Theorem lindslinindimp2lem1 48420

Description: Lemma 1 for lindslinindsimp2 48425. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindslinind.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lindslinind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lindslinind.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lindslinind.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lindslinind.y	⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
lindslinind.g	⊢ 𝐺 = (𝑓 ↾ (𝑆 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lindslinindimp2lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑓)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindslinind.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
2		lindslinind.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3	2	lmodfgrp 20751	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ Grp)
5		elmapi 8799	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7035	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝑆⟶𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
10	9	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
11	10	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
12		lindslinind.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
14	12, 13	grpinvcl 18895	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2832	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911  {csn 4585   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  LModclmod 20742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-ring 20120  df-lmod 20744

This theorem is referenced by: (None)