Theorem lindslinindimp2lem1 47227

Description: Lemma 1 for lindslinindsimp2 47232. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindslinind.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lindslinind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lindslinind.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lindslinind.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lindslinind.y	⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
lindslinind.g	⊢ 𝐺 = (𝑓 ↾ (𝑆 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lindslinindimp2lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑓)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindslinind.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
2		lindslinind.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3	2	lmodfgrp 20624	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ Grp)
5		elmapi 8847	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7083	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝑆⟶𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
10	9	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
11	10	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
12		lindslinind.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
14	12, 13	grpinvcl 18909	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2an 595	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2836	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628   ↾ cres 5678  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8824  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  0_gc0g 17390  Grpcgrp 18856  inv_gcminusg 18857  LModclmod 20615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8826  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-ring 20130  df-lmod 20617

This theorem is referenced by: (None)