Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindsimp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindslinindsimp2 46618
Description: Implication 2 for lindslininds 46619. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠,𝑦   𝑓,𝑀,𝑠,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑠,𝑦   𝑓,𝑍,𝑠,𝑦   0 ,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   𝑅,𝑠   𝑓,𝑉,π‘₯   π‘₯,𝑍

Proof of Theorem lindslinindsimp2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2 elpwg 4568 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
32ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
41, 3mpbird 257 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
5 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6 ssdifss 4100 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
76adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
8 difexg 5289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
10 elpwg 4568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
127, 11mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
13 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
1413lspeqlco 46594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
1514eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
1615bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
175, 12, 16syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
1817notbid 318 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
19 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
20 lindslinind.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2113, 19, 20lcoval 46567 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
22 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘…)
2322eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘…) = 0
2423breq2i 5118 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 finSupp 0 )
2524anbi1i 625 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
2625rexbii 3098 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
2726anbi2i 624 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
2821, 27bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
295, 12, 28syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
3029notbid 318 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
31 ianor 981 . . . . . . . . 9 (Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
32 ralnex 3076 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
33 ianor 981 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
3433ralbii 3097 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
3532, 34bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
3635orbi2i 912 . . . . . . . . 9 ((Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
3731, 36bitri 275 . . . . . . . 8 (Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
3830, 37bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
3918, 38bitrd 279 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
40392ralbidv 3213 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
41 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
42 eldifi 4091 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4342adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4443adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
45 ssel2 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4645ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
4813, 19, 47, 20lmodvscl 20355 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4941, 44, 46, 48syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
5049notnotd 144 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
51 nbfal 1557 . . . . . . . . 9 (Β¬ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ βŠ₯))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ βŠ₯))
5352orbi1d 916 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
54532ralbidva 3211 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
55 r19.32v 3189 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
5655ralbii 3097 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
57 r19.32v 3189 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
5856, 57bitri 275 . . . . . . 7 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
59 falim 1559 . . . . . . . . 9 (βŠ₯ β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
60 sneq 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = π‘₯ β†’ {𝑠} = {π‘₯})
6160difeq2d 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) = (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
6261oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) = (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
63 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
6461oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
6563, 64eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = π‘₯ β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
6665notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = π‘₯ β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
6766orbi2d 915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
6862, 67raleqbidv 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
6968ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
7069rspcva 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
71 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
7219, 20, 22, 71lindslinindsimp2lem5 46617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
7372expr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7473com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7570, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7675ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))))
7776pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7877com14 96 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7978imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8079expdimp 454 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8180ralrimdv 3150 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8281ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8382expcom 415 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8459, 83jaoi 856 . . . . . . . 8 ((βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8584com12 32 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8658, 85biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8754, 86sylbid 239 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8840, 87sylbid 239 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8988impr 456 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
904, 89jca 513 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
9190ex 414 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542  βŠ₯wfal 1554   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17090  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448   linC clinc 46559   LinCo clinco 46560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-linc 46561  df-lco 46562
This theorem is referenced by:  lindslininds  46619
  Copyright terms: Public domain W3C validator