Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooico 45280
Description: An open interval and a left-closed, right-open interval with the same real bounds, have the same Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
voliooico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
voliooico.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
voliooico (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem voliooico
StepHypRef Expression
1 iftrue 4529 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
21adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
3 voliooico.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 11246 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54subidd 11563 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
65eqcomd 2732 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (𝐵𝐵))
76ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (𝐵𝐵))
8 iffalse 4532 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
98adantl 481 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
10 simpll 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝜑)
11 voliooico.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1514adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
16 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
1712, 13, 15, 16lenlteq 44646 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1918adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2010, 17, 19syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
217, 9, 203eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
222, 21pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
2322eqcomd 2732 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2411adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
253adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 volioo 25453 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 14, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
28 volico 45271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2911, 3, 28syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3029adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3123, 27, 303eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
32 simpl 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝜑)
33 simpr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3432, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
3532, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35ltnled 11365 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3733, 36mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
383adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3911adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
40 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
4138, 39, 40ltled 11366 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
4239rexrd 11268 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4338rexrd 11268 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 ioo0 13355 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4542, 43, 44syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4641, 45mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
47 ico0 13376 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4842, 43, 47syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4941, 48mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5046, 49eqtr4d 2769 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
5150fveq2d 6889 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5232, 37, 51syl2anc 583 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5331, 52pm2.61dan 810 1 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4317  ifcif 4523   class class class wbr 5141  cfv 6537  (class class class)co 7405  cr 11111  0cc0 11112  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  (,)cioo 13330  [,)cico 13332  volcvol 25347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349
This theorem is referenced by:  voliooicof  45284  vonn0ioo2  45978
  Copyright terms: Public domain W3C validator