Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrin 38034
Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrin.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrin.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
lkrin.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
lkrin.p + = (+gβ€˜π·)
lkrin.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lkrin.e (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrin.g (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrin (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∩ (πΎβ€˜π»)) βŠ† (πΎβ€˜(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3965 . . 3 (𝑣 ∈ ((πΎβ€˜πΊ) ∩ (πΎβ€˜π»)) ↔ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»)))
2 lkrin.w . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
32adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lkrin.e . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
54adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
6 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ))
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Š) = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lkrin.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
9 lkrin.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
107, 8, 9lkrcl 37962 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
113, 5, 6, 10syl3anc 1372 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š))
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
13 eqid 2733 . . . . . . 7 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
14 lkrin.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
15 lkrin.p . . . . . . 7 + = (+gβ€˜π·)
16 lkrin.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
1716adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
187, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11ldualvaddval 38001 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ ((𝐺 + 𝐻)β€˜π‘£) = ((πΊβ€˜π‘£)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(π»β€˜π‘£)))
19 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
2012, 19, 8, 9lkrf0 37963 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
213, 5, 6, 20syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
22 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))
2312, 19, 8, 9lkrf0 37963 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»)) β†’ (π»β€˜π‘£) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
243, 17, 22, 23syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ (π»β€˜π‘£) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2521, 24oveq12d 7427 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ ((πΊβ€˜π‘£)(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(π»β€˜π‘£)) = ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))))
2612lmodring 20479 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
272, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
28 ringgrp 20061 . . . . . . . . 9 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
30 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3130, 19grpidcl 18850 . . . . . . . 8 ((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp β†’ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3230, 13, 19grplid 18852 . . . . . . . 8 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3329, 31, 32syl2anc2 586 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3433adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
3518, 25, 343eqtrd 2777 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ ((𝐺 + 𝐻)β€˜π‘£) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
368, 14, 15, 2, 4, 16ldualvaddcl 38000 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
3736adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
387, 12, 19, 8, 9ellkr 37959 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) β†’ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ((𝐺 + 𝐻)β€˜π‘£) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))))
393, 37, 38syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘Š) ∧ ((𝐺 + 𝐻)β€˜π‘£) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))))
4011, 35, 39mpbir2and 712 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»))) β†’ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜(𝐺 + 𝐻)))
4140ex 414 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜π»)) β†’ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜(𝐺 + 𝐻))))
421, 41biimtrid 241 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ ((πΎβ€˜πΊ) ∩ (πΎβ€˜π»)) β†’ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜(𝐺 + 𝐻))))
4342ssrdv 3989 1 (πœ‘ β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∩ (πΎβ€˜π»)) βŠ† (πΎβ€˜(𝐺 + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  LFnlclfn 37927  LKerclk 37955  LDualcld 37993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lfl 37928  df-lkr 37956  df-ldual 37994
This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  40382  lclkrlem2f  40383  lclkrlem2r  40395  lclkrlem2v  40399  lclkrslem2  40409  lcfrlem2  40414
  Copyright terms: Public domain W3C validator