Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval5 45721
Description: The inferior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval5.1 𝑘𝜑
limsupval5.2 (𝜑𝐴𝑉)
limsupval5.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupval5.4 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfval5 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   𝑘,𝐹
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfval5
StepHypRef Expression
1 limsupval5.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
2 limsupval5.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
31, 2fexd 7247 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ V)
4 eqid 2735 . . . 4 (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54liminfval 45715 . . 3 (𝐹 ∈ V → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
63, 5syl 17 . 2 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7 limsupval5.4 . . . . . 6 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ))
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )))
9 limsupval5.1 . . . . . 6 𝑘𝜑
101fimassd 6758 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ*)
11 dfss2 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ⊆ ℝ* ↔ ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
1210, 11sylib 218 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
1312eqcomd 2741 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1514infeq1d 9515 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℝ) → inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
169, 15mpteq2da 5246 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
178, 16eqtr2d 2776 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
1817rneqd 5952 . . 3 (𝜑 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
1918supeq1d 9484 . 2 (𝜑 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
206, 19eqtrd 2775 1 (𝜑 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  Vcvv 3478  cin 3962  wss 3963  cmpt 5231  ran crn 5690  cima 5692  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  infcinf 9479  cr 11152  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  [,)cico 13386  lim infclsi 45707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-liminf 45708
This theorem is referenced by:  liminf10ex  45730
  Copyright terms: Public domain W3C validator