Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindsimp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindslinindsimp2 47454
Description: Implication 2 for lindslininds 47455. (Contributed by AV, 26-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lindslinindsimp2 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠,𝑦   𝑓,𝑀,𝑠,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑉,𝑠,𝑦   𝑓,𝑍,𝑠,𝑦   0 ,𝑓,𝑠,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑅   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑀   𝑅,𝑠   𝑓,𝑉,π‘₯   π‘₯,𝑍

Proof of Theorem lindslinindsimp2
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
2 elpwg 4601 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
32ad2antrr 725 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
41, 3mpbird 257 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
5 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6 ssdifss 4131 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
76adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
8 difexg 5323 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
98ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V)
10 elpwg 4601 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ V β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑠}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
127, 11mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
13 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
1413lspeqlco 47430 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) = ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))
1514eleq2d 2814 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
1615bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
175, 12, 16syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
1817notbid 318 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠}))))
19 lindslinind.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
20 lindslinind.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2113, 19, 20lcoval 47403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
22 lindslinind.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 = (0gβ€˜π‘…)
2322eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gβ€˜π‘…) = 0
2423breq2i 5150 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ↔ 𝑔 finSupp 0 )
2524anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
2625rexbii 3089 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
2726anbi2i 622 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp (0gβ€˜π‘…) ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
2821, 27bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
295, 12, 28syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
3029notbid 318 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
31 ianor 980 . . . . . . . . 9 (Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
32 ralnex 3067 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
33 ianor 980 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
3433ralbii 3088 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) Β¬ (𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
3532, 34bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))
3635orbi2i 911 . . . . . . . . 9 ((Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ Β¬ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
3731, 36bitri 275 . . . . . . . 8 (Β¬ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆƒπ‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
3830, 37bitrdi 287 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (𝑀 LinCo (𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
3918, 38bitrd 279 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
40392ralbidv 3213 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
41 simpllr 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
42 eldifi 4122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
45 ssel2 3973 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4645ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
47 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
4813, 19, 47, 20lmodvscl 20750 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
4941, 44, 46, 48syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
5049notnotd 144 . . . . . . . . 9 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ Β¬ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
51 nbfal 1549 . . . . . . . . 9 (Β¬ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ βŠ₯))
5250, 51sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ↔ βŠ₯))
5352orbi1d 915 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝑠 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }))) β†’ ((Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
54532ralbidva 3211 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))))))
55 r19.32v 3186 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
5655ralbii 3088 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
57 r19.32v 3186 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
5856, 57bitri 275 . . . . . . 7 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ↔ (βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))))
59 falim 1551 . . . . . . . . 9 (βŠ₯ β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
60 sneq 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = π‘₯ β†’ {𝑠} = {π‘₯})
6160difeq2d 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑆 βˆ– {𝑠}) = (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
6261oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})) = (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
63 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
6461oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑠 = π‘₯ β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))
6563, 64eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 = π‘₯ β†’ ((𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
6665notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑠 = π‘₯ β†’ (Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) ↔ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
6766orbi2d 914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑠 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ (Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
6862, 67raleqbidv 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑠 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
6968ralbidv 3172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑠 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})))))
7069rspcva 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
71 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
7219, 20, 22, 71lindslinindsimp2lem5 47453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
7372expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7473com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7570, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7675ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))))
7776pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7877com14 96 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
7978imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8079expdimp 452 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8180ralrimdv 3147 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8281ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
8382expcom 413 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8459, 83jaoi 856 . . . . . . . 8 ((βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8584com12 32 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((βŠ₯ ∨ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8658, 85biimtrid 241 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(βŠ₯ ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8754, 86sylbid 239 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 })(Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∨ βˆ€π‘” ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(Β¬ 𝑔 finSupp 0 ∨ Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = (𝑔( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8840, 87sylbid 239 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
8988impr 454 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))
904, 89jca 511 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠})))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 )))
9190ex 412 1 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ (𝐡 βˆ– { 0 }) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ ((LSpanβ€˜π‘€)β€˜(𝑆 βˆ– {𝑠}))) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ€π‘“ ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 (π‘“β€˜π‘₯) = 0 ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534  βŠ₯wfal 1546   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836   finSupp cfsupp 9377  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412  LModclmod 20732  LSpanclspn 20844   linC clinc 47395   LinCo clinco 47396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-linc 47397  df-lco 47398
This theorem is referenced by:  lindslininds  47455
  Copyright terms: Public domain W3C validator