Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval5 44942
Description: The inferior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval5.1 𝑘𝜑
limsupval5.2 (𝜑𝐴𝑉)
limsupval5.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupval5.4 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfval5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfval5
StepHypRef Expression
1 limsupval5.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2 limsupval5.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
31, 2fexd 7231 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
4 eqid 2731 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54liminfval 44936 . . 3 (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7 limsupval5.4 . . . . . 6 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )))
9 limsupval5.1 . . . . . 6 𝑘𝜑
101fimassd 44391 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
11 df-ss 3965 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
1312eqcomd 2737 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1514infeq1d 9478 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
169, 15mpteq2da 5246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
178, 16eqtr2d 2772 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
1817rneqd 5937 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
1918supeq1d 9447 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
206, 19eqtrd 2771 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1784  wcel 2105  Vcvv 3473  cin 3947  wss 3948  cmpt 5231  ran crn 5677  cima 5679  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9441  infcinf 9442  cr 11115  +∞cpnf 11252  *cxr 11254   < clt 11255  [,)cico 13333  lim infclsi 44928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-liminf 44929
This theorem is referenced by:  liminf10ex  44951
  Copyright terms: Public domain W3C validator