Theorem lenlteq 43139

Description: 'less than or equal to' but not 'less than' implies 'equal' . (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lenlteq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lenlteq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lenlteq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lenlteq.4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lenlteq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lenlteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlteq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lenlteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	jca 512	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4		lenlteq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lenlteq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqlelt 11135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
8	3, 7	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5087  ℝcr 10943   < clt 11082   ≤ cle 11083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-resscn 11001  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-id 5507  df-po 5521  df-so 5522  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-er 8546  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088

This theorem is referenced by:  voliooico  43770  voliccico  43777  volico2  44417