Theorem lkrshp 37046

Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20283	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrshp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrshp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 37036	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10		lkrshp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	10, 11, 12, 4, 5	lkr0f 37035	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
14	2, 3, 13	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	14	necon3bid 2987	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
16	9, 15	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
17		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
18	10, 11, 17, 12, 4	lfl1 37011	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
19		simp11 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20		simp2 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
21		simp12 1202	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
22		simp3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
23	10	lvecdrng 20282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
24	11, 17	drngunz 19921	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
25	19, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
26	22, 25	eqnetrd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) ≠ 0 )
27		simpl11 1246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28		simpl12 1247	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
30	10, 11, 4, 5	lkrf0 37034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
32	31	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) → (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	necon3ad 2955	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)))
34	26, 33	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
35		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
36	12, 35, 4, 5	lkrlsp3 37045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
37	19, 20, 21, 34, 36	syl121anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38	37	3expia 1119	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
39	38	reximdva 3202	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
40	18, 39	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41		lkrshp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
42	12, 35, 6, 41	islshp 36920	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	42	3ad2ant1 1131	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
44	8, 16, 40, 43	mpbir3and 1340	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∪ cun 3881  {csn 4558   × cxp 5578  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891  0_gc0g 17067  1_rcur 19652  DivRingcdr 19906  LModclmod 20038  LSubSpclss 20108  LSpanclspn 20148  LVecclvec 20279  LSHypclsh 36916  LFnlclfn 36998  LKerclk 37026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lshyp 36918  df-lfl 36999  df-lkr 37027

This theorem is referenced by:  lkrshp3  37047  lkrshpor  37048  lshpset2N  37060  lfl1dim  37062  lfl1dim2N  37063  hdmaplkr  39854