Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval5 45058
Description: The inferior limit of an infinite sequence 𝐹 of extended real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval5.1 β„²π‘˜πœ‘
limsupval5.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupval5.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
limsupval5.4 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfval5 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘˜)   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem liminfval5
StepHypRef Expression
1 limsupval5.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
2 limsupval5.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
31, 2fexd 7224 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
4 eqid 2726 . . . 4 (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54liminfval 45052 . . 3 (𝐹 ∈ V β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
63, 5syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
7 limsupval5.4 . . . . . 6 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ))
87a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )))
9 limsupval5.1 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
101fimassd 44507 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† ℝ*)
11 df-ss 3960 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) βŠ† ℝ* ↔ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
1210, 11sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
1312eqcomd 2732 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
1514infeq1d 9474 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
169, 15mpteq2da 5239 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
178, 16eqtr2d 2767 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
1817rneqd 5931 . . 3 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
1918supeq1d 9443 . 2 (πœ‘ β†’ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
206, 19eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670   β€œ cima 5672  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  infcinf 9438  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252  [,)cico 13332  lim infclsi 45044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-liminf 45045
This theorem is referenced by:  liminf10ex  45067
  Copyright terms: Public domain W3C validator