Theorem lkrin 39209

Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrin.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lkrin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrin.g	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrin	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)))
2		lkrin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrin.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		lkrin.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrin.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	7, 8, 9	lkrcl 39137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 5, 6, 10	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14		lkrin.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15		lkrin.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐷)
16		lkrin.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐻 ∈ 𝐹)
18	7, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11	ldualvaddval 39176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)))
19		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20	12, 19, 8, 9	lkrf0 39138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	3, 5, 6, 20	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))
23	12, 19, 8, 9	lkrf0 39138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 17, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
25	21, 24	oveq12d 7364	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
26	12	lmodring 20802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28		ringgrp 20157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	30, 19	grpidcl 18878	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	30, 13, 19	grplid 18880	. . . . . . . 8 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 31, 32	syl2anc2 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	18, 25, 34	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	8, 14, 15, 2, 4, 16	ldualvaddcl 39175	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
38	7, 12, 19, 8, 9	ellkr 39134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
39	3, 37, 38	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
40	11, 35, 39	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
42	1, 41	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
43	42	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18846  Ringcrg 20152  LModclmod 20794  LFnlclfn 39102  LKerclk 39130  LDualcld 39168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-cmn 19695  df-abl 19696  df-mgp 20060  df-ur 20101  df-ring 20154  df-lmod 20796  df-lfl 39103  df-lkr 39131  df-ldual 39169

This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  41556  lclkrlem2f  41557  lclkrlem2r  41569  lclkrlem2v  41573  lclkrslem2  41583  lcfrlem2  41588