Theorem lkrcl 39834

Description: A member of the kernel of a functional is a vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrcl.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrcl	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lkrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4		lkrcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ellkr 39831	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
7	6	simprbda 503	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	3impa 1125	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  LFnlclfn 39799  LKerclk 39827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8825  df-lfl 39800  df-lkr 39828

This theorem is referenced by:  lkrlss  39837  lkrin  39906