝑆 ∈ ℝ)
119		ltnle 10720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦))
120		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
121		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ ℝ)
122	120, 121	sublt0d 11266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ 𝑦 < 𝑆))
123	122	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑆 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
124	119, 123	sylbird 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
125	116, 118, 124	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (𝑦 − 𝑆) < 0))
126	125	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (𝑦 − 𝑆) < 0)
127		resubcl 10950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
128	116, 118, 127	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ)
129	37	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
130	129	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℝ)
131	128, 130	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
132	131	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ))
133		ltaddneg 10855	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) ∈ ℝ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) < 0 ↔ ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹)))
135	126, 134	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((♯‘𝐹) + (𝑦 − 𝑆)) < (♯‘𝐹))
136	115, 135	eqbrtrrd 5090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))
137	107, 108, 136	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) ∧ (𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹))) ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑦) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
138	137	exp31 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
139	138	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → ((𝑆 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑆 < (♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
140	87, 139	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
141	140	adantld 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
142	31, 141	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))))
143	142	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (¬ 𝑆 ≤ 𝑦 → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹))))
144	143	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
145		elfzo0 13079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)) ↔ (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) < (♯‘𝐹)))
146	144, 145	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
147		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → (𝑧 + 𝑆) = (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆))
148	147	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
149	73	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑆 ∈ ℂ)
150	75	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → 𝑦 ∈ ℂ)
151		nn0cn 11908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
152	151	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
153	149, 150, 152	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
154	153	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ))
155		simp2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
156		simp3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
157		simp1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → 𝑆 ∈ ℂ)
158	155, 157, 156	nppcand 11022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = (𝑦 + (♯‘𝐹)))
159	155, 156, 158	comraddd 10854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℂ) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
160	154, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) = ((♯‘𝐹) + 𝑦))
161	160	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)))
162	31	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
163	162	ad2antll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)))
164		addmodid 13288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ ∧ 𝑦 < (♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
165	163, 164	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → (((♯‘𝐹) + 𝑦) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
166	161, 165	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ((((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹)) + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
167	148, 166	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) = 𝑦)
168	167	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) ∧ 𝑧 = ((𝑦 − 𝑆) + (♯‘𝐹))) → 𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
169	146, 168	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((¬ 𝑆 ≤ 𝑦 ∧ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
170	86, 169	pm2.61ian 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
171	23	rexeqi 3414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
172	170, 171	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
173	172	exp31 422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑆 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
174	24, 173	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ₀ → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
175	22, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
176	20, 21, 175	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐹(Circuits‘𝐺)𝑃 → (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
177	3, 5, 176	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
178	177	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
179	178	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
180	179	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))
181		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
182	181	reximi 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)𝑦 = ((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
183	180, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
184	3, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
185	184	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
186		elfzoelz 13039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑆 ∈ (0..^𝑁) → 𝑆 ∈ ℤ)
187	5, 186	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
188	187	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑆 ∈ ℤ)
189	23	eleq2i 2904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
190	189	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ (0..^𝑁) → 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
191		cshwidxmod 14165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹 ∈ Word dom 𝐼 ∧ 𝑆 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
192	185, 188, 190, 191	syl2an3an 1418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹))))
193	192	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
194	193	rexbidva 3296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = (𝐹‘((𝑧 + 𝑆) mod (♯‘𝐹)))))
195	183, 194	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
196	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshlem2 27596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐻) = 𝑁)
197	196	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
198	197	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (0..^(♯‘𝐻)) = (0..^𝑁))
199		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → 𝑖 = (𝐹‘𝑦))
200	6	fveq1i 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)
201	200	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝐻‘𝑧) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧))
202	199, 201	eqeq12d 2837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ (𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
203	198, 202	rexeqbidv 3402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → (∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)(𝐹‘𝑦) = ((𝐹 cyclShift 𝑆)‘𝑧)))
204	195, 203	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))) ∧ 𝑖 = (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
205	204	rexlimdva2 3287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) → (∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
206	205	ralimdva 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
207	206	impcom 410	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) → ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧))
208	207	anim1ci 617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
209		dffo3 6868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼 ↔ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 ∧ ∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑧 ∈ (0..^(♯‘𝐻))𝑖 = (𝐻‘𝑧)))
210	208, 209	sylibr 236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) ∧ 𝜑) ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
211	210	exp31 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ dom 𝐼∃𝑦 ∈ (0..^(♯‘𝐹))𝑖 = (𝐹‘𝑦) → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
212	19, 211	simplbiim 507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
213	18, 212	simplbiim 507	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
214	213	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐻:(0..^(♯‘𝐻))⟶dom 𝐼 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
215	17, 214	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 → (𝜑 → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)))
216	215	impcom 410	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))–1-1-onto→dom 𝐼 → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
217	13, 216	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼)
218	9, 217	jca 514	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐻(Trails‘𝐺)𝑄) → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
219	8, 218	mpdan 685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
220	2	iseupth 27980	. . 3 ⊢ (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ↔ (𝐻(Trails‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻:(0..^(♯‘𝐻))–onto→dom 𝐼))
221	219, 220	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄)
222	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	crctcsh 27602	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄)
223	221, 222	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝐻(EulerPaths‘𝐺)𝑄 ∧ 𝐻(Circuits‘𝐺)𝑄))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1537 ∈ wcel 2114 ∀wral 3138 ∃wrex 3139 ifcif 4467 class class class wbr 5066 ↦ cmpt 5146 dom cdm 5555 ⟶wf 6351 –1-1→wf1 6352 –onto→wfo 6353 –1-1-onto→wf1o 6354 ‘cfv 6355 (class class class)co 7156 ℂcc 10535 ℝcr 10536 0cc0 10537 + caddc 10540 < clt 10675 ≤ cle 10676 − cmin 10870 ℕcn 11638 ℕ₀cn0 11898 ℤcz 11982 ...cfz 12893 ..^cfzo 13034 mod cmo 13238 ♯chash 13691 Word cword 13862 cyclShift ccsh 14150 Vtxcvtx 26781 iEdgciedg 26782 Walkscwlks 27378 Trailsctrls 27472 Circuitsccrcts 27565 EulerPathsceupth 27976

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1970 ax-7 2015 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2145 ax-11 2161 ax-12 2177 ax-ext 2793 ax-rep 5190 ax-sep 5203 ax-nul 5210 ax-pow 5266 ax-pr 5330 ax-un 7461 ax-cnex 10593 ax-resscn 10594 ax-1cn 10595 ax-icn 10596 ax-addcl 10597 ax-addrcl 10598 ax-mulcl 10599 ax-mulrcl 10600 ax-mulcom 10601 ax-addass 10602 ax-mulass 10603 ax-distr 10604 ax-i2m1 10605 ax-1ne0 10606 ax-1rid 10607 ax-rnegex 10608 ax-rrecex 10609 ax-cnre 10610 ax-pre-lttri 10611 ax-pre-lttrn 10612 ax-pre-ltadd 10613 ax-pre-mulgt0 10614 ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-ifp 1058 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1540 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2070 df-mo 2622 df-eu 2654 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3773 df-csb 3884 df-dif 3939 df-un 3941 df-in 3943 df-ss 3952 df-pss 3954 df-nul 4292 df-if 4468 df-pw 4541 df-sn 4568 df-pr 4570 df-tp 4572 df-op 4574 df-uni 4839 df-int 4877 df-iun 4921 df-br 5067 df-opab 5129 df-mpt 5147 df-tr 5173 df-id 5460 df-eprel 5465 df-po 5474 df-so 5475 df-fr 5514 df-we 5516 df-xp 5561 df-rel 5562 df-cnv 5563 df-co 5564 df-dm 5565 df-rn 5566 df-res 5567 df-ima 5568 df-pred 6148 df-ord 6194 df-on 6195 df-lim 6196 df-suc 6197 df-iota 6314 df-fun 6357 df-fn 6358 df-f 6359 df-f1 6360 df-fo 6361 df-f1o 6362 df-fv 6363 df-riota 7114 df-ov 7159 df-oprab 7160 df-mpo 7161 df-om 7581 df-1st 7689 df-2nd 7690 df-wrecs 7947 df-recs 8008 df-rdg 8046 df-1o 8102 df-oadd 8106 df-er 8289 df-map 8408 df-en 8510 df-dom 8511 df-sdom 8512 df-fin 8513 df-sup 8906 df-inf 8907 df-card 9368 df-pnf 10677 df-mnf 10678 df-xr 10679 df-ltxr 10680 df-le 10681 df-sub 10872 df-neg 10873 df-div 11298 df-nn 11639 df-2 11701 df-n0 11899 df-z 11983 df-uz 12245 df-rp 12391 df-ico 12745 df-fz 12894 df-fzo 13035 df-fl 13163 df-mod 13239 df-hash 13692 df-word 13863 df-concat 13923 df-substr 14003 df-pfx 14033 df-csh 14151 df-wlks 27381 df-trls 27474 df-crcts 27567 df-eupth 27977

This theorem is referenced by: eucrct2eupth 28024

W3C validator