Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lindslinindimp2lem2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lindslinindimp2lem2 47130
Description: Lemma 2 for lindslinindsimp2 47134. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lindslinind.y π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓   𝑓,𝑀   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯   𝑓,𝑍   0 ,𝑓,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝐺(π‘₯,𝑓)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   π‘Œ(π‘₯,𝑓)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem lindslinindimp2lem2
StepHypRef Expression
1 elmapi 8842 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
213ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
32adantl 482 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
4 difss 4131 . . . 4 (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆
5 fssres 6757 . . . 4 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† 𝑆) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
63, 4, 5sylancl 586 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
7 lindslinind.g . . . 4 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
87feq1i 6708 . . 3 (𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡 ↔ (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})):(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
96, 8sylibr 233 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡)
10 lindslinind.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
1110fvexi 6905 . . 3 𝐡 ∈ V
12 difexg 5327 . . . 4 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
1312ad2antrr 724 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
14 elmapg 8832 . . 3 ((𝐡 ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
1511, 13, 14sylancr 587 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {π‘₯})⟢𝐡))
169, 15mpbird 256 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  {csn 4628   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑m cmap 8819  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  invgcminusg 18819  LModclmod 20470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8821
This theorem is referenced by:  lindslinindimp2lem4  47132  lindslinindsimp2lem5  47133
  Copyright terms: Public domain W3C validator