Theorem liminfvald 42934

Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfvald.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
liminfvald	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminfvald.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	liminfval 42929	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3856   ↦ cmpt 5124  ran crn 5541   “ cima 5543  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  supcsup 9045  infcinf 9046  ℝcr 10711  +∞cpnf 10847  ℝ^*cxr 10849   < clt 10850  [,)cico 12920  lim infclsi 42921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-sup 9047  df-inf 9048  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-liminf 42922

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  42945