Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindimp2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindslinindimp2lem2 47450
Description: Lemma 2 for lindslinindsimp2 47454. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lindslinind.y π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑓)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   π‘Œ(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem lindslinindimp2lem2
StepHypRef Expression
1 elmapi 8859 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
213ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
32adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
4 difss 4127 . . . 4 (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆
5 fssres 6757 . . . 4 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
63, 4, 5sylancl 585 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
7 lindslinind.g . . . 4 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
87feq1i 6707 . . 3 (𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡 ↔ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
96, 8sylibr 233 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
10 lindslinind.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1110fvexi 6905 . . 3 𝐡 ∈ V
12 difexg 5323 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
1312ad2antrr 725 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
14 elmapg 8849 . . 3 ((𝐡 ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
1511, 13, 14sylancr 586 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
169, 15mpbird 257 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4624   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227  0gc0g 17412  invgcminusg 18882  LModclmod 20732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-map 8838
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  47452  lindslinindsimp2lem5  47453
  Copyright terms: Public domain W3C validator