Theorem liminfvald 45735

Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfvald.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
liminfvald	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminfvald.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	liminfval 45730	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3921   ↦ cmpt 5196  ran crn 5647   “ cima 5649  ‘cfv 6519  (class class class)co 7394  supcsup 9409  infcinf 9410  ℝcr 11085  +∞cpnf 11223  ℝ^*cxr 11225   < clt 11226  [,)cico 13321  lim infclsi 45722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5541  df-po 5554  df-so 5555  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-sup 9411  df-inf 9412  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-liminf 45723

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45746