Theorem lkrshp 39091

Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21045	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrshp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrshp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39081	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10		lkrshp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	10, 11, 12, 4, 5	lkr0f 39080	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
14	2, 3, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	14	necon3bid 2969	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
16	9, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
17		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
18	10, 11, 17, 12, 4	lfl1 39056	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
19		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
21		simp12 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
22		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
23	10	lvecdrng 21044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
24	11, 17	drngunz 20667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
25	19, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
26	22, 25	eqnetrd 2992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) ≠ 0 )
27		simpl11 1249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28		simpl12 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
30	10, 11, 4, 5	lkrf0 39079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
32	31	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) → (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	necon3ad 2938	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)))
34	26, 33	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
35		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
36	12, 35, 4, 5	lkrlsp3 39090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
37	19, 20, 21, 34, 36	syl121anc 1377	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38	37	3expia 1121	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
39	38	reximdva 3146	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
40	18, 39	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41		lkrshp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
42	12, 35, 6, 41	islshp 38965	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	42	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
44	8, 16, 40, 43	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∪ cun 3909  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199  0_gc0g 17378  1_rcur 20101  DivRingcdr 20649  LModclmod 20798  LSubSpclss 20869  LSpanclspn 20909  LVecclvec 21041  LSHypclsh 38961  LFnlclfn 39043  LKerclk 39071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cntz 19231  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-drng 20651  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-lsp 20910  df-lvec 21042  df-lshyp 38963  df-lfl 39044  df-lkr 39072

This theorem is referenced by:  lkrshp3  39092  lkrshpor  39093  lshpset2N  39105  lfl1dim  39107  lfl1dim2N  39108  hdmaplkr  41900