Theorem lkrin 39749

Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrin.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lkrin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrin.g	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrin	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3918	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)))
2		lkrin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrin.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5	4	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
7		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		lkrin.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrin.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	7, 8, 9	lkrcl 39677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 5, 6, 10	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14		lkrin.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15		lkrin.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐷)
16		lkrin.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐻 ∈ 𝐹)
18	7, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11	ldualvaddval 39716	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)))
19		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20	12, 19, 8, 9	lkrf0 39678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	3, 5, 6, 20	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22		simprr 782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))
23	12, 19, 8, 9	lkrf0 39678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 17, 22, 23	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
25	21, 24	oveq12d 7409	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
26	12	lmodring 20923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28		ringgrp 20275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	30, 19	grpidcl 18998	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	30, 13, 19	grplid 19000	. . . . . . . 8 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 31, 32	syl2anc2 594	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	18, 25, 34	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	8, 14, 15, 2, 4, 16	ldualvaddcl 39715	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
37	36	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
38	7, 12, 19, 8, 9	ellkr 39674	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
39	3, 37, 38	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
40	11, 35, 39	mpbir2and 723	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
41	40	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
42	1, 41	biimtrid 244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
43	42	ssrdv 3940	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236  +_gcplusg 17277  Scalarcsca 17280  0_gc0g 17459  Grpcgrp 18966  Ringcrg 20270  LModclmod 20915  LFnlclfn 39642  LKerclk 39670  LDualcld 39708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-plusg 17290  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-ur 20219  df-ring 20272  df-lmod 20917  df-lfl 39643  df-lkr 39671  df-ldual 39709

This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  42096  lclkrlem2f  42097  lclkrlem2r  42109  lclkrlem2v  42113  lclkrslem2  42123  lcfrlem2  42128