Theorem liminfvald 46215

Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfvald.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
liminfvald	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminfvald.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	liminfval 46210	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∩ cin 3882   ↦ cmpt 5154  ran crn 5620   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  supcsup 9344  infcinf 9345  ℝcr 11029  +∞cpnf 11168  ℝ^*cxr 11170   < clt 11171  [,)cico 13292  lim infclsi 46202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-liminf 46203

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  46226