Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvald 42401
Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvald.1 (𝜑𝐹𝑉)
liminfvald.2 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfvald (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfvald
StepHypRef Expression
1 liminfvald.1 . 2 (𝜑𝐹𝑉)
2 liminfvald.2 . . 3 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32liminfval 42396 . 2 (𝐹𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2111  cin 3880  cmpt 5110  ran crn 5520  cima 5522  cfv 6324  (class class class)co 7135  supcsup 8888  infcinf 8889  cr 10525  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  [,)cico 12728  lim infclsi 42388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-liminf 42389
This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  42412
  Copyright terms: Public domain W3C validator