Theorem lenlteq 46514

Description: 'less than or equal to' but not 'less than' implies 'equal' . (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lenlteq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lenlteq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lenlteq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lenlteq.4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lenlteq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lenlteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlteq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lenlteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	jca 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4		lenlteq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lenlteq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqlelt 11407	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
8	3, 7	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ℝcr 11209   < clt 11353   ≤ cle 11354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359

This theorem is used by:  voliooico  47141  voliccico  47148  volico2  47790