Theorem lindslinindimp2lem1 48401

Description: Lemma 1 for lindslinindsimp2 48406. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindslinind.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lindslinind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lindslinind.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lindslinind.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lindslinind.y	⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
lindslinind.g	⊢ 𝐺 = (𝑓 ↾ (𝑆 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lindslinindimp2lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑓)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindslinind.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
2		lindslinind.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3	2	lmodfgrp 20831	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ Grp)
5		elmapi 8868	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝑆⟶𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
10	9	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
11	10	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
12		lindslinind.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
14	12, 13	grpinvcl 18975	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2839	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928   ⊆ wss 3931  {csn 4606   ↾ cres 5661  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  inv_gcminusg 18922  LModclmod 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-map 8847  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-ring 20200  df-lmod 20824

This theorem is referenced by: (None)