Theorem volico2 46749

Description: The measure of left-closed right-open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
volico2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))

Proof of Theorem volico2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4478	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
3		volico 46091	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
5		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
8	5, 6, 7	ltled 11261	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
9	8	iftrued 4480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
10	2, 4, 9	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
11	10	adantlr 715	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
12		simpll 766	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
13	12	simpld 494	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
14	12	simprd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
15		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
16		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
17	13, 14, 15, 16	lenlteq 45472	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
19		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
20	19	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = 𝐴)
21	18, 20	eqled 11216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≤ 𝐴)
22		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
23	18, 22	lenltd 11259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐵))
24	21, 23	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
25	24	iffalsed 4483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
26		recn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	subidd 11460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 𝐴) = 0)
28	27	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 = (𝐴 − 𝐴))
29	28	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 0 = (𝐴 − 𝐴))
30		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
31	30	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (𝐴 − 𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
32	25, 29, 31	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
33	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
34	22, 19	eqled 11216	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
35	34	iftrued 4480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = (𝐵 − 𝐴))
36	32, 33, 35	3eqtr4d 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 = 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
37	12, 17, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
38	11, 37	pm2.61dan 812	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
39	8	stoic1a 1773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
40	39	iffalsed 4483	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
41	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
42		iffalse 4481	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ≤ 𝐵 → if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
43	42	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0) = 0)
44	40, 41, 43	3eqtr4d 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ¬ 𝐴 ≤ 𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))
45	38, 44	pm2.61dan 812	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 ≤ 𝐵, (𝐵 − 𝐴), 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  0cc0 11006   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344  [,)cico 13247  volcvol 25391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-rest 17326  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cmp 23302  df-ovol 25392  df-vol 25393

This theorem is referenced by:  vonicc  46793