Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval 44475
Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminfval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfval (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem liminfval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-liminf 44468 . 2 lim inf = (π‘₯ ∈ V ↦ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2 imaeq1 6055 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
32ineq1d 4212 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐹 β†’ ((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
43infeq1d 9472 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐹 β†’ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54mpteq2dv 5251 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6 liminfval.1 . . . . . 6 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76a1i 11 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐹 β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
85, 7eqtr4d 2776 . . . 4 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
98rneqd 5938 . . 3 (π‘₯ = 𝐹 β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
109supeq1d 9441 . 2 (π‘₯ = 𝐹 β†’ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
11 elex 3493 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
12 xrltso 13120 . . . 4 < Or ℝ*
1312supex 9458 . . 3 sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V)
151, 10, 11, 14fvmptd3 7022 1 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  infcinf 9436  β„cr 11109  +∞cpnf 11245  β„*cxr 11247   < clt 11248  [,)cico 13326  lim infclsi 44467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-liminf 44468
This theorem is referenced by:  liminfcl  44479  liminfvald  44480  liminfval5  44481  liminfresxr  44483  liminfval2  44484  liminfvalxr  44499
  Copyright terms: Public domain W3C validator