Theorem lkrin 39537

Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrin.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lkrin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrin.g	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrin	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3919	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)))
2		lkrin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrin.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
7		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		lkrin.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrin.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	7, 8, 9	lkrcl 39465	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 5, 6, 10	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14		lkrin.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15		lkrin.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐷)
16		lkrin.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐻 ∈ 𝐹)
18	7, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11	ldualvaddval 39504	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)))
19		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20	12, 19, 8, 9	lkrf0 39466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	3, 5, 6, 20	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))
23	12, 19, 8, 9	lkrf0 39466	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 17, 22, 23	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
25	21, 24	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
26	12	lmodring 20831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28		ringgrp 20185	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	30, 19	grpidcl 18907	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	30, 13, 19	grplid 18909	. . . . . . . 8 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 31, 32	syl2anc2 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	18, 25, 34	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	8, 14, 15, 2, 4, 16	ldualvaddcl 39503	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
37	36	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
38	7, 12, 19, 8, 9	ellkr 39462	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
39	3, 37, 38	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
40	11, 35, 39	mpbir2and 714	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
41	40	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
42	1, 41	biimtrid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
43	42	ssrdv 3941	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Scalarcsca 17192  0_gc0g 17371  Grpcgrp 18875  Ringcrg 20180  LModclmod 20823  LFnlclfn 39430  LKerclk 39458  LDualcld 39496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lmod 20825  df-lfl 39431  df-lkr 39459  df-ldual 39497

This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  41884  lclkrlem2f  41885  lclkrlem2r  41897  lclkrlem2v  41901  lclkrslem2  41911  lcfrlem2  41916