Theorem lkrcl 39967

Description: A member of the kernel of a functional is a vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrcl.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrcl	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lkrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4		lkrcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ellkr 39964	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
7	6	simprbda 504	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	3impa 1127	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  Basecbs 17305  Scalarcsca 17349  0_gc0g 17528  LFnlclfn 39932  LKerclk 39960

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-map 8831  df-lfl 39933  df-lkr 39961

This theorem is used by:  lkrlss  39970  lkrin  40039