Theorem lindslinindimp2lem1 48304

Description: Lemma 1 for lindslinindsimp2 48309. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindslinind.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lindslinind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
lindslinind.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lindslinind.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lindslinind.y	⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
lindslinind.g	⊢ 𝐺 = (𝑓 ↾ (𝑆 ∖ {𝑥}))

Assertion

Ref	Expression
lindslinindimp2lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑓)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lindslinind.y	. 2 ⊢ 𝑌 = ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥))
2		lindslinind.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3	2	lmodfgrp 20884	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
4	3	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ Grp)
5		elmapi 8888	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → 𝑓:𝑆⟶𝐵)
6		ffvelcdm 7101	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
7	6	a1d 25	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓:𝑆⟶𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝑆⟶𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
10	9	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)))
11	10	3imp 1110	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵)
12		lindslinind.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
13		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
14	12, 13	grpinvcl 19018	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝐵) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
15	4, 11, 14	syl2an 596	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → ((invg‘𝑅)‘(𝑓‘𝑥)) ∈ 𝐵)
16	1, 15	eqeltrid 2843	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8865  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  LModclmod 20875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ring 20253  df-lmod 20877

This theorem is referenced by: (None)