Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval 43644
Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminfval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfval (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem liminfval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-liminf 43637 . 2 lim inf = (π‘₯ ∈ V ↦ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2 imaeq1 5994 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
32ineq1d 4158 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐹 β†’ ((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
43infeq1d 9334 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐹 β†’ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54mpteq2dv 5194 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6 liminfval.1 . . . . . 6 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76a1i 11 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐹 β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
85, 7eqtr4d 2779 . . . 4 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
98rneqd 5879 . . 3 (π‘₯ = 𝐹 β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
109supeq1d 9303 . 2 (π‘₯ = 𝐹 β†’ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
11 elex 3459 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
12 xrltso 12976 . . . 4 < Or ℝ*
1312supex 9320 . . 3 sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V)
151, 10, 11, 14fvmptd3 6954 1 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∩ cin 3897   ↦ cmpt 5175  ran crn 5621   β€œ cima 5623  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  supcsup 9297  infcinf 9298  β„cr 10971  +∞cpnf 11107  β„*cxr 11109   < clt 11110  [,)cico 13182  lim infclsi 43636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-liminf 43637
This theorem is referenced by:  liminfcl  43648  liminfvald  43649  liminfval5  43650  liminfresxr  43652  liminfval2  43653  liminfvalxr  43668
  Copyright terms: Public domain W3C validator