Theorem lkrshp 39551

Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21101	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrshp.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrshp.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39541	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp3 1139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10		lkrshp.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13	10, 11, 12, 4, 5	lkr0f 39540	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
14	2, 3, 13	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	14	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
16	9, 15	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
17		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
18	10, 11, 17, 12, 4	lfl1 39516	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
19		simp11 1205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20		simp2 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝑣 ∈ 𝑉)
21		simp12 1206	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
22		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷))
23	10	lvecdrng 21100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
24	11, 17	drngunz 20724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ DivRing → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
25	19, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (1r‘𝐷) ≠ 0 )
26	22, 25	eqnetrd 3000	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝐺‘𝑣) ≠ 0 )
27		simpl11 1250	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28		simpl12 1251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝐺 ∈ 𝐹)
29		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
30	10, 11, 4, 5	lkrf0 39539	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → (𝐺‘𝑣) = 0 )
32	31	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺) → (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	necon3ad 2946	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)))
34	26, 33	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺))
35		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
36	12, 35, 4, 5	lkrlsp3 39550	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾‘𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
37	19, 20, 21, 34, 36	syl121anc 1378	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38	37	3expia 1122	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
39	38	reximdva 3151	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑣) = (1r‘𝐷) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
40	18, 39	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41		lkrshp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
42	12, 35, 6, 41	islshp 39425	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43	42	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾‘𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
44	8, 16, 40, 43	mpbir3and 1344	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ∪ cun 3888  {csn 4568   × cxp 5629  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223  0_gc0g 17402  1_rcur 20162  DivRingcdr 20706  LModclmod 20855  LSubSpclss 20926  LSpanclspn 20966  LVecclvec 21097  LSHypclsh 39421  LFnlclfn 39503  LKerclk 39531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lshyp 39423  df-lfl 39504  df-lkr 39532

This theorem is referenced by:  lkrshp3  39552  lkrshpor  39553  lshpset2N  39565  lfl1dim  39567  lfl1dim2N  39568  hdmaplkr  42359