Theorem lkrcl 39497

Description: A member of the kernel of a functional is a vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrcl.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrcl.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrcl	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lkrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4		lkrcl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrcl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ellkr 39494	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
7	6	simprbda 498	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
8	7	3impa 1110	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑋 ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  Scalarcsca 17194  0_gc0g 17373  LFnlclfn 39462  LKerclk 39490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-map 8779  df-lfl 39463  df-lkr 39491

This theorem is referenced by:  lkrlss  39500  lkrin  39569