Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  voliooico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem voliooico 45427
Description: An open interval and a left-closed, right-open interval with the same real bounds, have the same Lebesgue measure. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
voliooico.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
voliooico.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
voliooico (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))

Proof of Theorem voliooico
StepHypRef Expression
1 iftrue 4538 . . . . . 6 (𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
21adantl 480 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
3 voliooico.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43recnd 11282 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
54subidd 11599 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐵) = 0)
65eqcomd 2734 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 = (𝐵𝐵))
76ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 0 = (𝐵𝐵))
8 iffalse 4541 . . . . . . 7 𝐴 < 𝐵 → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
98adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = 0)
10 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝜑)
11 voliooico.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
1310, 3syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1514adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐵)
16 simpr 483 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → ¬ 𝐴 < 𝐵)
1712, 13, 15, 16lenlteq 44793 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
18 oveq2 7434 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
1918adantl 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
2010, 17, 19syl2anc 582 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵𝐴) = (𝐵𝐵))
217, 9, 203eqtr4d 2778 . . . . 5 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ¬ 𝐴 < 𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
222, 21pm2.61dan 811 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0) = (𝐵𝐴))
2322eqcomd 2734 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐵𝐴) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2411adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
253adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
26 volioo 25526 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
2724, 25, 14, 26syl3anc 1368 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (𝐵𝐴))
28 volico 45418 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
2911, 3, 28syl2anc 582 . . . 4 (𝜑 → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3029adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴[,)𝐵)) = if(𝐴 < 𝐵, (𝐵𝐴), 0))
3123, 27, 303eqtr4d 2778 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
32 simpl 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝜑)
33 simpr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
3432, 3syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
3532, 11syl 17 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3634, 35ltnled 11401 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (𝐵 < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴𝐵))
3733, 36mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → 𝐵 < 𝐴)
383adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3911adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
40 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 < 𝐴)
4138, 39, 40ltled 11402 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵𝐴)
4239rexrd 11304 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4338rexrd 11304 . . . . . . 7 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
44 ioo0 13391 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4542, 43, 44syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴(,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4641, 45mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = ∅)
47 ico0 13412 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4842, 43, 47syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → ((𝐴[,)𝐵) = ∅ ↔ 𝐵𝐴))
4941, 48mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴[,)𝐵) = ∅)
5046, 49eqtr4d 2771 . . . 4 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (𝐴(,)𝐵) = (𝐴[,)𝐵))
5150fveq2d 6906 . . 3 ((𝜑𝐵 < 𝐴) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5232, 37, 51syl2anc 582 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴𝐵) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
5331, 52pm2.61dan 811 1 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) = (vol‘(𝐴[,)𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  c0 4326  ifcif 4532   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7426  cr 11147  0cc0 11148  *cxr 11287   < clt 11288  cle 11289  cmin 11484  (,)cioo 13366  [,)cico 13368  volcvol 25420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-inf2 9674  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-sup 9475  df-inf 9476  df-oi 9543  df-dju 9934  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13134  df-xadd 13135  df-xmul 13136  df-ioo 13370  df-ico 13372  df-icc 13373  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-fl 13799  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-cj 15088  df-re 15089  df-im 15090  df-sqrt 15224  df-abs 15225  df-clim 15474  df-rlim 15475  df-sum 15675  df-rest 17413  df-topgen 17434  df-psmet 21285  df-xmet 21286  df-met 21287  df-bl 21288  df-mopn 21289  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-cmp 23319  df-ovol 25421  df-vol 25422
This theorem is referenced by:  voliooicof  45431  vonn0ioo2  46125
  Copyright terms: Public domain W3C validator