Theorem lenlteq 44748

Description: 'less than or equal to' but not 'less than' implies 'equal' . (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lenlteq.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
lenlteq.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lenlteq.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lenlteq.4	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
lenlteq	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem lenlteq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lenlteq.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lenlteq.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐵)
3	1, 2	jca 510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵))
4		lenlteq.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
5		lenlteq.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6		eqlelt 11337	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
7	4, 5, 6	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵)))
8	3, 7	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5150  ℝcr 11143   < clt 11284   ≤ cle 11285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290

This theorem is referenced by:  voliooico  45382  voliccico  45389  volico2  46031