Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp 36277
 Description: The kernel of a nonzero functional is a hyperplane. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp.z 0 = (0g𝐷)
lkrshp.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrshp ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)

Proof of Theorem lkrshp
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19854 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2 1133 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
4 lkrshp.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrshp.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2820 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 36267 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 586 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 simp3 1134 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
10 lkrshp.d . . . . . 6 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp.z . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
1310, 11, 12, 4, 5lkr0f 36266 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
142, 3, 13syl2anc 586 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1514necon3bid 3050 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
169, 15mpbird 259 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
17 eqid 2820 . . . 4 (1r𝐷) = (1r𝐷)
1810, 11, 17, 12, 4lfl1 36242 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣𝑉 (𝐺𝑣) = (1r𝐷))
19 simp11 1199 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝑊 ∈ LVec)
20 simp2 1133 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝑣𝑉)
21 simp12 1200 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → 𝐺𝐹)
22 simp3 1134 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝐺𝑣) = (1r𝐷))
2310lvecdrng 19853 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
2411, 17drngunz 19493 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ DivRing → (1r𝐷) ≠ 0 )
2519, 23, 243syl 18 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (1r𝐷) ≠ 0 )
2622, 25eqnetrd 3073 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝐺𝑣) ≠ 0 )
27 simpl11 1244 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LVec)
28 simpl12 1245 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
29 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
3010, 11, 4, 5lkrf0 36265 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = 0 )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = 0 )
3231ex 415 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) → (𝐺𝑣) = 0 ))
3332necon3ad 3019 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ((𝐺𝑣) ≠ 0 → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)))
3426, 33mpd 15 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
35 eqid 2820 . . . . . . 7 (LSpan‘𝑊) = (LSpan‘𝑊)
3612, 35, 4, 5lkrlsp3 36276 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑣𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
3719, 20, 21, 34, 36syl121anc 1371 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = (1r𝐷)) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
38373expia 1117 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝐺𝑣) = (1r𝐷) → ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
3938reximdva 3261 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑣𝑉 (𝐺𝑣) = (1r𝐷) → ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉))
4018, 39mpd 15 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)
41 lkrshp.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
4212, 35, 6, 41islshp 36151 . . 3 (𝑊 ∈ LVec → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
43423ad2ant1 1129 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ 𝑉 ∧ ∃𝑣𝑉 ((LSpan‘𝑊)‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑣})) = 𝑉)))
448, 16, 40, 43mpbir3and 1338 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∃wrex 3126   ∪ cun 3911  {csn 4543   × cxp 5529  ‘cfv 6331  Basecbs 16462  Scalarcsca 16547  0gc0g 16692  1rcur 19230  DivRingcdr 19478  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  LVecclvec 19850  LSHypclsh 36147  LFnlclfn 36229  LKerclk 36257 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-0g 16694  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lshyp 36149  df-lfl 36230  df-lkr 36258 This theorem is referenced by:  lkrshp3  36278  lkrshpor  36279  lshpset2N  36291  lfl1dim  36293  lfl1dim2N  36294  hdmaplkr  39085
 Copyright terms: Public domain W3C validator