Theorem lenlteq 45279

Description: 'less than or equal to' but not 'less than' implies 'equal' . (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lenlteq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lenlteq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lenlteq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lenlteq.4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lenlteq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lenlteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlteq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lenlteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	jca 511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4		lenlteq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lenlteq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqlelt 11377	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
8	3, 7	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  voliooico  45913  voliccico  45920  volico2  46562