Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindimp2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lindslinindimp2lem2 46630
Description: Lemma 2 for lindslinindsimp2 46634. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lindslinind.y π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑓)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   π‘Œ(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem2
StepHypRef Expression
1 elmapi 8793 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
213ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
32adantl 483 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
4 difss 4095 . . . 4 (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆
5 fssres 6712 . . . 4 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
63, 4, 5sylancl 587 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
7 lindslinind.g . . . 4 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
87feq1i 6663 . . 3 (𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡 ↔ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
96, 8sylibr 233 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
10 lindslinind.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1110fvexi 6860 . . 3 𝐡 ∈ V
12 difexg 5288 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
1312ad2antrr 725 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
14 elmapg 8784 . . 3 ((𝐡 ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
1511, 13, 14sylancr 588 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
169, 15mpbird 257 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329  invgcminusg 18757  LModclmod 20365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  46632  lindslinindsimp2lem5  46633
  Copyright terms: Public domain W3C validator