Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrf0 37486
Description: The value of a functional at a member of its kernel is zero. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrf0.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrf0.o 0 = (0g𝐷)
lkrf0.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrf0.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrf0 ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lkrf0
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 lkrf0.d . . . 4 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3 lkrf0.o . . . 4 0 = (0g𝐷)
4 lkrf0.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrf0.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ellkr 37482 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺𝑋) = 0 )))
76simplbda 500 . 2 (((𝑊𝑌𝐺𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑋) = 0 )
873impa 1110 1 ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6493  Basecbs 17042  Scalarcsca 17095  0gc0g 17280  LFnlclfn 37450  LKerclk 37478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-map 8725  df-lfl 37451  df-lkr 37479
This theorem is referenced by:  lkrlss  37488  lkrshp  37498  lkrin  37557  lcfrlem12N  39948
  Copyright terms: Public domain W3C validator