Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrin 36418
Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrin.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p + = (+g𝐷)
lkrin.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e (𝜑𝐺𝐹)
lkrin.g (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrin (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3924 . . 3 (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)))
2 lkrin.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
32adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lkrin.e . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
54adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐺𝐹)
6 simprl 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
7 eqid 2822 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 lkrin.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 lkrin.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
107, 8, 9lkrcl 36346 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 5, 6, 10syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12 eqid 2822 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13 eqid 2822 . . . . . . 7 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14 lkrin.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15 lkrin.p . . . . . . 7 + = (+g𝐷)
16 lkrin.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝐹)
1716adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐻𝐹)
187, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11ldualvaddval 36385 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)))
19 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
2012, 19, 8, 9lkrf0 36347 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
213, 5, 6, 20syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))
2312, 19, 8, 9lkrf0 36347 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
243, 17, 22, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2521, 24oveq12d 7158 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
2612lmodring 19633 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
272, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28 ringgrp 19293 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2822 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3130, 19grpidcl 18122 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3230, 13, 19grplid 18124 . . . . . . . 8 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3329, 31, 32syl2anc2 588 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3433adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3518, 25, 343eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
368, 14, 15, 2, 4, 16ldualvaddcl 36384 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
3736adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
387, 12, 19, 8, 9ellkr 36343 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
393, 37, 38syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
4011, 35, 39mpbir2and 712 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
4140ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
421, 41syl5bi 245 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
4342ssrdv 3948 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  cin 3907  wss 3908  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  Scalarcsca 16559  0gc0g 16704  Grpcgrp 18094  Ringcrg 19288  LModclmod 19625  LFnlclfn 36311  LKerclk 36339  LDualcld 36377
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-plusg 16569  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-0g 16706  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-cmn 18899  df-abl 18900  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-lmod 19627  df-lfl 36312  df-lkr 36340  df-ldual 36378
This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  38765  lclkrlem2f  38766  lclkrlem2r  38778  lclkrlem2v  38782  lclkrslem2  38792  lcfrlem2  38797
  Copyright terms: Public domain W3C validator