Theorem lkrf0 39466

Description: The value of a functional at a member of its kernel is zero. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrf0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrf0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrf0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrf0.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrf0	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lkrf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lkrf0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3		lkrf0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
4		lkrf0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrf0.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ellkr 39462	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))
7	6	simplbda 499	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) = 0 )
8	7	3impa 1110	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192  0_gc0g 17371  LFnlclfn 39430  LKerclk 39458

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-lfl 39431  df-lkr 39459

This theorem is referenced by:  lkrlss  39468  lkrshp  39478  lkrin  39537  lcfrlem12N  41927