Theorem lkrshp 39847

Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21206	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrshp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrshp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39837	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp3 1154	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10		lkrshp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	10, 11, 12, 4, 5	lkr0f 39836	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
14	2, 3, 13	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	14	necon3bid 3000	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
16	9, 15	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
17		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
18	10, 11, 17, 12, 4	lfl1 39812	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
19		simp11 1220	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20		simp2 1153	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
21		simp12 1221	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
22		simp3 1154	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
23	10	lvecdrng 21205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
24	11, 17	drngunz 20832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
25	19, 23, 24	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
26	22, 25	eqnetrd 3023	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) ≠ 0 )
27		simpl11 1265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28		simpl12 1266	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
30	10, 11, 4, 5	lkrf0 39835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
32	31	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) → (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	necon3ad 2969	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)))
34	26, 33	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
35		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
36	12, 35, 4, 5	lkrlsp3 39846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
37	19, 20, 21, 34, 36	syl121anc 1400	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38	37	3expia 1137	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
39	38	reximdva 3176	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
40	18, 39	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41		lkrshp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
42	12, 35, 6, 41	islshp 39721	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	42	3ad2ant1 1149	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
44	8, 16, 40, 43	mpbir3and 1359	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∪ cun 3902  {csn 4588   × cxp 5659  ‘cfv 6536  Basecbs 17268  Scalarcsca 17312  0_gc0g 17491  1_rcur 20262  DivRingcdr 20812  LModclmod 20960  LSubSpclss 21031  LSpanclspn 21071  LVecclvec 21202  LSHypclsh 39717  LFnlclfn 39799  LKerclk 39827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-sbg 19004  df-subg 19188  df-cntz 19386  df-lsm 19705  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-ur 20263  df-ring 20316  df-oppr 20418  df-dvdsr 20438  df-unit 20439  df-invr 20469  df-drng 20814  df-lmod 20962  df-lss 21032  df-lsp 21072  df-lvec 21203  df-lshyp 39719  df-lfl 39800  df-lkr 39828

This theorem is referenced by:  lkrshp3  39848  lkrshpor  39849  lshpset2N  39861  lfl1dim  39863  lfl1dim2N  39864  hdmaplkr  42655