Theorem lkrf0 39138

Description: The value of a functional at a member of its kernel is zero. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrf0.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrf0.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrf0.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrf0.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrf0	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lkrf0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		lkrf0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
3		lkrf0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
4		lkrf0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrf0.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6	1, 2, 3, 4, 5	ellkr 39134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘𝑋) = 0 )))
7	6	simplbda 499	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) = 0 )
8	7	3impa 1109	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑌 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑋) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  Scalarcsca 17164  0_gc0g 17343  LFnlclfn 39102  LKerclk 39130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752  df-lfl 39103  df-lkr 39131

This theorem is referenced by:  lkrlss  39140  lkrshp  39150  lkrin  39209  lcfrlem12N  41599