Theorem liminfvald 46214

Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfvald.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
liminfvald	⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		liminfvald.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	liminfval 46209	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ↦ cmpt 5167  ran crn 5627   “ cima 5629  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  supcsup 9348  infcinf 9349  ℝcr 11032  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   < clt 11174  [,)cico 13295  lim infclsi 46201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-liminf 46202

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  46225