Theorem lkrin 39120

Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrin.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lkrin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrin.g	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrin	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3992	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)))
2		lkrin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrin.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		lkrin.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrin.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	7, 8, 9	lkrcl 39048	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 5, 6, 10	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14		lkrin.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15		lkrin.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐷)
16		lkrin.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐻 ∈ 𝐹)
18	7, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11	ldualvaddval 39087	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)))
19		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20	12, 19, 8, 9	lkrf0 39049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	3, 5, 6, 20	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))
23	12, 19, 8, 9	lkrf0 39049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 17, 22, 23	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
25	21, 24	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
26	12	lmodring 20888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28		ringgrp 20265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	30, 19	grpidcl 19005	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	30, 13, 19	grplid 19007	. . . . . . . 8 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 31, 32	syl2anc2 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	18, 25, 34	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	8, 14, 15, 2, 4, 16	ldualvaddcl 39086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
38	7, 12, 19, 8, 9	ellkr 39045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
39	3, 37, 38	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
40	11, 35, 39	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
42	1, 41	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
43	42	ssrdv 4014	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  Ringcrg 20260  LModclmod 20880  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041  LDualcld 39079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080

This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  41468  lclkrlem2f  41469  lclkrlem2r  41481  lclkrlem2v  41485  lclkrslem2  41495  lcfrlem2  41500