Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lkrshp 38023
Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lkrshp.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lkrshp.z 0 = (0gβ€˜π·)
lkrshp.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lkrshp.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrshp.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lkrshp ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ 𝐻)
Proof of Theorem lkrshp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20717 . . . 4 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
213ad2ant1 1134 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 simp2 1138 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4 lkrshp.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 lkrshp.k . . . 4 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
6 eqid 2733 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
74, 5, 6lkrlss 38013 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
82, 3, 7syl2anc 585 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 simp3 1139 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }))
10 lkrshp.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 lkrshp.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π·)
12 lkrshp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
1310, 11, 12, 4, 5lkr0f 38012 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
142, 3, 13syl2anc 585 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
1514necon3bid 2986 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ↔ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })))
169, 15mpbird 257 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜πΊ) β‰  𝑉)
17 eqid 2733 . . . 4 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
1810, 11, 17, 12, 4lfl1 37988 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·))
19 simp11 1204 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
20 simp2 1138 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ 𝑣 ∈ 𝑉)
21 simp12 1205 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
22 simp3 1139 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·))
2310lvecdrng 20716 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
2411, 17drngunz 20376 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ DivRing β†’ (1rβ€˜π·) β‰  0 )
2519, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ (1rβ€˜π·) β‰  0 )
2622, 25eqnetrd 3009 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) β‰  0 )
27 simpl11 1249 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ π‘Š ∈ LVec)
28 simpl12 1250 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
29 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ))
3010, 11, 4, 5lkrf0 38011 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) ∧ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = 0 )
3231ex 414 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ (𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ) β†’ (πΊβ€˜π‘£) = 0 ))
3332necon3ad 2954 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) β‰  0 β†’ Β¬ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)))
3426, 33mpd 15 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ Β¬ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ))
35 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSpanβ€˜π‘Š) = (LSpanβ€˜π‘Š)
3612, 35, 4, 5lkrlsp3 38022 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ Β¬ 𝑣 ∈ (πΎβ€˜πΊ)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜πΊ) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
3719, 20, 21, 34, 36syl121anc 1376 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·)) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜πΊ) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
38373expia 1122 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·) β†’ ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜πΊ) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
3938reximdva 3169 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘£) = (1rβ€˜π·) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜πΊ) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉))
4018, 39mpd 15 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜πΊ) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)
41 lkrshp.h . . . 4 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
4212, 35, 6, 41islshp 37897 . . 3 (π‘Š ∈ LVec β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ 𝐻 ↔ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜πΊ) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
43423ad2ant1 1134 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ 𝐻 ↔ ((πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (πΎβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 ((LSpanβ€˜π‘Š)β€˜((πΎβ€˜πΊ) βˆͺ {𝑣})) = 𝑉)))
448, 16, 40, 43mpbir3and 1343 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   βˆͺ cun 3947  {csn 4629   Γ— cxp 5675  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200  0gc0g 17385  1rcur 20004  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  LVecclvec 20713  LSHypclsh 37893  LFnlclfn 37975  LKerclk 38003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lshyp 37895  df-lfl 37976  df-lkr 38004
This theorem is referenced by:  lkrshp3  38024  lkrshpor  38025  lshpset2N  38037  lfl1dim  38039  lfl1dim2N  38040  hdmaplkr  40832
  Copyright terms: Public domain W3C validator