Theorem liminfval 46862

Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
liminfval.1	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
liminfval	⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem liminfval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-liminf 46855	. 2 ⊢ lim inf = (𝑥 ∈ V ↦ sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2		imaeq1 6046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) = (𝐹 “ (𝑘[,)+∞)))
3	2	ineq1d 4116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → ((𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*))
4	3	infeq1d 9473	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → inf(((𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
5	4	mpteq2dv 5198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6		liminfval.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
8	5, 7	eqtr4d 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
9	8	rneqd 5919	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
10	9	supeq1d 9441	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐹 → sup(ran (𝑘 ∈ ℝ ↦ inf(((𝑥 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
11		elex 3471	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
12		xrltso 13273	. . . 4 ⊢ < Or ℝ*
13	12	supex 9459	. . 3 ⊢ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V)
15	1, 10, 11, 14	fvmptd3 7017	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim inf‘𝐹) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4089   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  supcsup 9435  infcinf 9436  ℝcr 11202  +∞cpnf 11343  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346  [,)cico 13481  lim infclsi 46854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-liminf 46855

This theorem is used by:  liminfcl  46866  liminfvald  46867  liminfval5  46868  liminfresxr  46870  liminfval2  46871  liminfvalxr  46886