Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrin 34972
Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrin.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p + = (+g𝐷)
lkrin.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e (𝜑𝐺𝐹)
lkrin.g (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrin (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3947 . . 3 (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)))
2 lkrin.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
32adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lkrin.e . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
54adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐺𝐹)
6 simprl 754 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
7 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 lkrin.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 lkrin.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
107, 8, 9lkrcl 34900 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 5, 6, 10syl3anc 1476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12 eqid 2771 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13 eqid 2771 . . . . . . 7 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14 lkrin.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15 lkrin.p . . . . . . 7 + = (+g𝐷)
16 lkrin.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝐹)
1716adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐻𝐹)
187, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11ldualvaddval 34939 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)))
19 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
2012, 19, 8, 9lkrf0 34901 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
213, 5, 6, 20syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22 simprr 756 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))
2312, 19, 8, 9lkrf0 34901 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
243, 17, 22, 23syl3anc 1476 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2521, 24oveq12d 6813 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
2612lmodring 19080 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
272, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28 ringgrp 18759 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3130, 19grpidcl 17657 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3229, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3330, 13, 19grplid 17659 . . . . . . . 8 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3429, 32, 33syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3534adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3618, 25, 353eqtrd 2809 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
378, 14, 15, 2, 4, 16ldualvaddcl 34938 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
3837adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
397, 12, 19, 8, 9ellkr 34897 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
403, 38, 39syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
4111, 36, 40mpbir2and 692 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
4241ex 397 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
431, 42syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
4443ssrdv 3758 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cin 3722  wss 3723  cfv 6030  (class class class)co 6795  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Scalarcsca 16151  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  Ringcrg 18754  LModclmod 19072  LFnlclfn 34865  LKerclk 34893  LDualcld 34931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-plusg 16161  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-lmod 19074  df-lfl 34866  df-lkr 34894  df-ldual 34932
This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  37321  lclkrlem2f  37322  lclkrlem2r  37334  lclkrlem2v  37338  lclkrslem2  37348  lcfrlem2  37353
  Copyright terms: Public domain W3C validator