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Theorem lindslinindimp2lem4 46616
Description: Lemma 4 for lindslinindsimp2 46618. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lindslinind.y π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑦   𝑓,𝑀,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑉   𝑓,𝑍,𝑦   0 ,𝑓,π‘₯,𝑦   𝑦,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑓)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem4
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4 elpwg 4568 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
63, 5mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
7 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
87adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
92, 6, 83jca 1129 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
109adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
11 simpl 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ))
12 lindslinind.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
14 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
15 lindslinind.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
16 lindslinind.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
17 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
18 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
2014, 15, 16, 17, 18, 19lincdifsn 46579 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
2110, 11, 13, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
2221eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = 𝑍))
23 lmodgrp 20345 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
2423adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
261ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
28 ffvelcdm 7037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
2928expcom 415 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3029ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3127, 30syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3231adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3332imp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
34 ssel2 3944 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3614, 15, 17, 16lmodvscl 20355 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3726, 33, 35, 36syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
38 difexg 5289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
40 ssdifss 4100 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4140ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4239, 41jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
4342adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
44 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
45 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
477ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
48 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
4948adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
50 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
51 lindslinind.y . . . . . . . . . . . . 13 π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
5215, 16, 19, 50, 51, 12lindslinindimp2lem2 46614 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
5344, 46, 47, 49, 52syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
54 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
5554adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
5615, 16, 19, 50, 51, 12lindslinindimp2lem3 46615 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
5744, 55, 11, 56syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
5853, 57jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝐺 finSupp 0 ))
5914, 15, 16, 19lincfsuppcl 46568 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝐺 finSupp 0 )) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6026, 43, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
61 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
6214, 18, 50, 61grpinvid2 18810 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Grp ∧ ((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = 𝑍))
6325, 37, 60, 62syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = 𝑍))
6422, 63bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
65 eqcom 2744 . . . . . . . 8 (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
6615fveq2i 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
6716, 66eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
6867oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
6953, 68eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
7039, 41elpwd 4571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
7170adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
72 lincval 46564 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))))
7326, 69, 71, 72syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))))
7473eqeq1d 2739 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
7512fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΊβ€˜π‘¦) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦)
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦))
77 fvres 6866 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
7877adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
7976, 78eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
8079oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) = ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
8180mpteq2dva 5210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)))
8281oveq2d 7378 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))))
83 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
8414, 15, 17, 61, 16, 83, 26, 35, 33lmodvsneg 20382 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8551eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = π‘Œ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = π‘Œ)
8786oveq1d 7377 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8884, 87eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8982, 88eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9089biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9174, 90sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9265, 91biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9364, 92sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9493ex 414 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
9594com23 86 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
96953impia 1118 . . 3 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9796com12 32 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
98973impia 1118 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772   finSupp cfsupp 9312  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  0gc0g 17328   Ξ£g cgsu 17329  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  LModclmod 20338   linC clinc 46559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-hash 14238  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-linc 46561
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2lem5  46617
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