Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfvald Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfvald 45052
Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfvald.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
liminfvald.2 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfvald (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem liminfvald
StepHypRef Expression
1 liminfvald.1 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2 liminfvald.2 . . 3 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
32liminfval 45047 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
41, 3syl 17 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252  [,)cico 13332  lim infclsi 45039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-liminf 45040
This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  45063
  Copyright terms: Public domain W3C validator