Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval 44465
Description: The inferior limit of a set 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
liminfval.1 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
Assertion
Ref Expression
liminfval (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Distinct variable group:   π‘˜,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem liminfval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-liminf 44458 . 2 lim inf = (π‘₯ ∈ V ↦ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ))
2 imaeq1 6054 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) = (𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)))
32ineq1d 4211 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝐹 β†’ ((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*) = ((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*))
43infeq1d 9471 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐹 β†’ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) = inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
54mpteq2dv 5250 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
6 liminfval.1 . . . . . 6 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
76a1i 11 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐹 β†’ 𝐺 = (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((𝐹 β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )))
85, 7eqtr4d 2775 . . . 4 (π‘₯ = 𝐹 β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = 𝐺)
98rneqd 5937 . . 3 (π‘₯ = 𝐹 β†’ ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )) = ran 𝐺)
109supeq1d 9440 . 2 (π‘₯ = 𝐹 β†’ sup(ran (π‘˜ ∈ ℝ ↦ inf(((π‘₯ β€œ (π‘˜[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < )), ℝ*, < ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
11 elex 3492 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ 𝐹 ∈ V)
12 xrltso 13119 . . . 4 < Or ℝ*
1312supex 9457 . . 3 sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V
1413a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ sup(ran 𝐺, ℝ*, < ) ∈ V)
151, 10, 11, 14fvmptd3 7021 1 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (lim infβ€˜πΉ) = sup(ran 𝐺, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   ∩ cin 3947   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  supcsup 9434  infcinf 9435  β„cr 11108  +∞cpnf 11244  β„*cxr 11246   < clt 11247  [,)cico 13325  lim infclsi 44457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-liminf 44458
This theorem is referenced by:  liminfcl  44469  liminfvald  44470  liminfval5  44471  liminfresxr  44473  liminfval2  44474  liminfvalxr  44489
  Copyright terms: Public domain W3C validator