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Theorem lindslinindimp2lem4 47452
Description: Lemma 4 for lindslinindsimp2 47454. (Contributed by AV, 25-Apr-2019.) (Revised by AV, 30-Jul-2019.) (Proof shortened by II, 16-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lindslinind.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lindslinind.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
lindslinind.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lindslinind.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lindslinind.y π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
lindslinind.g 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
Assertion
Ref Expression
lindslinindimp2lem4 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑦   𝑓,𝑀,𝑦   𝑅,𝑓,π‘₯   𝑆,𝑓,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑉   𝑓,𝑍,𝑦   0 ,𝑓,π‘₯,𝑦   𝑦,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐡(π‘₯)   𝑅(𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑓)   𝑀(π‘₯)   𝑉(π‘₯,𝑓)   π‘Œ(π‘₯,𝑦,𝑓)   𝑍(π‘₯)

Proof of Theorem lindslinindimp2lem4
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4 elpwg 4601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
54ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
63, 5mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
7 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
87adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
92, 6, 83jca 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
109adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
11 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ))
12 lindslinind.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
1312a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
14 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
15 lindslinind.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
16 lindslinind.b . . . . . . . . . . 11 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
17 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
18 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
19 lindslinind.0 . . . . . . . . . . 11 0 = (0gβ€˜π‘…)
2014, 15, 16, 17, 18, 19lincdifsn 47415 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ 𝐺 = (𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
2110, 11, 13, 20syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
2221eqeq1d 2729 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = 𝑍))
23 lmodgrp 20739 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
2423adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
261ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
27 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ 𝑓:π‘†βŸΆπ΅)
28 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:π‘†βŸΆπ΅ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
2928expcom 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ 𝑆 β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3029ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑓:π‘†βŸΆπ΅ β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3127, 30syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3231adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡))
3332imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
34 ssel2 3973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3534ad2antll 728 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3614, 15, 17, 16lmodvscl 20750 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
3726, 33, 35, 36syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
38 difexg 5323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ 𝑉 β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V)
40 ssdifss 4131 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4140ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4239, 41jca 511 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
4342adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
44 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod))
45 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
4645ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
477ad2antll 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
48 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
50 lindslinind.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
51 lindslinind.y . . . . . . . . . . . . 13 π‘Œ = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
5215, 16, 19, 50, 51, 12lindslinindimp2lem2 47450 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ 𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
5344, 46, 47, 49, 52syl13anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
54 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
5554adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))
5615, 16, 19, 50, 51, 12lindslinindimp2lem3 47451 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
5744, 55, 11, 56syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
5853, 57jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝐺 finSupp 0 ))
5914, 15, 16, 19lincfsuppcl 47404 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)) ∧ (𝐺 ∈ (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ 𝐺 finSupp 0 )) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
6026, 43, 58, 59syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
61 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
6214, 18, 50, 61grpinvid2 18940 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ Grp ∧ ((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = 𝑍))
6325, 37, 60, 62syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))(+gβ€˜π‘€)((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = 𝑍))
6422, 63bitr4d 282 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯}))))
65 eqcom 2734 . . . . . . . 8 (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) ↔ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
6615fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . 14 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
6716, 66eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 𝐡 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
6867oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯}))
6953, 68eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})))
7039, 41elpwd 4604 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
72 lincval 47400 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {π‘₯})) ∧ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))))
7326, 69, 71, 72syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))))
7473eqeq1d 2729 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
7512fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πΊβ€˜π‘¦) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦)
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦))
77 fvres 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((𝑓 β†Ύ (𝑆 βˆ– {π‘₯}))β€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
7976, 78eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = (π‘“β€˜π‘¦))
8079oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦) = ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
8180mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)))
8281oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))))
83 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
8414, 15, 17, 61, 16, 83, 26, 35, 33lmodvsneg 20778 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8551eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = π‘Œ
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯)) = π‘Œ)
8786oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘₯))( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8884, 87eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
8982, 88eqeq12d 2743 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9089biimpd 228 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((πΊβ€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9174, 90sylbid 239 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) = ((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9265, 91biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((π‘“β€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)) = (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {π‘₯})) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9364, 92sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9493ex 412 . . . . 5 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
9594com23 86 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))))
96953impia 1115 . . 3 ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
9796com12 32 . 2 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆)) β†’ ((𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯)))
98973impia 1115 1 (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ LMod) ∧ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ (𝑓 ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ∧ 𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {π‘₯}) ↦ ((π‘“β€˜π‘¦)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))) = (π‘Œ( ·𝑠 β€˜π‘€)π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836   finSupp cfsupp 9377  Basecbs 17171  +gcplusg 17224  Scalarcsca 17227   ·𝑠 cvsca 17228  0gc0g 17412   Ξ£g cgsu 17413  Grpcgrp 18881  invgcminusg 18882  LModclmod 20732   linC clinc 47395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-lmod 20734  df-linc 47397
This theorem is referenced by:  lindslinindsimp2lem5  47453
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