Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindimp2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindslinindimp2lem1 44908
 Description: Lemma 1 for lindslinindsimp2 44913. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lindslinind.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
lindslinind.0 0 = (0g𝑅)
lindslinind.z 𝑍 = (0g𝑀)
lindslinind.y 𝑌 = ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 ↾ (𝑆 ∖ {𝑥}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem1 (((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵m 𝑆))) → 𝑌𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,𝑥   𝑆,𝑓,𝑥   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑓)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem1
StepHypRef Expression
1 lindslinind.y . 2 𝑌 = ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥))
2 lindslinind.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
32lmodfgrp 19640 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
43adantl 485 . . 3 ((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) → 𝑅 ∈ Grp)
5 elmapi 8414 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐵m 𝑆) → 𝑓:𝑆𝐵)
6 ffvelrn 6827 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
76a1d 25 . . . . . . 7 ((𝑓:𝑆𝐵𝑥𝑆) → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵))
87ex 416 . . . . . 6 (𝑓:𝑆𝐵 → (𝑥𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
95, 8syl 17 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐵m 𝑆) → (𝑥𝑆 → (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
109com13 88 . . . 4 (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) → (𝑥𝑆 → (𝑓 ∈ (𝐵m 𝑆) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)))
11103imp 1108 . . 3 ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵m 𝑆)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐵)
12 lindslinind.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
13 eqid 2798 . . . 4 (invg𝑅) = (invg𝑅)
1412, 13grpinvcl 18147 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐵) → ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥)) ∈ 𝐵)
154, 11, 14syl2an 598 . 2 (((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵m 𝑆))) → ((invg𝑅)‘(𝑓𝑥)) ∈ 𝐵)
161, 15eqeltrid 2894 1 (((𝑆𝑉𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ 𝑥𝑆𝑓 ∈ (𝐵m 𝑆))) → 𝑌𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  {csn 4525   ↾ cres 5522  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ↑m cmap 8392  Basecbs 16478  Scalarcsca 16563  0gc0g 16708  Grpcgrp 18098  invgcminusg 18099  LModclmod 19631 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-map 8394  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-ring 19296  df-lmod 19633 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator