Theorem lkrcl 39085

Description: A member of the kernel of a functional is a vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrcl.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrcl	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lkrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4		lkrcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ellkr 39082	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
7	6	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223  0_gc0g 17402  LFnlclfn 39050  LKerclk 39078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801  df-lfl 39051  df-lkr 39079

This theorem is referenced by:  lkrlss  39088  lkrin  39157