Theorem lenlteq 40377

Description: 'less than or equal to' but not 'less than' implies 'equal' . (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lenlteq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lenlteq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lenlteq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lenlteq.4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lenlteq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lenlteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlteq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lenlteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	jca 509	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4		lenlteq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lenlteq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqlelt 10444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 581	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
8	3, 7	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873  ℝcr 10251   < clt 10391   ≤ cle 10392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397

This theorem is referenced by:  voliooico  41003  voliccico  41010  volico2  41649