Theorem lkrin 36302

Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrin.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lkrin.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrin.g	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrin	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4171	. . 3 ⊢ (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)))
2		lkrin.w	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	2	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrin.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐺 ∈ 𝐹)
6		simprl 769	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
7		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8		lkrin.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrin.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	7, 8, 9	lkrcl 36230	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
11	3, 5, 6, 10	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14		lkrin.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15		lkrin.p	. . . . . . 7 ⊢ + = (+g‘𝐷)
16		lkrin.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
17	16	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝐻 ∈ 𝐹)
18	7, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11	ldualvaddval 36269	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)))
19		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
20	12, 19, 8, 9	lkrf0 36231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
21	3, 5, 6, 20	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))
23	12, 19, 8, 9	lkrf0 36231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
24	3, 17, 22, 23	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐻‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
25	21, 24	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺‘𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻‘𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
26	12	lmodring 19644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
27	2, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28		ringgrp 19304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
31	30, 19	grpidcl 18133	. . . . . . . 8 ⊢ ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
32	30, 13, 19	grplid 18135	. . . . . . . 8 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
33	29, 31, 32	syl2anc2 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
34	33	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
35	18, 25, 34	3eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
36	8, 14, 15, 2, 4, 16	ldualvaddcl 36268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
37	36	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
38	7, 12, 19, 8, 9	ellkr 36227	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
39	3, 37, 38	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
40	11, 35, 39	mpbir2and 711	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
41	40	ex 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
42	1, 41	syl5bi 244	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
43	42	ssrdv 3975	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∩ (𝐾‘𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Scalarcsca 16570  0_gc0g 16715  Grpcgrp 18105  Ringcrg 19299  LModclmod 19636  LFnlclfn 36195  LKerclk 36223  LDualcld 36261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638  df-lfl 36196  df-lkr 36224  df-ldual 36262

This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  38649  lclkrlem2f  38650  lclkrlem2r  38662  lclkrlem2v  38666  lclkrslem2  38676  lcfrlem2  38681