Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindimp2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindslinindimp2lem2 47639
Description: Lemma 2 for lindslinindsimp2 47643. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lindslinind.y π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑓)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   π‘Œ(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem lindslinindimp2lem2
StepHypRef Expression
1 elmapi 8866 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
213ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
32adantl 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
4 difss 4129 . . . 4 (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆
5 fssres 6761 . . . 4 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
63, 4, 5sylancl 584 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
7 lindslinind.g . . . 4 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
87feq1i 6712 . . 3 (𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡 ↔ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
96, 8sylibr 233 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
10 lindslinind.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1110fvexi 6908 . . 3 𝐡 ∈ V
12 difexg 5329 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
1312ad2antrr 724 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
14 elmapg 8856 . . 3 ((𝐡 ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
1511, 13, 14sylancr 585 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
169, 15mpbird 256 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3942   βŠ† wss 3945  {csn 4629   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6543  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417   ↑m cmap 8843  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235  0gc0g 17420  invgcminusg 18895  LModclmod 20747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-map 8845
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  47641  lindslinindsimp2lem5  47642
  Copyright terms: Public domain W3C validator