Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp 34887
Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z 0 = (0g𝐷)
lkrshp.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrshp ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19316 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1156 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2 1160 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
4 lkrshp.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrshp.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2813 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 34877 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 575 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 simp3 1161 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10 lkrshp.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp.z . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
1310, 11, 12, 4, 5lkr0f 34876 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
142, 3, 13syl2anc 575 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1514necon3bid 3029 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
169, 15mpbird 248 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
17 eqid 2813 . . . 4 (1r𝐷) = (1r𝐷)
1810, 11, 17, 12, 4lfl1 34852 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣𝑉 (𝐺𝑣) = (1r𝐷))
19 simp11 1253 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20 simp2 1160 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝑣𝑉)
21 simp12 1254 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝐺𝐹)
22 simp3 1161 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝐺𝑣) = (1r𝐷))
2310lvecdrng 19315 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
2411, 17drngunz 18969 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ DivRing → (1r𝐷) ≠ 0 )
2519, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (1r𝐷) ≠ 0 )
2622, 25eqnetrd 3052 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝐺𝑣) ≠ 0 )
27 simpl11 1322 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28 simpl12 1324 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
29 simpr 473 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
3010, 11, 4, 5lkrf0 34875 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = 0 )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = 0 )
3231ex 399 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) → (𝐺𝑣) = 0 ))
3332necon3ad 2998 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ((𝐺𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)))
3426, 33mpd 15 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
35 eqid 2813 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3612, 35, 4, 5lkrlsp3 34886 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
3719, 20, 21, 34, 36syl121anc 1487 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38373expia 1143 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐺𝑣) = (1r𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3938reximdva 3211 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣𝑉 (𝐺𝑣) = (1r𝐷) → ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
4018, 39mpd 15 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41 lkrshp.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
4212, 35, 6, 41islshp 34761 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43423ad2ant1 1156 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
448, 16, 40, 43mpbir3and 1435 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2985  wrex 3104  cun 3774  {csn 4377   × cxp 5316  cfv 6104  Basecbs 16071  Scalarcsca 16159  0gc0g 16308  1rcur 18706  DivRingcdr 18954  LModclmod 19070  LSubSpclss 19139  LSpanclspn 19181  LVecclvec 19312  LSHypclsh 34757  LFnlclfn 34839  LKerclk 34867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-ress 16079  df-plusg 16169  df-mulr 16170  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-subg 17796  df-cntz 17954  df-lsm 18255  df-cmn 18399  df-abl 18400  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754  df-oppr 18828  df-dvdsr 18846  df-unit 18847  df-invr 18877  df-drng 18956  df-lmod 19072  df-lss 19140  df-lsp 19182  df-lvec 19313  df-lshyp 34759  df-lfl 34840  df-lkr 34868
This theorem is referenced by:  lkrshp3  34888  lkrshpor  34889  lshpset2N  34901  lfl1dim  34903  lfl1dim2N  34904  hdmaplkr  37695
  Copyright terms: Public domain W3C validator